Nghiên cứu sai lầm phổ biến của học sinh trung học phổ thông trong chứng minh hình học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

PHẠM VĂN HOÀNG

NGHIÊN CỨU SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH

THPT TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

PHẠM VĂN HOÀNG

NGHIÊN CỨU SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH

THPT TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC

Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS CAO THỊ HÀ

THÁI NGUYÊN - 2017

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả

nghiên cứu là trung thực và chƣa đƣợc công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Tác giả luận văn

Phạm Văn Hoàng

ii

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Cao Thị Hà, ngƣời đã tận

tình hƣớng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn.

Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, các cô giáo trong Tổ bộ môn

Phƣơng pháp giảng dạy bộ môn Toán Trƣờng Đại học Sƣ phạm Thái Nguyên; Ban

Chủ nhiệm khoa Toán, Ban Chủ nhiệm khoa Sau Đại học Trƣờng Đại học Sƣ phạm

– Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình

học tập, thực hiện và hoàn thành luận văn.

Tác giả cũng xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, các bạn đồng nghiệp

trƣờng THPT Cầu Xe- huyện Tứ Kỳ- tỉnh Hải Dƣơng đã giúp đỡ, tạo điều kiện

thuận lợi trong suốt quá trình nghiên cứu và thực nghiệm.

Dù đã rất cố gắng, song luận văn cũng không tránh khỏi khỏi những hạn chế

và thiếu sót. Tác giả rất mong nhận đƣợc sự góp ý của thầy cô và các bạn.

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Tác giả luận văn

Phạm Văn Hoàng

iii

MỤC LỤC

Trang

TRANG PHỤ BÌA

LỜI CAM ĐOAN .......................................................................................................i

LỜI CẢM ƠN............................................................................................................ii

MỤC LỤC................................................................................................................ iii

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN................................iv

MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1

1. Lí do chọn đề tài .....................................................................................................1

2. Mục đích nghiên cứu ..............................................................................................3

Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ....................................................5

1.1. Cơ chế tâm lí học trong việc hình thành sai lầm của HS trong quá trình học tập.....5

1.2. Năng lực chứng minh hình học ...........................................................................6

1.2.1. Khái niệm chứng minh- cấu trúc của phép chứng minh ...................................6

1.2.2. Cơ sở lôgic trong chứng minh hình học............................................................8

1.2.3. Một số biểu hiện của năng lực chứng minh hình học .....................................12

1.3. Quan niệm về sai lầm của HS trong giải toán ...................................................13

1.4. Cơ sở sai lầm của HS từ một số lý thuyết dạy học............................................14

1.4.1. Quan điểm DH trong thuyết hành vi...............................................................14

1.4.2. Quan điểm DH trong thuyết kiến tạo ..............................................................14

1.5. Thực trạng những sai lầm của học sinh THPT trong giải toán hình học ..........15

1.5.1. Điều tra từ giáo viên........................................................................................15

1.5.2. Điều tra từ học sinh .........................................................................................15

1.6. Kết luận chƣơng 1..............................................................................................47

Chƣơng 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƢ PHẠM ĐỂ SỬA CHỮA, PHÒNG

TRÁNH CÁC SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH THPT TRONG

CHỨNG MINH HÌNH HỌC. ................................................................................48

2.1. Biện pháp 1: GV cung cấp cho HS các kiến thức đầy đủ, chính xác................48

2.2. Biện pháp 2: GV tập luyện cho HS vẽ hình đúng. ............................................55

iv

2.3. Biện pháp 3: GV tập luyện cho HS tìm hiểu đúng luận đề, luận cứ, luận chứng

trong các bài toán có lời giải.....................................................................................61

Kết luận chƣơng 2 ...................................................................................................80

Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ..............................................................81

3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm ..................................................................81

3.2. Nôi dung thực nghiệm. ......................................................................................81

3.3. Tổ chức thực nghiệm. ........................................................................................82

3.3.1. Đối tƣợng thực nghiệm: ..................................................................................82

