Nguyên lý nhân tử lagrange

1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM PHÚC LONG

VỀ NGUYÊN LÝ NHÂN TỬ

LAGRANGE

Chuyên ngành: Giải tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TS. TRƯƠNG XUÂN ĐỨC HÀ

Thái Nguyên- Năm 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

www.VNMATH.com

2

MỤC LỤC

Mở đầu: ................................................................................................... 2

Chương I. NGUYÊN LÝ NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN

TỐI ƯU TRƠN.

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị .................................................................5

1.1.1 Khả vi Gateaux và khả vi Frechet .................................................5

1.1.2 Định lý Hahn-Banach, bổ đề về linh hóa tử ..................................9

1.1.3 Định lý Ljusternik, định lý hàm ẩn .............................................10

1.2 Điều kiện cần đủ cho bài toán tối ưu trơn ......................................12

1.2.1 Phát biểu bài toán ........................................................................12

1.2.2 Trường hợp hữu hạn chiều ..........................................................17

1.2.3 Trường hợp tổng quát .................................................................27

Chương II. NGUYÊN LÝ NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN

TỐI ƯU LỒI.

2.1 Một số kiến thức cơ bản của giải tích lồi ........................................31

2.1.1 Tập lồi .........................................................................................31

2.1.2 Hàm lồi .......................................................................................32

2.1.3 Tập Affine ...................................................................................34

2.1.3 Các định lý tách ...........................................................................35

2.1.4 Dưới vi phân của hàm lồi ............................................................36

2.1.6 Định lý cơ bản về dưới vi phân của tổng các hàm lồi ...................38

2.2 Điều kiện cần đủ cho bài toán tối ưu lồi .........................................43

2.2.1 Bài toán không có ràng buộc .......................................................44

2.2.2 Bài toán với ràng buộc đẳng thức ................................................44

2.2.3 Bài toán với ràng buộc bất đẳng thức ..........................................47

KẾT LUẬN ..............................................................................................55

TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................56

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

www.VNMATH.com

3

MỞ ĐẦU

Trong cuộc sống, ai cũng mong muốn công việc hàng ngày của mình

được hoàn thành một cách tốt nhất. Ai cũng tự đặt ra hai câu hỏi chính:

Làm thế nào để công việc hoàn thành tốt nhất, và khi tốt nhất thì được cái

gì? Như vậy, chẳng qua mọi người cũng phải giải các bài toán tối ưu của

mình theo một nghĩa nào đó. Một vấn đề quan trọng nhất đặt ra cho mỗi

bài toán tối ưu là: Với điều kiện nào, bài toán có nghiệm, và nếu có nghiệm

điều gì sẽ xảy ra. Tất nhiên, điều kiện càng đơn giản thì việc tìm nghiệm

càng dễ. Biết được điều gì xảy ra nếu có lời giải, thì việc tìm ra lời giải

càng dễ dàng hơn.

Ta biết trong bài toán tối ưu có hai đối tượng quan trọng: Tập chấp nhận

được (hay tập ràng buộc) và Hàm mục tiêu xác định trên tập đó. Vậy thì

khi xét đến điều kiện để tồn tại nghiệm tối ưu, ta phải quan tâm tới các

điều kiện, tính chất của hai đối tượng ấy. Để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm

và tìm ra phương pháp giải nghiệm, người ta thường phân loại các bài toán

theo cấu trúc của tập chấp nhận được và tính chất hàm mục tiêu của bài

toán. Trong luận văn này, tác giả đề cập tới hai loại bài toán chính sau:

1. Bài toán tối ưu trơn với ràng buộc đẳng thức.

Cụ thể:

Cho X, Y là các không gian Banach, hàm f xác định trên X, ánh xạ

F : X −→ Y. Bài toán:



f(x) −→ in f

F(x) = 0.

được gọi là bài toán tối ưu trơn với ràng buộc đẳng thức nếu hàm f

và ánh xạ F thỏa mãn tính trơn.

