Nhập môn cơ học lượng tử : Tập 1

N H À X U Ấ T B Ả N GIÁO D Ụ C

________ ______ ________ _ _ ề'

Hoàng Dũng

H-Ù

N h ậ p m ô n

c ơ HỌC L líự N G TỬ

Tập 1

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC - 1999

INTRODUCTION TO QUANTUM MECHANICS - Volume 1

H oang Zung

Department of Physics

College of Natural Sciences

Vietnam National University - Ho Chi Minh City

530

GD - 99

124/228 - 99 DLK01N9

MỤC LỤC

Chương 1: Những khái niệm cơ sở của cơ học lượng tử 1

1.1 Lý thuyết tiền lượng tử 1

1.2 Sóng de Broglie 6

1.3 Xác suất thông kê 11

1.4 Hàm sóng 14

1.5 Nguyên lý chồng chất 17

1.6 Toán tử 24

1.7 Bài toán trị riêng 28

1.8 Tính chất của toán tử tuyến tính tự liên hợp 31

1.9 Mô tả các đại lượng vật lý trong cơ học lượng tử 37

1.10 Toán tử xung lượng 41

^ 1.11 Trị trung bình 46

1.12 Ký hiệu Đirac 53

- <1.13 Điều kiện để các đại lượng vật lý đồng thời nhận giá

trị xác định 56

' 1.14 Hệ thức bất định 61 ^

Chương 2: Phương trình Schrödinger 67

2.1 Phương trình Schrödinger thời gian 67

2.2 Phương trình liên tục 70

2.3 Phương trình Schrödinger dừng 72

2.4 Tính chất cơ bản của phương trình Schrödinger dừng 75

2.5 Phương trình chuyển động cho toản tử 78 ^

2.6 Định lý Ehrenfest 80

2.7 Tích phân chuyển động 84

2.8 Hệ thức bất định giữa năng lượng và thời gian 89

Chương 3: Chuyển động m ột chiều 91

3.1 Tính chất chung của chuyển động một chiều 91

3.2 Giếng thế chữ nhật một chiều sâu vô hạn 99

3.3 Giếng th ế chữ nhật một chiều sâu hữu hạn 104

3.4 Thế tuần hoàn. Định lý Bloch 112

3.5 Mô hình Kronig - Penney 120

3.6 Dao động tử điều hòa 129

^ 3.7J Rào th ế bậc thang 150

3.8 Rào th ế chữ nhật. Hiệu ứng đường ngầm 155

3.9 Hiện tượng phát xạ lạnh 165

3.10 Sự phân rã alpha 167

Chương 4: M ômen động lương 175

> 4.1 Mômen động lượng quỹ đạo ''176

4.2 Định luật bảo toàn mômen động lượng 183

■' 4.3 Hàm riêng và trị riêng của toán tử Lz " 187

4.4 Hàm riêng và trị riêng của toán tử L2 ' 189

4.5 Quay tử cứng 205

4.6 Mômen động lượng tổng quát 208

4.7 Dạng ma trận của toán tử mômen động lượng 217

4.8 Cộng mômen / 221

Chương 5: Spin 231

5.1 Thí nghiệm Stern - Gerlach 231

5.2 Toán tử spin 237

5.3 Hàm sóng của hạt có spin 240

5.4 Spin một phần hai. Ma trận Pauli 245

5.5 Mômen động lượng toàn phần 254

Chương 6: Trường xuyên tâm 263

6.1 Phương trình Schrodinger cho hệ hai hạt 263

6.2 Tách biến phương trình Schrodinger trong hệ tọa độ

Descartes 267

6.3 Trường xuyên tâm: Các tính chất chung

6.4 Sóng cáu 289

6.5 Giêng thế có đốỉ xứng cầu 298

280

6.6 Dao động tử điều hòa ba chiều đẳng hướng

6.7 Nguyên tử hyđrô 309

6.8 Mômen từ quỹ đạo 336

302

Tài liệu tham khảo 341

Chương 1

Những khái niệm cơ sở của cơ

học lượng tử

C

ơ hoc J ư ơng tử là học thuyết về. quy luật vận động và tính chất

eủa các hệ vi m ô. Về lịch sử,, cơ học lượng tử bắt nguồn từ

những ý tưởng vật lý cơ bản của lý thuyết tiền lư ợ na tử hình thành

trong khoảng hai thập kỷ đàu của thế kỷ 20, rồi phát triển thành một

lý thuyết hoàn chỉnh giai đoạn 1923 - 1927.

