Một số vấn đề về tính chính quy mêtric toàn cục của ánh xạ đa trị và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

TRÀ QUỐC ANH

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍNH CHÍNH QUY MÊTRIC

TOÀN CỤC CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Bình Định - Năm 2021

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

TRÀ QUỐC ANH

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍNH CHÍNH QUY MÊTRIC

TOÀN CỤC CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ ÁP DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 8 46 01 02

Người hướng dẫn: TS. NGUYỄN HỮU TRỌN

Lời cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn dưới sự hướng dẫn

của TS. Nguyễn Hữu Trọn. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi.

Các kết quả trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng

và chưa từng được ai công bố trước đó.

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy

Nhơn, dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo, Tiến sĩ Nguyễn Hữu Trọn. Tôi xin bày tỏ

lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến Thầy, người đã luôn tận tình hướng dẫn,

giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành

luận văn này.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô Khoa Toán và Thống kê đã tận

tình giảng dạy, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và nghiên

cứu tại trường.

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn cũng khó tránh khỏi một số sai sót

và hạn chế. Tôi mong muốn nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và

các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.

Xin chân thành cảm ơn!

Mục lục

1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Nguyên lí biến phân Ekeland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Lý thuyết chính quy mêtric trên tập cố định 9

2.1 Lý thuyết chính quy mêtric địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Lý thuyết chính quy mêtric toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Đặc trưng của tính chính quy toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.1 Tính chính quy và tính đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.2 Tiêu chuẩn chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.3 Định lí trù mật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.4 Tính dưới chính quy mêtric, tính calm, tính điều khiển được,

tính lùi xa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4 Tính ổn định nhiễu của tính chính quy toàn cục . . . . . . . . . . . 35

2.4.1 Tính chính quy của ánh xạ tổng . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.2 Tính chính quy của ánh xạ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Ứng dụng trong các định lí điểm bất động đa trị 44

3.1 Sự tồn tại của điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2 Tính ổn định của bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3 Sự tồn tại điểm bất động kép và điểm trùng . . . . . . . . . . . . . . 52

1

Lời nói đầu

Tính chính quy mêtric là một khái niệm trung tâm của Giải tích biến phân, ra

đời những năm 1980. Nó có nguồn gốc từ Nguyên lý ánh xạ mở của Banach-Một

trong ba nguyên lý cơ bản của Giải tích hàm, Định lí Lyusternik nổi tiếng về không

gian tiếp xúc và Định lí toàn ánh của nhà toán học Graves, và trong kết quả cơ

bản của Giải tích là Định lí hàm ẩn và Định lí hàm ngược cổ điển. Nó được giới

thiệu và nghiên cứu bởi các nhà toán học hàng đầu trong Giải tích biến phân như:

Borwein [2] [3], Ioffe [6], Rockafellar [5], Mordukhovich, Penot, Théra và các nhà

toán học trong nước như Nguyễn Đông Yên [1], Phan Quốc Khánh, Huỳnh Văn

Ngãi, Nguyễn Hữu Trọn,. . . Tính chính quy mêtric đóng vai trò cực kỳ quan trọng

trong nghiên cứu một số vấn đề cơ bản của giải tích như xem xét sự tồn tại và

dáng điệu của tập nghiệm của các phương trình tổng quát có dạng: y ∈ F(x) (trong

đó F và y được xem là dữ liệu, x là ẩn) dưới sự thay đổi nhỏ của dữ liệu. Những

vấn đề đó dẫn đến ý tưởng đánh giá khoảng cách từ một điểm gần nghiệm đến tập

nghiệm của phương trình qua ánh xạ F dưới dạng bất đẳng thức:

d(x, F −1

(y)) ≤ kd(y, F(x))

Phạm vi ứng dụng của nó rất rộng bao gồm phân tích sự hội tụ của các thuật

toán, các điều kiện tối ưu, lý thuyết điểm bất động, điểm trùng,... Tuy nhiên, cho

đến nay, hầu hết những nghiên cứu chỉ mới dừng lại ở việc khảo sát tính chính

quy mêtric địa phương, tức là ước lượng trên đúng cho những cặp gần cho trước.

Nghiên cứu tính chính quy mêtric kiểu Holder chỉ mới xuất hiện gần đây trong các