Nghiệm tuần hoàn và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình vi phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

NGÔ QUÝ ĐĂNG

NGHIỆM TUẦN HOÀN

VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM

CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

NGÔ QUÝ ĐĂNG

NGHIỆM TUẦN HOÀN

VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM

CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số: 62460103

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TSKH. NGUYỄN THIỆU HUY

Hà Nội - 2017

MỤC LỤC

MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . 3

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 12

1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh, tính ổn định và nhị phân mũ . . . . 12

1.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.2 Tính ổn định và nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Không gian hàm Banach chấp nhận được và không gian giảm

nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.1 Không gian hàm Banach chấp nhận được . . . . . . . . 16

1.2.2 Không gian giảm nhớ (fading memory space) . . . . . . 19

1.2.3 Bất đẳng thức nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3 Nhị phân mũ của họ tiến hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4 Đa tạp ổn định địa phương đối với phương trình tiến hóa nửa

tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Chương 2. SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT VÀ ỔN ĐỊNH CÓ ĐIỀU KIỆN

CỦA NGHIỆM TUẦN HOÀN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA

NỬA TUYẾN TÍNH 28

2.1 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính . . . 28

2.2 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . 35

2.3 Sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn trong trường hợp họ

tiến hóa có nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4 Ổn định có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

i

Chương 3. NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH NỬA TUYẾN

TÍNH VỚI PHẦN PHI TUYẾN ϕ-LIPSCHITZ 51

3.1 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . 51

3.2 Phương trình tiến hóa với họ tiến hóa có nhị phân mũ . . . . 55

3.3 Ổn định có điều kiện và đa tạp ổn định địa phương . . . . . . 58

Chương 4. NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

CÓ TRỄ 69

4.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình có

trễ hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2 Ổn định có điều kiện và đa tạp ổn định địa phương . . . . . . 73

4.3 Trường hợp phương trình có trễ vô hạn: Sự tồn tại duy nhất

nghiệm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.4 Ổn định có điều kiện và đa tạp ổn định địa phương đối với

phương trình có trễ vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN . . . . 113

ii

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, hoàn thành dưới

sự hướng dẫn của PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy. Tất cả các kết quả được

trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công

bố trong bất kỳ công trình nào.

Hà Nội, ngày 06 tháng 9 năm 2017

Người hướng dẫn khoa học Tác giả

PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy Ngô Quý Đăng

1

LỜI CẢM ƠN

Luận án này được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TSKH.

Nguyễn Thiệu Huy-người thầy vô cùng mẫu mực đã tận tình giúp đỡ tôi trên

con đường khoa học. Thầy đã chỉ bảo tôi trong suốt quá trình nghiên cứu,

giúp tôi tiếp cận một lĩnh vực toán học đầy thú vị và luôn tạo ra những thử

thách giúp tôi tự học hỏi, tìm tòi, sáng tạo. Đó là những gì tôi may mắn được

tiếp nhận từ người thầy đáng kính của mình. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu

sắc đến thầy.

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy, cô và các bạn trong xemina

Dáng điệu tiệm cận nghiệm thuộc Viện Toán ứng dụng và Tin học - Đại học

Bách khoa Hà Nội do PGS. TSKH. Nguyễn Thiệu Huy chủ trì. Đây là môi

trường học tập và nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận án này.

Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Viện Đào tạo

Sau đại học, Ban lãnh đạo Viện Toán ứng dụng và Tin học - Đại học Bách

khoa Hà Nội, đặc biệt là các thầy, cô giáo trong Bộ môn Toán cơ bản, Viện

Toán ứng dụng và Tin học - Đại học Bách khoa Hà Nội đã luôn giúp đỡ, động

viện, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả.

Tác giả xin cũng bày tỏ lòng cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Lãnh đạo và

các đồng nghiệp trong Khoa GD Tiểu học, Phòng Khảo thí và Đảm bảo chất

lượng, Khoa Tự nhiên Trường CĐSP Thái Bình đã tạo điều kiện thuận lợi cho

tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người luôn yêu

thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án.

Tác giả

2

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

N : tập các số tự nhiên.

R : tập các số thực.

R+ : tập các số thực không âm.

R− : tập các số thực không dương.

C : tập các số phức.