Ta bắt đàu chương này từ việc điểm lại những luận điểm chính

của lý thuyết tiền lượng tử. Sau đó sẽ làn lượt làm quen vợi những

khái niệm, nguyên lý và tiên đề cơ sở của cơ học lượng tử. Những

khái niệm nàỷ sẻ được minh họa và ứng dụng qua các chương còn lại

của cuốn sách này.

1.1 Lý thuyết tiền lượng tử

Cuối thế kỷ 19, không ít người cho rằng vật lý hoc cổ diễn có thể

giải thích được tất cả những hiện tượng vật lý. Với các bộ phận chính

(la>:ơ hoc Newton, diện dộng lực học Maxwell và nhiẽt đống hoc, vật

lý học cổ điền đã dạt dược những thành tựu rực rơ trong việc nghiên

cứu tính chất của các hệ vĩ mô. Sự đúng đắn của những quan niệm

và định luật của vật lý học cổ điền đã được kiềm chứng qua thực

nghiêm hàng thế kỷ và dường như là chuyên khồng còn gì để bàn ẹải.

Nhưng cũng vào cuối thế kỷ 19, nhờ những tiến bộ trong kỹ thuật

thực nghiệm, các nhà khoa học cổ điều kiện tiếp cận các hệ vi mô

1

2 Chương 1. Những khái niệm cơ sở của cơ học lượng từ

như điện tử, nguyên tử, phân tử ... và từ đó phát hiện ra rằng tính

chất của những hệ này không thể giải thích được nếu dựa vào vật lý

hoc cổ điển. Trone sfí nViữne vấn dề mà vât lv >1 nr* rA /4iẩ-r» K A 4.^.. •

quang phổ vạch của nguyên tử và nhiều hiện tượng vật lý khácì)

Để hiểu được nguyên nhấn dẫn vật lý học cổ điển đến những bế

tj£ kể trên, trước tiên ta nhầc lại một vai quan niệm cơ bản của học

thuyết này.

- «iiai ^acL moi nạt dược

' ¿inh nếu biết dược giá trị các tọa độ và xung

xem như hoan ^ ^ Q5n trạng thái của một hệ hạt thì dược

lượng (hay vận toc) c ^ ^ ¿ộ yà xung lượng của các hạt thành

xác định bời tập'hợp ta 7: ^ến S(jng khai niệin quĩ đạo không còn

phần. u '¿ne được đậc trưng bời những hiện tượng y nghĩa. Cac qua r nb s°* “ tà quá trình sóne <■- " như giao thoa, nhiêu xạ. L>e

. Lrinn Maxwell khi cho trước các diều kiện ban dầu. Yàtly_hoc cp_di|n cho

ràne hat là hai khái niệm hoàn toàn_dổnập nhau,Jch^ng_thề

v . ‘ t-rvn tai trong một dốU ư ơ ngv& tiÍỊấkH âL ^

Sổng, củng như sóng khôngJhểcó. tính hat.

các phương

b’ n của vât lý học cồ điển như phương trinh Newton, phương

trblh Maxwell... đều cho phép xác định nghiệm một cách đơn trị nếu

1.1. Lý thuyết tiền lượng tử 3

cho trước điều kiện ban đàu. Tải mỗi thời điểm, mọi đại lượng vật

lý đều có giá trị hoàn toàn xác định.

Thứ ba, vật lý học cổ điển cho rằng các quá trình vật lý chỉ có thể

diễn ra một cách liên tục. Khi các điều kiện ban đầu và trường ngoài

thay đổi thì các đại lượng vật lý đặc trưng cho hệ (thí dụ nảng lượng,

mômen động lượng ... ) chỉ có thể biến thiên một cách liên tục chứ

không thề gián đoạn. Nói riêng, khi hạt có diện tích chuyền động với

gia tốc, nổ sẽ bức xạsóng điện từ một cách liên tục.

