Một vài bài toán về điều khiển tối ưu.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN − − − ? − − −

LÊ THỊ VY

MỘT VÀI BÀI TOÁN

VỀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHÍNH QUY

Chuyên ngành: Cử Nhân Toán Ứng Dụng

Người hướng dẫn:

Th.S NGUYỄN HOÀNG THÀNH

Đà Nẵng, ngày 4 tháng 5 năm 2015

Mục lục

LỜI NÓI ĐẦU 4

1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 5

1.1 Đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Giải tích thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.4 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.5 Phiếm hàm tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.6 Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.7 Giải tích lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.8 Toán tử nửa nhóm liên tục . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 GIỚI THIỆU VỀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU 24

2.1 Khái niệm về đối tượng bị điều khiển . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Đặt bài toán điều khiển và điều khiển tối ưu . . . . . . . . 25

2.3 Phân loại các bài toán điều khiển tối ưu . . . . . . . . . . . 28

2.4 Bài toán quy hoạch động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5 Nguyên lý cực đại Pontriagin . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 CÁC BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU ĐẶC BIỆT 49

3.1 Bài toán tối ưu toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

− 2 −

3.2 Bài toán tối ưu tác động nhanh . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3 Bài toán tối ưu đẳng chu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4 Phương pháp tính trong điều khiển tối ưu . . . . . . . . . . 58

KẾT LUẬN 62

TÀI LIỆU THAM KHẢO 63

− 3 −

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết điều khiển tối ưu xuất hiện từ những năm 50 của thế kỷ hai

mươi với một loạt công trình tiêu biểu của các nhà toán học Nga, đứng

đầu là L.C.Pontriagin về nguyên lý cực đại để tìm điều kiện cần các quá

trình tối ưu. Phát triển từ những bài toán tối ưu hóa cổ điển như bài

toán biến phân, bài toán quy hoạch động,... Bài toán điều khiển tối ưu là

bài toán tìm các quá trình tối ưu cho các hệ điều khiển mô tả bởi các

phương trình toán học.

Khóa luận gồm 3 chương:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở về đại số tuyến tính,

giải tích thực và phương trình vi phân.

Chương 2: Giới thiệu một số bài toán điều khiển tối ưu.

Chương 3: Trình bày một số bài toán điều khiển tối ưu đặc biệt.

Em xin chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn Th.S Nguyễn Hoàng

Thành, đã giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu và hướng dẫn em trong suốt

quá trình thực hiện đề tài của mình và đã giúp em thu được rất nhiều

kiến thức bổ ích trong quá trình hoàn thành đề tài này.

Đồng thời em cũng xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô khoa Toán, trường

Đại học Sư phạm Đà Nẵng đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ em hoàn thành

khóa luận của mình.

Đà Nẵng, ngày 4 tháng 5 năm 2016

Sinh viên

− 4 −

Chương 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Đại số tuyến tính

Ma trận A=[aij ], i=1,2,...,m; j=1,2,...n, với các số thực aij ∈ R có m

hàng và n cột, gọi là ma trận (n x m) chiều. A

0

là ma trận chuyển vị của

A bằng cách hoán vị hàng thành cột và cột thành hàng. Khi đó nếu A là

ma trận (n x m) chiều thì A

0

là (m x n) chiều.

Cho hệ thống n vectơ {a1, a2, ..., an}, ai ∈ R

n

. Hệ thống này gọi là độc

lập tuyến tính nếu từ

λ1a1 + λ2a2 + ... + λnan = 0, λi ∈ R, i = 1, 2, ..., n. (1.1)

suy ra λ1 = λ2 = ... = λn = 0.

Ngược lại nếu có vectơ {λ1, λ2, ..., λn} 6= 0 sao cho (1.1) thỏa mãn hệ

đó thì gọi là phụ thuộc tuyến tính.

Hạng của ma trận A-(n x m) chiều ký hiệu rank A được xác định là số

cực đại trong số các hàng (hoặc cột) của ma trận là độc lập tuyến tính.

Ma trận A-(n x n) là không suy biến nếu det A6= 0 hay rank A=n.

Vectơ v ∈ R

n

, v 6= 0 gọi là vectơ riêng của ma trận A-(n x n) chiều

nếu có một số λ (có thể là số thực hoặc phức) sao cho Av=λv. Số λ này

gọi là giá trị riêng của A ứng với vectơ riêng v, tập các giá trị riêng của

A sẽ ký hiệu là λ(A). Các giá trị riêng của A được xác định bởi nghiệm

của phương trình đa thức đặc trưng của A

− 5 −

det(λI − A) = 0

hay

p(λ) = λ

n + a1λ

n−1 + a2λ

n−2 + ... + an−1λ + an = 0

Định lý 1.1. (Cayley-Hamilton)

Mọi ma trận A-(n × n) chiều đều là nghiệm của đa thức đặc trưng

của nó

p(A) = An + a1An−1 + ... + an−1A + anI = 0.

Định lý 1.2. (Jordan)

Mọi ma trận A-(n × n) chiều bất kỳ có thể đưa về dạng Jordan sau

đây bằng một phép biến đổi ma trận không suy biến P

A → P AP −1 =





j1 0 ... 0

0 j2 ... 0

... ... ... ...

0 0 0 jr





, Jk=





λk bk ... 0 0

0 λk ... 0 0

... ... ... ... ...

0 0 ... λk bk

0 0 ... 0 λk





, bk6=0,

hoặc Jk = [λk], k = 1, 2, ..., r,

trong đó [λk] ký hiệu ma trận vuông chéo với các phần tử đường chéo là

λk và λ1, λ2, ..., λk là các giá trị riêng của A. Nếu bội của λk là m thì số

chiều của Jk sẽ là (m × m).

Cho ma trận A-(n × n) chiều, A = [aij ], i, j = 1, 2, ..., n. Chuẩn của

ma trận A sẽ xác định bởi kAk=

P

n

i=1

P

n

j=1

|aij |

2

!1/2

Cho hàm số đa thức tùy ý bậc n

f(λ) = X

n

k=0

ckλ

k

, (1.2)

nếu n = ∞ thì chuỗi được giả thiết là hội tụ. Hàm của ma trận A được

xác định bởi f(A) = P

n

k=0

ckAk

,

Ví dụ, nếu f(λ) = e

λ

, ta có e

A = 1 +

A

1! +

A2

2! + ... +

An

n!

+ ...

− 6 −