3.3.2. Tiến trình thực nghiệm....................................................................................84

3.4. Phân tích kết quả thực nghiệm ..........................................................................85

3.4.1. Phân tích định tính ..........................................................................................85

3.4.2. Phân tích định lƣợng .......................................................................................86

3.5. Kết luận chung về thực nghiệm.........................................................................89

KẾT LUẬN..............................................................................................................90

TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................91

PHỤ LỤC

iv

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

STT Viết tắt Viết đầy đủ

1 DH Dạy học

2 Đccm Điều cần chứng minh

3 GV Giáo viên

4 HS Học sinh

5 PP Phƣơng Pháp

6 PT Phƣơng trình

7 SGK Sách giáo khoa

8 THPT Trung học phổ thông

9 VTCP Véctơ chỉ phƣơng

10 VTPT Véctơ pháp tuyến

1

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Toán học giữ một vị trí quan trọng trong cuộc sống, Toán học không chỉ có

những ứng dụng to lớn trong cuộc sống mà nó còn giúp chúng ta việc rèn luyện PP

suy nghĩ, PP suy luận, PP học tập, PP giải quyết các vấn đề, ngoài ra nó còn giúp

chúng ta rèn luyện trí thông minh sáng tạo. Toán học còn giúp chúng ta rèn luyện

nhiều đức tính quý báu khác nhƣ: cần cù và nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý chí vƣợt

khó, yêu thích sự chính xác, ham chuộng chân lý.

Các nhà giáo dạy Toán chính là các huấn luyện viên trong môn “thể thao trí tuệ”

này, công việc dạy Toán của chúng ta nhằm rèn luyện cho HS tƣ duy Toán học cùng

những phẩm chất của con ngƣời lao động mới để các em vững vàng trở thành những

chủ nhân tƣơng lai của đất nƣớc.

Ở trƣờng phổ thông DH Toán là dạy hoạt động Toán học. Đối với HS có thể

xem giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học. Các bài Toán ở trƣờng

phổ thông là một phƣơng tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế đƣợc trong việc

giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tƣ duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng

toán học vào cuộc sống. Dạy học giải Toán mang trong mình các chức năng: giáo

dƣỡng, giáo dục, phát triển và kiểm tra. Vì vậy, hoạt động giải Toán là điều kiện để

thực hiện tốt các mục đích DH Toán. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc DH giải Toán

có vai trò quyết định đối với chất lƣợng DH Toán.

Trong chƣơng trình môn Toán ở trƣờng THPT, nội dung Hình học chiếm một

phần rất quan trọng, việc DH Hình học không chỉ cung cấp cho ngƣời học những kiến

thức về các đối tƣợng hình học và các quan hệ giữa chúng mà nó còn rèn luyện năng

lực tƣ duy lôgic, phẩm chất trí tuệ, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề và khả

năng vận dụng các kiến thức Hình học vào thực tiễn cuộc sống cho HS.

Tuy nhiên thực tiễn DH cho thấy, hầu hết HS khẳng định Toán học, đặc biệt là

nội dung Hình học là môn học khó và trừu tƣợng. Một trong các biểu hiện của sự khó

khăn đó là HS thƣờng mắc phải những sai lầm trong quá trình giải toán, HS không tự

tin khi giải toán mà không có sự trợ giúp của thầy giáo hoặc bạn học dẫn đến HS ngại

khi học Hình học. Đã có nhiều hƣớng nghiên cứu để nâng cao chất lƣợng DH Toán ở

2

trƣờng phổ thông nhƣ: tổ chức các hoạt động DH để gây đƣợc hứng thú cho HS trong

quá trình DH, phát triển tƣ duy cho HS trong DH Toán, phát hiện những sai lầm của

HS trong DH ... Việc nghiên cứu những sai lầm phổ biến của HS trong quá trình DH

Toán ở trƣờng phổ thông đã có nhiều tác giả trong và ngoài nƣớc quan tâm, các

nghiên cứu trên đều tập trung vào 2 hƣớng chính [15]:

- Hƣớng thứ nhất: Tìm hiểu sai lầm của HS, tìm hiểu nguyên nhân và đề xuất

các biện pháp để giúp HS sửa chữa các sai lầm đó. Đại diện cho hƣớng nghiên cứu

này là A.A Stoliar khi nói về việc xử lí với các sai lầm của HS trong quá trình DH đã

nói: “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh”.

- Hƣớng thứ hai: Tìm hiểu các sai lầm, khó khăn của HS trƣớc khi lĩnh hội

kiến thức mới và thiết kế các tình huống học tập để HS vƣợt qua sai lầm, khó khăn

này và hình thành tri thức mới. Các đại diện cho hƣớng nghiên cứu này đó là các nhà

nghiên cứu quá trình DH theo quan điểm kiến tạo, hoặc một trong các đại diện tiêu

biểu khác đó chính là G. Polya, ông nói “Con người phải biết học ở những sai lầm và

những thiếu sót của mình ”; B.V.Gờn hedencô đã nêu ra 5 phẩm chất của tƣ duy

Toán học thì đã có tới 3 phẩm chất liên quan tới việc tránh sai lầm khi giải Toán:

+ Năng lực nhìn thấy đƣợc tính không rõ ràng của suy luận; thấy sự thiếu các

mắt xích cần thiết của chứng minh.

