Một số vấn đề về hàm đơn điệu và hàm lồi ma trận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

—————————————–

CAO THỊ ÁI LOAN

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM ĐƠN ĐIỆU VÀ

HÀM LỒI MA TRẬN

LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Bình Định - Năm 2022

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

—————————————–

CAO THỊ ÁI LOAN

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM ĐƠN ĐIỆU VÀ

HÀM LỒI MA TRẬN

Ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 8460104

Người hướng dẫn: PGS.TS. LÊ CÔNG TRÌNH

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Lê

Công Trình vì đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian

tôi thực hiện luận văn. Đồng thời, tôi cũng xin chân thành gửi lời cảm ơn

sâu sắc đến tất cả các thầy cô trong Khoa Toán và Thống kê, khoa Sư

phạm, phòng Đào tạo sau đại học, nhà trường, gia đình và bạn bè đã tạo

mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn này.

Bình Định, ngày ... tháng ... năm 2022

Học viên

Cao Thị Ái Loan

i

Mục lục

Mở đầu iii

1 Kiến thức chuẩn bị 1

1.1 Giá trị riêng và phổ của ma trận . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Vết và định thức của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Ma trận dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Phân tích Schmidt và phân tích phổ . . . . . . . . . . . . 3

2 Hàm đơn điệu ma trận và hàm lồi ma trận 5

2.1 Hàm đơn điệu ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Định nghĩa và ví dụ về hàm đơn điệu ma trận . . 5

2.1.2 Tiêu chuẩn đạo hàm cho tính đơn điệu ma trận . . 8

2.2 Hàm lồi ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.2 Hàm lồi ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Biểu diễn tích phân của hàm đơn điệu ma trận và hàm lồi

ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.1 Hàm Pick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.2 Định lý L¨owner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.3 Biểu diễn tích phân của hàm đơn điệu ma trận và

hàm lồi ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Một số áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Kết luận 34

Tài liệu tham khảo 34

ii