2. Bài toán tối ưu lồi.

Cụ thể:

Cho X là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, A ⊂ X là một

tập lồi đóng không rỗng. f,gi

: X −→ R = R∪{±∞} và hj

: X −→ R

là những hàm affine. Bài toán quy hoạch lồi tổng quát cho dưới dạng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

www.VNMATH.com

4

sau:







min f(x)

x ∈ A

gi(x) ≤ 0 (i = 1,2,...,m)

hj(x) = 0 (j = 1,2,..., p).

Trong giải tích cổ điển, ta đã biết định lý Weierstrass nổi tiếng: “ Một

hàm số liên tục trên tập compact luôn đạt cực đại và cực tiểu”. Những mở

rộng hay biến dạng khác nhau của định lý này chỉ ra nhiều điều kiện đủ

cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu. Khi hàm số khả vi, một điểm

là nghiệm tối ưu của bài toán không có ràng buộc, thì đạo hàm của nó tại

điểm này phải bằng không. Đó là điều kiện cần tối ưu. Khẳng định này

vẫn còn đúng cho hàm lồi với đạo hàm được thay bằng dưới vi phân. Với

ý tưởng như vậy, khi nghiên cứu một bài toán tối ưu có ràng buộc, người

ta tìm cách đưa nó về một bài toán không có ràng buộc hoặc chỉ có những

ràng buộc tương đối đơn giản. Có thể thấy điều đó trong các công trình

nghiên cứu của Lagrange về tính biến phân từ cuối thế kỷ XVIII. Đó là:

• Xây dựng hàm Lagrange cho bài toán tối ưu.

• Tìm các điều kiện để hàm Lagrange đạt cực trị.

Chính việc áp dụng rộng rãi nguyên lý nhân tử Lagrange trong các bài toán

tối ưu đã khiến tác giả chọn đề tài nghiên cứu này.

Luận văn trình bày hệ thống và chi tiết một số điều kiện tối ưu cho các

bài toán tối ưu trơn, và bài toán tối ưu lồi được trình bày từ các tài liệu

chuyên đề chính [1 − 4], và có tham khảo thêm các tài liệu [5 − 7]. Các

điều kiện này được thể hiện thông qua các nhân tử Lagrange. Luận văn bao

gồm: Phần mở đầu, hai chương và phần tài liệu tham khảo.

Chương I: Dành để trình bày các kết quả về điều kiện cần đủ của bài

toán tối ưu trơn. Đầu tiên chúng ta nhắc lại một số kiến thức về khả vi

Gateaux, khả vi Frechet, định lý Ljusternik, định lý hàm ẩn, sau đó trình

bày điều kiện cần cấp một và điều kiện cần đủ cấp hai thông qua sự tồn tại

của vi phân cấp hai và nhân tử Lagrange.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

www.VNMATH.com

5

Chương II: Dành để trình bày các kết quả về điều kiện cần đủ của bài

toán tối ưu lồi. Tác giả trình bày một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi,

định lý Moreau-Rockafellar, và định lý cổ điển Kuhn-Tucker về điều kiện

cần và đủ của bài toán tối ưu lồi thông qua sự tồn tại của nhân tử Lagrange

tương ứng với dưới vi phân tại điểm đó.

Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Trương

Xuân Đức Hà, người đã trực tiếp giúp đỡ và chỉ bảo tận tình tác giả trong

suốt quá trình học tập, nghiên cứu và viết bản luận văn này. Tác giả cũng

bày tỏ tình cảm của mình trước sự giúp đỡ, động viên của gia đình, bạn bè,

và tập thể học viên cao học Toán K16-ĐHSPTN.

Trong quá trình viết luận văn cũng như trong việc xử lý văn bản chắc

chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận được sự

góp ý của thầy cô, các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.

Thái Nguyên, tháng 8, năm 2010.

Phạm Phúc Long

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

www.VNMATH.com