+ Có thói quen lý giải lôgic một cách đầy đủ.

+ Sự chính xác của suy luận.

Nhiều tác giả trong nƣớc đã có những nghiên cứu về những sai lầm phổ biến

của HS trong quá trình dạy học Toán ở trƣờng phổ thông nhƣ: Nguyễn Vĩnh Cận- Lê

Thống Nhất- Phan Thanh Quang trong cuốn “Sai lầm phổ biến khi giải Toán”; Trần

Phƣơng- Nguyễn Đức Tấn trong cuốn “Những sai lầm phổ biến trong giải toán phổ

thông”; Trần Phƣơng -Nguyễn Đức Tấn trong cuốn “Sai lầm thƣờng gặp và các sáng

tạo khi giải toán”; -

-

n dạng và phân

tích những sai lầm mà HS có thể mắc phải trong quá trình DH Toán, tuy nhiên phạm

vi nghiên cứu của các tác giả trên đều dàn trải trong toàn bộ chƣơng trình môn Toán

3

ở trƣờng phổ thông chứ chƣa tập trung vào nghiên cứu, phân tích những sai lầm mà

HS mắc phải trong học tập Hình học, đặc biệt là trong chứng minh hình học.

Với những kinh nghiệm giảng dạy môn Toán ở trƣờng THPT và năng lực

chuyên môn của bản thân cùng với các nhận thức nhƣ trên, chúng tôi chọn đề tài

nghiên cứu luận văn là : “NGHIÊN CỨU SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH

THPT TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC ”.

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các sai lầm phổ biến của HS THPT khi giải toán hình học từ đó

đề xuất một số biện pháp sƣ phạm để phòng tránh và sửa chữa các sai lầm này, qua

đó rèn luyện năng lực giải toán hình học cho HS và góp phần nâng cao chất lƣợng

môn Toán ở các trƣờng THPT.

3. Giả thuyết khoa học

Nếu tìm hiểu đƣợc nguyên nhân dẫn đến các sai lầm phổ biến của HS trong

quá trình giải toán hình học và có thể đề xuất đƣợc các biện pháp sƣ phạm phù hợp

giúp HS phát hiện, sửa chữa và tránh đƣợc những sai lầm này thì góp phần rèn luyện

năng lực giải toán hình học cho HS.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Thống kê các sai lầm của HS thông qua phân tích khoảng 200 lời giải các bài

toán thuộc nội dung chứng minh hình học của HS THPT.

- Phân tích các nguyên nhân sai lầm của HS khi giải toán hình học dựa trên các

kết quả thống kê ở trên;

- Đề xuất một số biện pháp sƣ phạm giúp HS phát hiện, sửa chữa và hạn chế dần

những sai lầm khi giải toán hình học;

- Thực nghiệm sƣ phạm để xem xét tính khả thi và tính hiệu quả của các biện

pháp sƣ phạm đã đề xuất.

5. Phƣơng pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận về cơ chế tâm lí học và giáo dục học dẫn đến sai lầm của

HS trong quá trình học Toán;

- Nghiên cứu thực tiễn: Nghiên cứu trên mẫu gồm khoảng 200 lời giải của

hoc sinh THPT về nội dung chứng minh Hình học để thống kê được những sai

4

lầm phổ biến của HS khi học nội dung này, từ đó tìm ra được nguyên nhân dẫn

đến những sai lầm này của HS.

- Thực nghiệm sƣ phạm: trực tiếp giảng dạy thực nghiệm ở khối 10; 12 trƣờng

THPT Cầu Xe – Tứ Kỳ - Hải Dƣơng trong năm học 2016- 2017.

6. Đóng góp của luận văn

- Hệ thống hóa đƣợc một số sai lầm phổ biến của HS trong chứng minh hình học.

-

-

THPT.

- Hình thành cho ngƣời học sự tự tin trong học tập Toán.

7. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, bảng biểu, phụ lục

thì luận văn gồm 3 chƣơng:

Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Chƣơng 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƢ PHẠM ĐỂ SỬA CHỮA, PHÒNG

TRÁNH CÁC SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH THPT TRONG CHỨNG

MINH HÌNH HỌC

Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM

5

Chƣơng 1.