Nhưng vào cuổi thế kỷ 19, khi khảo sát hiẽn tư ơng bức xa nhiệt

của vât đen tuyẽt dổi người ta phát hiện ra ràng qui luât phán bố

nàng lương ở đây hoàn toàn trái ngược vói dự đoán của vật lỷ học cổ

diễn ở miền bước sổng nhỏ. Sư kiẽn này dươc goi là tai biến tử ngoại

và là một trong những tín hiệu đàu tiên về sự hạn chế của các quan

niệm cổ điển. Nhằm giải quyết bế tắc này, M. Planck (1900) đả đưa

ra ílm y ếi lượng tử n ân g ĩưựng mà theo dó cấc nauyẻn ìủ hoặc -

phân tứ chỉ có thể hấp thụ hoặc bức xạ năng lượng một cách gián

đoạn, theo từng lượng nhỏ nguyên vẹn gọi là các lượng tử năng

lượng. Độ lớn của mỗi lượng tử nàng lượng liên hệ với tần số dao

động Uỉ của nguyên tử bởi hệ thức

E = hu> (1.1)

trong đó h là hằng số Planck:

h = 1, 05 X 10~34J.S = Ổ, 58 X 10"16eV.s (1.2)

Cùng vói vận tốc ánh sáng c = 3 X 108 m /s và điện tích nguyên tố

e = 1, 6 X 10“ 19 c, hằng số Planck Tì hợp thành bộ ba hằng số cơ bản

nhất của vật lý học. Vói thuyết lượng tử náng lượng, Planck đã thu

được biểu thức cho hàm phân bố nảng lượng của vật đen tuyệt đối

phù hợp rất tốt với thực nghiêm. Sau này, áp dụng ý tường lượng

tử hóa nâng lượng vào bài toán dao động mạng tinh thể, A. Einstein

đâ thiết lập được công thức cho phép mô tả đúng đắn sự phụ thuộc

của nhiệt dung chất rắn vào nhiệt độ. Có thể nói vói thuyết lượng tử

4 Chương 1. Những khái niệm cơ sở của cơ học lượng tử

nâng lượng, Planck đã đật cơ sờ đầu tiẽn cho việc xây dựng một bức

tranh vật lý hoỉin toàn mới về thế giới vi mô.

Năm 1905, ý tường trên của Planck lại được Einstein phát triển

nhằm giải thích một bế tắc khác của vật lý cổ điển là hiện tượng

quang diện. T h u y ết lượng tử án h sáng của Eựiẩtẹin cho rằng ánh

sáng là tập hợp của các hạt : các p h o to ii:1 Photon có khối lượng

nghi bằng không, có náng lượng E và xung lượng p liên hệ với tần số

tư và bước sóng A của ánh sáng bời công thức (1.1) và công thức

với k là số sóng: k = tư/c = 2 iĩ/\. Ta có thể viết xung lương photon

như sau

trong đó véctơ sổng k có hướng trùng với hướng truyền của sóng ánh

sáng. Như vậy với thuyết photon, Einstein dã đặt lại tính hạt của ánh

sáng nhưng vói một quan niệm hoàn toàn mói. Thuyết photon cho

phép giải thích các dinh luảt quang điẽn cụng như hiệu ứng Compton

(1923) và nhiều hiện tượng vât lý khác m ạ yât lý học cồ diẻn l^hôrìg

giải thích nổi.

Tiếp tục phát triển các ý tưởng của Planck và Einstein, nảm 1913

N. Bohr đã đưa ra th u y ế t nguyên tử với các tiên dề sau đây:

Nguyên tử chỉ tồn tại trong những trạng thái vói nảng lượng

xác định gọi là các trạng thái dừng. Năng lượng En của những

trạng thái này tạo thành một phổ gián đoạn.

Nguyên tử chi phát xạ hoặc hấp thụ nàng lượng khi nó chuyển

từ trạng thái dừng này sang trạng thái dừng khác. Tần so UJ

của photon do nguyên tử phát xạ hoác hấp thụ bàng

V - — = - 7 - = c A

huj 2nTi

(1.3)

p = Tìk (1-4)

(1.5) 1

1 Thuật ngũ’ photon do A. H. Compton đưa ra nãm 1923

1.1, Lý thuyết tiền lượng tử 5

trong đó E n và E n ' là nâng lượng của trạng thái ban đằu và

trạng thái cuối.

Kết hợp những tiên đề trên với một số khái niệm và định luật của

vật lý học cổ điển, Bohr đã thu được công thức nổi tiếng sau dây cho

phổ nàng lượng của nguyên từ hyđrô

trong đó m e là khối lượng diện tử. Thuyết nguyên tử Bohr cho phép

giải quyết hai bế tắc của vật lý học cổ điền là tính bền vững của

nguyên tử và hiện tượng quang phổ vạch của nguyên tử.