Lp(R) := 

u : R → R

kukp = (Z

R

|u(x)|

p

dx)

1/p < +∞



, 1 ≤ p < ∞.

L∞(R) := 

u : R → R

kuk∞ = ess sup

x∈R

|u(x)| < +∞

.

L1,loc(R) := 

u : R → R

u ∈ L1(ω) với mọi tập con đo được ω ⊂⊂ R

,

trong đó ω ⊂⊂ R nghĩa là bao đóng ω là tập compact trong R.

X, Y : không gian Banach.

L(X),L(C, X) : không gian các toán tử tuyến tính bị chặn.

M :=







ϕ ∈ L1, loc(R+)

sup

t≥0

Z

t+1

t

|ϕ(τ )|dτ < ∞







,

với chuẩn kϕkM := sup

t≥0

Z

t+1

t

|ϕ(τ )|dτ.

P := 

ϕ ∈ M

ϕ tuần hoàn với chu kì 1

.

E : không gian hàm Banach chấp nhận được trên R+.

M := 

f : R+ → X

kf(·)k ∈ M

với chuẩn kfkM := kkf(·)kkM.

3

C := C([−r, 0], X) không gian các hàm liên tục trên [−r, 0], r > 0,

nhận giá trị trong X với chuẩn kukC = sup

t∈[−r,0]

ku(t)k.

CR−

:= C(R−, X) không gian các hàm liên tục trên R−,

nhận giá trị trong X với chuẩn kukCR−

= sup

t∈R−

ku(t)k.

Cν := n

φ ∈ CR−

lim

s→−∞

kφ(s)k

e

−νs

= 0, ν > 0

o

,

với chuẩn kukν = sup

s∈R−

kφ(s)k

e

−νs

.

Cb(R+, X) := n

v : R+ → X | v liên tục và sup

t∈R+

kv(t)k < ∞

o

,

với chuẩn kvkCb(R+,X)

:= sup

t∈R+

kv(t)k.

Cb(R, X) := n

v : R → X | v liên tục và sup

t∈R

kv(t)k < ∞

o

với chuẩn kvkCb(R,X)

:= sup

t∈R

kv(t)k.

Cb([−r, ∞), X) := n

v : [−r, ∞) → X | v liên tục và sup

t∈[−r,∞)

kv(t)k < ∞, r > 0

o

với chuẩn kvkCb

:= sup

t∈[−r,∞)

kv(t)k.

4

MỞ ĐẦU

1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài

Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến dáng

điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình vi phân là tìm điều kiện tồn tại

nghiệm tuần hoàn (trong trường hợp phần phi tuyến là hàm tuần hoàn theo

thời gian). Bên cạnh một số phương pháp chứng minh tồn tại nghiệm tuần

hoàn mà hầu như chỉ thích hợp cho các phương trình cụ thể như phương pháp

điểm cố định của Tikhonov (xem [21]) hoặc phương pháp hàm Lyapunov (xem

[57]), còn có các phương pháp phổ biến chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần

hoàn là xét tính bị chặn của nghiệm và tính compact của ánh xạ Poincaré

thông qua một số phép nhúng compact (xem [10, 20, 21, 22, 56, 57] và các tài

liệu tham khảo trong đó). Mặc dù vậy, trong một số ứng dụng cụ thể, chẳng

hạn như phương trình vi phân đạo hàm riêng trong các miền không bị chặn

hoặc phương trình vi phân có nghiệm không bị chặn, việc sử dụng các phép

nhúng compact hoặc các phương pháp trên tìm ra nghiệm bị chặn là khó khăn

và không đúng nữa. Để khắc phục được khó khăn này, năm 2014, N.T.Huy

(xem [42]) đã sử dụng phương pháp Ergodic được Zubelevich mở rộng (xem

[51]) vào năm 2006 từ mối liên hệ giữa nghiệm bị chặn và nghiệm tuần hoàn

của phương trình vi phân thường được Massera (xem [16]) nghiên cứu vào

năm 1950 chỉ ra nghiệm tuần hoàn của phương trình Navier-Stokes. Tuy

nhiên, sử dụng phương pháp Ergodic chỉ ra tính tồn tại và duy nhất nghiệm

tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính du

dt = A(t)u + f(t), t ∈ R+

với toán tử tuyến tính A(t) (có thể không bị chặn) sinh ra họ tiến hóa và

trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ đến nay vẫn còn nhiều vấn đề cần

được nghiên cứu.