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Cơ chế tâm lí học trong việc hình thành sai lầm của HS trong quá trình học tập

Sự phát triển tâm lý của mỗi con ngƣời là một quá trình mà con ngƣời đó lĩnh

hội nền văn hóa xã hội loài ngƣời và sự phát triển này là kết quả hoạt động của chính

cá nhân ngƣời đó với những đối tƣợng do loài ngƣời tạo ra. Theo Lê Văn Hồng “Bản

chất của sự phát triển tâm lý trẻ em không phải là sự tăng hoặc giảm về số lƣợng, mà

là một quá trình biến đổi về chất lƣợng tâm lý. Sự thay đổi về lƣợng của các chức

năng tâm lý dẫn đến sự thay đổi về chất và đƣa đến sự hình thành cái mới một cách

nhẩy vọt [11, tr.16]”. Việc nghiên cứu về sự phát triển tâm lí của HS trong quá trình

DH là vấn đề vô cùng lớn và phức tạp, tuy nhiên trong sự phát triển chung về mặt tâm

lí của HS có sự phát triển của tƣ duy. Do vậy, trong khuôn khổ luận văn này chúng

tôi chỉ xin đề cập đến một số yếu tố tâm lí dẫn đến sai lầm trong tƣ duy của HS.

Theo Nguyễn Quang Uẩn “Tƣ duy là một quá trình tâm lý phản ánh những

thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính chất quy luật của

sự vật hiện tƣợng trong hiện thực khách quan mà trƣớc đó ta chƣa biết [24, tr.106]”.

Trong quá trình DH ngƣời GV luôn coi trọng sự phát triển tƣ duy cho HS, hơn nữa để

kích thích HS học tập, phát triển tƣ duy thì ngƣời GV thƣờng đƣa các em vào tình

huống có vấn đề rồi tổ chức cho HS độc lập- sáng tạo giải quyết vấn đề đó. Cũng theo

Nguyễn Quang Uẩn “Tƣ duy thƣờng bắt đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận

thức cảm tính mà nảy sinh tình huống có vấn đề. Nhận thức cảm tính là một khâu của

mối liên hệ trực tiếp giữa tƣ duy với hiện thực, là cơ sở, chất liệu của những khái quát

hiện thực theo một nhóm, lớp, phạm trù mang tính quy luật trong quá trình tƣ duy

[24, tr.110]”. Đứng trƣớc một bài toán, từ nhận thức cảm tính của mình, HS phán

đoán, suy luận, tổng hợp rồi đƣa ra lời giải hoặc kết quả của mình cho bài toán, trên

cơ sở đó HS tự tạo ra những bài toán tƣơng tự hoặc đặc biệt hóa bài toán hoặc trừu

tƣợng hóa và khái quát hóa bài toán. Nhƣ vậy, nếu HS chưa đủ kiến thức hoặc nhận

thức không đúng, không đầy đủ về bản chất- nội dung bài toán tức là nhận thức cảm

6

tính sai từ đó dẫn đến suy luận- tổng hợp sai hoặc thiếu trƣờng hợp, nhƣ thế bài toán

giải sai hoặc giải bài toán chƣa triệt để còn thiếu trƣờng hợp.

Theo Lê Văn Hồng “Học sinh càng trƣởng thành, kinh nghiệm cuộc sống ngày

càng phong phú, các em càng ý thức đƣợc rằng mình đang đứng trƣớc ngƣỡng cửa

của cuộc đời [11, tr.63]”. Do vậy, thái độ có ý thức của các em đối với học tập ngày

càng phát triển. Sự học tập của các em có tính lựa chọn môn học hơn, nó gắn liền với

khuynh hƣớng nghề nghiệp và đòi hỏi tính năng động, độc lập, muốn nắm đƣợc

chƣơng trình mình yêu thích một cách sâu sắc, nhưng lại thường sao nhãng các nội

dung khác hoặc môn học khác.