Nảm 1918, Bohr dưa ra nguyên lý tư ơ ng ứ ng. Theo nguyên lý

này, các định luật của lý thuvết lượng từ phải trờ về các định luật

tương ứng của lý thuyết cỗ diền khi h 0. Từ đó ta thấy ràng vật

lý học cổ điển giữ một vai trò rất quan trọng đổi với sự hình thành

của cơ học lượng tử.

Với lý thuyết trên, Bohr đã đật nền móng cho những quan niệm

mới ve nguyên tử. Tuy nhiên, thiếu sổt quan trong nhất của thuyết

nguyên tử Bohr là tính không nhất auán: một mặt vẫn sử dụng những

khái niệm và định luật của vật lý học cổ điển, mặt khác lại dưa ra

những tiên đề trái ngược quan điểm của vật lý học cổ điển. Đồng

thời đây cũng chưa phải là một lý thuyết hoàn chỉnh : những tiên đề

đưa ra mang tính nửa lý thuyết, nửa thực nghiệm; thuyết Bohr không

cho phép tính nhiều đặc trưng vật lý quan trọng như cường độ vạch

phổ, xác suất chuyển dời từ trạng thái này sang trạng thái khác v.v.

Do đổ thuyết Bohr dươc xem như giai đoạn quá dộ từ cơ học cố dién

sang cơ học lượng tử.

Như vậy, trên cơ sở thực nghiệm lý thuyết tiền lượng tử đã đi đến

hai kết luận quan trọng về các đối tượng và các quá trình vi mô:

(T>) Các đại lượng vật lý dặc trưng cho các hệ vi mồ cổ thể biến

thiên gián doạn.

'n (1.6)

•6 Chương 1. Những khái niệm cơ sở của cơ học lượng tử

( 2^ Lưỡng tính sổng - hat của ánh sáng: ánh sáng vừa có tính sóng

vừa có tính hạt

Những quan niệm mơi mẻ này hoàn toàn mâu thuân vơi cac quạn

niệm của vât lý hör cn dién. Cùng với một quan niệm mới nữa cho

rằng quy luật vận động của cac hệ vì mô mang tinh bât đinh hay tinh

thống kê, những ý tưởng này đã đặt nền móng cho giai đoạn phát

triển thực sự của cơ học lượng từ như là một học thuyết mói của vật

lý.

1.2 Sóng de Broglie

G iả th u y ế t de B rogliẹ

Nảm 1924, Luis de Broglie đã mờ rộng lưỡng tính sóng - hạt của

ánh sáng sang các đối tượng vật chất khác. Ông cho rằng tất cả các

hạt vật chất quen thuộc như diện tử, proton, neutron, nguyên tử ...

ngoài tính hạt đã biết, còn mang tính sóng. Theo de Broglie, chuyển

động của mỗi vi h^tjdèu liên kết vơi môt sónợ^tương ún& gọi .là

sóng vật chất Các đại lượng E và p đặc trưng cho tính hạt và các

đại lượng (JÜ và k dặc trưng cho-tính sóng liên hệ với nhau bời các hệ

thức

E — hu>, p = hk (1.7)

(1.7) dược gọi là cấc hệ thức de Broglie. Đây chính là các hệ thức

Planck (1 .1 ) và Einstein (1 .4) mờ rộng sang cho các hạt vật chất.

VI các vi hạt có tính sóng nên đối vớỉ chúng về nguyên tắc phải

quan sát được các hiện tượng sóng đặc thù như giao thoa, nhiễu xa

Nàm 1927, khi cho chùm điện tử tán xạ lên mạng tinh thề c. Davisson

và L. Germer đã thu được ảnh nhiễu xạ của điện tử (hình l.lb), mà

về định tính, tương tự như ảnh nhiễu xạ của tia X (hình l.la). Sau dó

người ta làn lượt quan sát được các hiện tượng nhiễu xạ và giao thoa

đối với những loại vi hạt khác như proton, neutron, nguyên tử ... Như

vậy, giả thuyết de Broglie đã có cơ sờ thực nghiêm chắc chắn. Thực

1.2. Sóng de Broglie 7

(c)

Hình 1 .1 : So sánh ảnh nhiễu xạ của tia X (a), của điện tử (b) và của

neutron (c) do tán xạ lên mạng tinh thể.

nghiệm còn cho thấy có thể thu được ảnh nhiễu xạ ngay cả khi số hạt

trong chùm hạt tới không lớn. Điều đó có nghĩa là từng vi hạt cũng

đều mang tính sóng.