Một vấn đề quan trọng khác khi nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận nghiệm

5

cũng thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học đó là nghiên cứu về

tồn tại đa tạp tích phân. Nghiên cứu này mang lại cho chúng ta bức tranh

hình học về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân với nhiễu

phi tuyến xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo xác

định. Mặt khác nó còn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm

của những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phương trình đơn

giản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này đối với các nghiệm

của phương trình đang xét. Những kết quả đầu tiên nghiên cứu về sự tồn tại

đa tạp tích phân đối với phương trình vi phân thường được Hadamard (xem

[13]), Perron (xem [49, 50]) đưa ra. Sau đó, Daleckii và Krein (xem [27]) đã

mở rộng các kết quả đó cho phương trình vi phân trong không gian Banach....

Năm 2009, N.T. Huy cùng một số cộng sự đã sử dụng không gian hàm chấp

nhận được, định lý hàm ẩn,... xây dựng đa tạp ổn định địa phương, đa tạp

ổn định bất biến mà không cần dùng điều kiện hằng số Lipschitz đủ nhỏ của

toán tử phi tuyến theo nghĩa cổ điển (xem [40]). Cụ thể các tác giả đã xét

điều kiện tổng quát hơn của phần phi tuyến khi xét sự tồn tại của đa tạp

ổn định bất biến (xem [35]), ở đó hệ số Lipschitz của phần phi tuyến là hàm

phụ thuộc thời gian và thuộc một không gian hàm Banach chấp nhận được.

Việc sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận được đã mang đến một số

kết quả về lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm được công bố trong thời gian

gần đây (xem [4, 28, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45]). Tuy nhiên,

các nghiên cứu này mới xét cho trường hợp xung quanh quỹ đạo cân bằng,

một số dạng phương trình vi phân đạo hàm riêng không trễ hoặc có trễ hữu

hạn.

Từ những phân tích ở trên, trong luận án này, chúng tôi sử dụng phương

pháp Ergodic để nghiên cứu và chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần

hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính; sau đó, áp dụng kết quả này kết

hợp với nguyên lý ánh xạ co, bất đẳng thức Gronwall, bất đẳng thức nón

chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn, ổn định có điều kiện

6

của nghiệm tuần hoàn, đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần

hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính.

Chúng tôi xin trình bày cụ thể như sau: Trước tiên, xét phương trình

tuyến tính

du

dt = A(t)u + f(t), t ≥ 0, (1)

trong đó với mỗi t ∈ R+, A(t) là toán tử có thể không bị chặn trên không

gian Banach X sao cho họ (A(t))t≥0 sinh ra họ tiến hóa (U(t, s))t≥s≥0 tuần

hoàn trên X, f(t) là hàm tuần hoàn theo t lấy giá trị trong X. Chúng tôi

sử dụng phương pháp Ergodic để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn

thông qua sự tồn tại nghiệm bị chặn mà chuẩn sup của nó có thể được đánh

giá bởi chuẩn sup của các hàm đầu vào f. Lưu ý rằng [51] là công trình đầu

tiên được O. Zubelevich sử dụng phương pháp này cho nghiên cứu nghiệm

tuần hoàn.

Tiếp theo, chúng tôi sử dụng nguyên lý điểm bất động kết hợp với kết

quả tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình (1) để chứng minh tính tồn

tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

trừu tượng với các dạng sau:

•

du

dt = A(t)u(t) + G(t, u(t)), t ≥ 0, (2)

trong đó G(t, x) là hàm tuần hoàn theo t với mỗi x cố định và là toán

tử Lipschitz hoặc ϕ-Lipschitz địa phương theo x, với ϕ thuộc lớp không

gian hàm chấp nhận được.

•

du

dt = A(t)u(t) + G(t, ut), t ≥ 0, (3)

trong đó G(t, ut) là hàm phi tuyến tuần hoàn theo t xác định trên không

gian Banach C hoặc Cν, thỏa mãn điêu kiện ϕ-Lipschitz địa phương, với

ϕ thuộc lớp không gian hàm chấp nhận được.

7