Một số vấn đề về tích phân phức thặng dư và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG

KHOA TOÁN VÀ KHTN

———————o0o——————–

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍCH PHÂN PHỨC

Chuyên ngành: Hàm biến phức

Giảng viên hướng dẫn: Ths. ĐỖ THỊ HOÀI

Sinh viên: ĐOÀN THỊ MINH HẬU

Lớp: ĐHSPTH.K17

HẢI PHÒNG, 06/2020

Lời cảm ơn

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự giúp đỡ của các thầy cô giáo

trong Tổ Giải Tích - Khoa Toán và KHTN - Trường Đại Học Hải Phòng.

Cho phép em được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô trong Tổ

Giải Tích, đặc biệt là cô Đỗ Thị Hoài , người trực tiếp hướng dẫn em trong quá

trình thu nhập tài liệu, nghiên cứu để em hoàn thành khóa luận.

Bước đầu nghiên cứu khoa học, hơn nữa thời gian nghiên cứu còn hạn chế

em khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Em rất mong nhận được sự đóng

góp, chỉ bảo của các thầy cô giáo, của các bạn để khóa luận hoàn thiện hơn. Em

xin chân thành cảm ơn!

Hải Phòng, tháng 6 năm 2020.

1

Mục lục

Lời cảm ơn 1

Lời mở đầu 4

1 TÍCH PHÂN PHỨC 1

1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Lý thuyết tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Các định lý cauchy về tích phân các hàm chỉnh hình trên

đường cong đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.2 Công thức tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.3 Tích phân loại Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.4 Một số định lý quan trọng của hàm chỉnh hình . . . . . . . 7

1.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1 Tính tích phân phức bằng cách đưa về tích phân thực và

sử dụng công thức z = x + iy, z = a + reit . . . . . . . . . . 8

1.4.2 Tính tích phân phức bằng cách đưa về tích phân đường

loại II và sử dụng công thức Green . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.3 Tính tích phân sử dụng công thức tích phân Cauchy . . . 15

1.4.4 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 LÝ THUYẾT THẶNG DƯ 21

2.1 Chuỗi Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.2 Khai triển Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.3 Điểm kì dị cô lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Định nghĩa và cách tính thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Các định lý về thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2

Khóa luận tốt nghiệp KHOA TOÁN VÀ KHTN

2.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4.1 Khai triển laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4.2 Thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.3 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA THẶNG DƯ 32

3.1 Tính tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3 Tính tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.1 Tính tích phân dạng Z +∞

−∞

R(x)dx . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.2 Tính tích phân dạng Z

R

e

iaxR(x)dx . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.3 Tính tích phân dạng Z

R+

R(x)x

α

dx . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4 Tìm tổng của chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5.1 Tính tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5.2 Tính tích phân đường bằng cách sử dụng thặng dư hoặc

sử dụng công thức tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . 39

3.5.3 Tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.5.4 Tính tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5.5 Tìm tổng của chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Kết luận 48

Tài liệu tham khảo 49

Sinh viên: Đoàn Thị Minh Hậu Lớp ĐHSPTH.K17

Mở đầu

Lý do chọn đề tài

Sự ra đời của số phức và quá trình nghiên cứu phát triển hoàn thiện lí thuyết

hàm số biến số phức như một dấu mốc quan trọng trong quá trình phát triển

toán học. Những kết quả đạt được trong lý thuyết đó đã giải quyết rất nhiều

những vấn đề quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học, đời sống khác nhau.

Trong quá trình học tại THPT, học sinh đã được làm quen và giải quyết một

số dạng bài tập về tích phân thực. Đối với sinh viên chuyên nghành sư phạm

toán chúng em khi được tiếp xúc với tích phân phức đã thấy được đây là một

vấn đề hay, đòi hỏi các kiến thức cơ bản về tích phân cũng như là số phức phải

chắc chắn để làm nền tảng tìm hiểu lí thuyết tích phân phức.

Tuy nhiên học phần hàm biến phức chỉ được giảng dạy với số tín chỉ là 3

tín chỉ, do đó cả lý thuyết và bài tập về số phức, hàm biến phức chỉ mới được

giới thiệu một cách cơ bản. Đặc biệt tích phân phức lại chỉ là một vấn đề của

bộ môn hàm biến phức nên chưa được tìm hiểu chuyên sâu. Mà trong đó, các

cuốn sách tham khảo và tài liệu nghiên cứu dành cho sinh viên yêu thích tích

phân phức chưa nhiều, đa dạng và hầu như được biên soạn không có hướng dẫn

cụ thể hoặc hướng dẫn theo những cách khác nhau, khó tiếp cận. Bởi vậy việc

nghiên cứu về tích phân phức là rất cần thiết và quan trọng đối với sinh viên.

Do vậy, đó là lý do em đã chọn đề tài "Một số vấn đề về tích phân phức" để

thực hiện khóa luận tốt nghiệp.

Mục đích nghiên cứu

• Tổng hợp hệ thống lý thuyết về tích phân phức, lý thuyết thặng dư, đưa

ra các dạng toán cơ bản và các bài tập tương ứng.

• Trình bày phân loại một số ứng dụng của thặng dư và các bài tập tương

4