Tƣ duy của mỗi ngƣời đƣợc hình thành và phát triển trong quá trình hoạt động

nhận thức tích cực của bản thân ngƣời đó. Ở lứa tuổi THPT, HS có khả năng tƣ duy

lý luận, tƣ duy trừu tƣợng một cách độc lập sáng tạo trong những đối tƣợng đã đƣợc

học ở trƣờng . Tƣ duy của các em có chặt chẽ hơn, có căn cứ và nhất quán hơn. Đồng

thời tính phê phán của tƣ duy cũng phát triển. Những đặc điểm trên tạo điều kiện cho

HS thực hiện các thao tác tƣ duy toán học phức tạp, phân tích nội dung cơ bản của

khái niệm trừu tƣợng và nắm đƣợc mối quan hệ nhân quả trong tự nhiên và trong xã

hội. Đó là cơ sở để hình thành thế giới quan. Tuy nhiên, hiện nay một số HS THPT

đạt đƣợc mức độ đặc trƣng cho lứa tuổi trên còn chƣa nhiều. Nhiều HS “đánh giá cao

nhân cách của mình- tỏ ra tự cao, coi thƣờng ngƣời khác [11, tr.68]”. Nhiều khi các

em chƣa chú ý phát huy hết năng lực độc lập suy nghĩ của bản thân, còn kết luận vội

vàng theo cảm tính và kết quả dẫn tới những sai sót, sai lầm đáng tiếc. Việc dẫn đến

sai lầm đáng tiếc đó, HS lại không biết và cứ cho mình là đúng, không kiểm tra -soi

xét lại.

1.2. Năng lực chứng minh hình học

1.2.1. Khái niệm chứng minh- cấu trúc của phép chứng minh

Chứng minh Toán học là quá trình suy luận nhằm xác lập một phán đoán là

đúng bằng cách dùng các phán đoán khác đã đƣợc xác lập là đúng và dựa vào các quy

tắc suy luận. Theo Nguyễn Bá Kim “Trong Toán học, một chứng minh là một cách

trình bày thuyết phục (sử dụng những chuẩn mực đã được chấp nhận trong lĩnh vực

7

đó) rằng một phát biểu toán học là đúng đắn. Chứng minh có được từ lập luận suy

diễn, chứ không phải là tranh luận kiểu quy nạp hoặc theo kinh nghiệm [12]”. Có

nghĩa là, một chứng minh phải biểu diễn cho thấy một phát biểu là đúng với mọi

trƣờng hợp, không có ngoại lệ. Một mệnh đề chƣa đƣợc chứng minh nhƣng đƣợc

chấp nhận đúng đƣợc gọi là một phỏng đoán. Một mệnh đề đã đƣợc chứng minh

thƣờng đƣợc gọi là định lý, một khi định lý đã đƣợc chứng minh, nó có thể đƣợc

dùng làm nền tảng để chứng minh các mệnh đề khác. Một định lý cũng có thể đƣợc

gọi là bổ đề, đặc biệt nếu nó đƣợc dự định dùng làm bƣớc đệm để chứng minh một

định lý khác.

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [12, tr.366] thì “Chứng minh một mệnh đề T là

tìm ra một dãy hữu hạn

A A An

, ,..., 1 2

thỏa mãn các điều kiện sau:

+ Mỗi

( 1, 2,..., ) A i n i

của dãy đó là một tiên đề, hoặc định nghĩa, hoặc suy

ra từ một số trong các

1 2 1

, ,..., A A Ai

nhờ những quy tắc kết luận lôgic;

+

A

n

chính là mệnh đề T.

Nhƣ vậy có thể hiểu: Chứng minh toán học là quá trình suy luận hợp lôgic xuất

phát từ các tiền đề đã biết là đúng (các tiền đề có thể là các tiên đề, các định nghĩa,

các định lí đã đƣợc chứng minh và các giả thiết của mệnh đề đang cần chứng minh)

và nhờ các quy tắc kết luận lôgic để dẫn đến một kết luận đúng. Do vậy, cấu trúc của

một phép chứng minh toán học bao gồm 3 bộ phận (luận đề, luận cứ, luận chứng). Cụ

thể nhƣ sau:

+) Luận đề: Nó trả lời cho câu hỏi: “Chứng minh cái gì?”. Nhƣ vậy ta có thể

hiểu luận đề chính là kết luận của mệnh đề.

+) Luận cứ: Là những tiên đề, định nghĩa, định lý đã biết, giả thiết (của mệnh

đề cần chứng minh) đƣợc đƣa ra làm tiền đề cho mỗi suy luận. Nó trả lời cho câu

hỏi: “Chứng minh dựa vào cái gì ?”.

+) Luận chứng: Là những quy tắc suy luận lôgíc đƣợc sử dụng trong chứng

minh. Nó trả lời cho câu hỏi: “chứng minh bằng cách nào, theo những qui tắc suy

luận nào?”.