Nguyên lý dirichlet và ứng dụng trong số học.

Luận văn tốt nghiệp

Đinh Thanh Huyền

1

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cám ơn cô Phan Quang Như Anh là người trực tiếp

hướng dẫn em trong quá trình nghiên cứu đề tài.

Em xin chân thành cảm ơn các thày cô giáo trong khoa đã tạo điều kiện

giúp đỡ em hoàn thành bài luận văn này.

Em xin chân thành cám ơn thư viện trường Đại học Sư Phạm Đà Nẵng

đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình tìm kiếm tài liệu.

Em mong muốn tiếp tục nhận được sự giúp đỡ của cô Phan Quang Như

Anh cùng các thày cô trong khoa trong quá trình học tập và nghiên cứu sau

này.

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2012

Sinh viên thực hiện

Đinh Thanh Huyền

Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng trong số học

Đinh Thanh Huyền

2

MỤC LỤC

Trang bìa Trang

Trang bìa phụ

Lời cảm ơn

Mục lục

Trang mở đầu ...............................................................................................1

1. Lý do chọn đề tài........................................................................................1

2. Mục đích nghiên cứu..................................................................................1

3. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài ...................................................2

4. Bố cục luận văn..........................................................................................2

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN ...................................................3

1.1 Nguyên lý Dirichlet cơ bản ..............................................................4

1.2 Nguyên lý Dirichlet mở rộng ...........................................................5

1.3 Nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp....................................................6

1.4 Nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp mở rộng .....................................7

Chương 2: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG CÁC BÀI

TOÁN CHIA HẾT ...................................................................8

Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng trong số học

Đinh Thanh Huyền

3

Chương 3: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG CÁC BÀI

TOÁN SUY LUẬN...................................................................23

Chương 4: MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA NGUYÊN LÝ

DIRICHLET.............................................................................40

4.1 Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong các bài toán chữ số tận cùng .40

4.2 Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong các bài toán tổng hiệu............42

4.3 Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong các bài toán số chính phương 45

4.4 Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong các bài toán khác ...................49

NHỮNG ĐIỂM CẦN CHÚ Ý KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG

NGUYÊN LÝ DIRICHLET ..........................................................................58

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.....................................................................59

TÀI LIỆU THAM KHẢO ...........................................................................61

Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng trong số học

Đinh Thanh Huyền

4

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Thực tế cho thấy rằng các bài toán số học nâng cao xuất hiện ngày càng

nhiều trong các kì thi học sinh giỏi toán quốc gia và quốc tế. Ta muốn giải tốt

các bài toán số học nâng cao trong chương trình trung học cơ sở cũng như

trung học phổ thông chúng ta phải biết thêm một số kiến thức, chẳng hạn như

định lý phần dư Trung Quốc, định lý Wilsson, các hàm số học…và một kiến

thức không thể thiếu đó là nguyên lý Dirichlet.

Nguyên lý Dirichlet đã được biết đến từ rất lâu. Ngay trong chương trình

phổ thông chúng ta cũng đã làm quen với nguyên lý này.

Theo một số công trình nghiên cứu, nguyên lý Dirichlet là một công cụ

rất hiệu quả dùng để chứng minh rất nhiều kết quả sâu sắc của toán học. Nó

đặc biệt được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Nhờ có

sự ứng dụng của nguyên lý này mà hàng loạt các bài toán thú vị đã được giải.

Mặc dù nguyên lý Dirichlet có nhiều ứng dụng như vậy nhưng các công

trình nghiên cứu về nguyên lý và ứng dụng của nó còn ít và chưa đi sâu vào

ứng dụng của một ngành toán học cụ thể nào. Vì vậy tôi chọn đề tài nghiên

cứu “Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng trong số học”, với mục đích giới

thiệu, phát biểu nguyên lý Dirichlet dưới tất cả các dạng và đặc biệt là đi sâu

Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng trong số học

Đinh Thanh Huyền

5

nghiên cứu ứng dụng nguyên lý này trong số học, từ đây chúng ta hiểu rõ hơn

về nguyên lý Dirichlet cũng như thấy rõ được ứng dụng rộng rãi của nó trong

số học.

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về nguyên lý Dirichlet với nhiều dạng phát biểu khác nhau

và đưa ra những ứng dụng của nó trong số học.

3. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Cung cấp hệ thống lý thuyết về nguyên lý Dirichlet, hệ thống các ví dụ

có lời giải được giải bằng cách ứng dụng nguyên lý này, từ mức độ dễ tới

khó, để từ đó thấy rõ được ứng dụng sâu sắc và rộng rãi của nguyên lý

Dirichlet trong số học.

Hi vọng đây sẽ là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các thầy cô giáo

cũng như các em học sinh ham mê tìm tòi trong toán học.

4. Bố cục luận văn

Luận văn gồm 61 trang. Phần mở đầu (2 trang), kết luận và kiến nghị (2

trang), tài liệu tham khảo (1 trang)

Nội dung luận văn gồm 4 chương:

Chương 1: Các kiến thức cơ bản (5 trang)

Chương 2: Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong các bài toán chia hết

(15 trang)

Chương 3: Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong các bài toán suy luận

(17 trang)

Chương 4: Một số ứng dụng khác của nguyên lý Dirichlet ( 19 trang)

Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng trong số học

Đinh Thanh Huyền

6

CHƯƠNG I

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

Nguyên lý những cái lồng nhốt các chú thỏ đã được biết đến từ rất lâu.

Nguyên lý này được phát biểu đầu tiên bởi nhà toán học Johann Peter Gustav

Lejeune Dirichlet (13/2/1805 – 5/5/1859). Dirichlet là một nhà toán học người

Đức được cho là người đưa ra định nghĩa hiện đại của hàm số.

Ferdinand Eisenstein, Leopold Kronecker, và Rudolf Lipschitz đều là

học trò của ông. Sau khi ông qua đời, các bài giảng của Dirichlet và các kết

quả khác trong ngành số học được sưu tập, biên khảo và xuất bản bởi đồng

nghiệp và cũng là bạn ông là nhà toán học Richard Dedekind dưới tựa đề

Vorlesungen über Zahlentheorie (Các bài giảng về số học).

Ngoài nguyên lý Dirichlet còn có các định lý mang tên ông: Định lý

Dirichlet về cấp số cộng, định lý Dirichlet về xấp xỉ Diophantine, định lý

Dirichlet về phần tử đơn vị.