Bó sổng

Sóng phẳng, vận tốc pha. Để hiểu mối quan hệ giữa tính sóng

và tính hạt trong giả thuyết de Broglie, ta hãy xét hat chuyển động

■ÌlLiịa^Theo de Broglie, chuyền động này liên kết với sự lan truyền

của môt sóng phắng. Từ quang học ta biết rằng, có thể mô tả sóng

phẳng vói tần số LJ và véctơ sóng k bời hàm số phức

^ (r, t) = A exp { — i(u)t — k.r)} (1 .8)

với A là biên độ sổng. Dùng các hệ thức (1 .7), ta dể dàng thu được

hàm sóng mồ tả trạng thái của hạt tự do nói trên

&(r,t) = A e x p |- ^ ( £ ; í - p . r ) | (1.9)

8 Chương 1. Những khái niệm cơ sở của cơ học lượng tử

Một sóng như vậy gọi là sóng p hẩng de Broglie. Nếu chọn trục X

• là phương truyền sóng thì pha của sóng này bằng E t - p x . Từ điều

kiện pha không đổi theo thời gian d(Et - px)/dt = 0, ta tìm được

vận tốc pha của sổng de Broglie

mc2 c

m v V

(1.10)

với V là vận tốc của hạt. Vì V < c nên ta suy ra Uph > c, nghĩa là vận

tốc pha của sóng de Broglie lớn hơn vận tốc ánh sáng. Tuy nhiên, diều

này không mâu thuẫn vói lý thuyết tương đối vì bất đảng thức V < c

chỉ áp đặt đối với những quá trình liên quan tới sự chuyển tải nàng

lượng và khối lượng của hạt. Những quá trình này được đặc trưng

bời vận tốc nhóm chứ không phải bời vận tốc pha của sóng de Broglie.

Bó sóng, vận tốc nhóm . Từ các sóng phẳng đơn sắc (1.8), có

thể tạo một bó sónọ hay nhóm bằng cách chồng chất những sổng

có số sóng k tâp^tning trong rnột miền đủ hệ£L Về mặt toán học, diều

này được thực hiện nhờ khai triển Fourier

# (x ,t) = - ì - J A (k)e xp {~ i[u (k ).t-k.x]}d k, (1 .11 )

trong đó biên độ sóng A(k) chỉ khác không nếu k nhận các giá trị

trong khoảng hẹp (k0 - €, *0 + e) (hình 1 .2). Đề đơn giàn, trong (1 .11 )

ta chọn phương truyền sóng trùng với trục X. Bó sóng (1 11 ) phụ

thuộc vào tọa độ không gian X và thời giar, t. Nó chỉ khác không

đáng kể trong một miền không gian xác định, còn kích thước và hình

dạng bó sóng thay đổi theo thời gian.

Do biên độ A (k) chỉ khác không trong một miền hẹp các giá tri k

xung quanh fco, ta có thể khai triển hàm u>(k) thành chuỗi Taylor

Uỉ(k) — u>0 + u>o(k — fco) + —¡¿(¡(k — fco)2 + ... ^2 12)

trong đó u>0 = w(fc0), u>ó = du/dk |*,=*ữ. Thay khai triển trẽn vào

(1 .1 1 ) và chỉ giữ lại số hạng tỉ lệ với (fc - fc0), ta được

^(¡M) = exp [—¿(u>0 — fcoo>ó)i] X

1.2. Sóng de Broglie 9

Hình 1.2: Bó sóng. Toàn bổ sổng chuyến động với vận tốc nhổm, còn

từng sổng riẽng^biẽt chuyến dong với ván tốc pha

X— [ A(k) exp {ik(x — u>bt)} dk (1.Ĩ3)

27T J—oo

Tại thời điểm ban dàu t = 0, công thức trên trờ thành

ỹ (i,0 ) = 1 /°° A(k)eikxdk (1.14)

2n J - oo

So sánh (1.14) với tích phân còn lại trong (1.13), ta suy ra

^(íE, t) = exp [ -i(v0 — ^0^0)*] ÌP(X — Vqỉ, oj (1.15)

Từ công thức trên, ta tìm được biên độ của bó sóng

I #(3, t) 1 = 1 X - U)'ữt, 0) I (1*16)

Rô ràng ờ gàn dúng bậc nhất theo hiệu (Ẵĩ - ¿o), dạng bổ sổng không

đổi theo thời gian. Vận tốc chuyển động của bó sóng được xác định