Một số vấn đề về đường tròn Mixtilinear

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ HẰNG

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ

ĐƯỜNG TRÒN MIXTILINEAR

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, 10/2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ HẰNG

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ

ĐƯỜNG TRÒN MIXTILINEAR

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS. TRẦN VIỆT CƯỜNG

Thái Nguyên, 10/2017

i

Mục lục

Danh mục ký hiệu ii

Danh sách hình vẽ iii

Mở đầu 1

Chương 1. Đường tròn Mixtilinear 4

1.1 Một số kiến thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Đường tròn Mixtilinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Định nghĩa và cách dựng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2 Một số tính chất của đường tròn Mixtilinear . . . . . . . 12

1.2.3 Ứng dụng của đường tròn Mixtilinear . . . . . . . . . . . 23

Chương 2. Đường tròn Thebault 33

2.1 Định nghĩa và cách dựng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Một số tính chất của đường tròn Thebault . . . . . . . . . . . . 35

2.3 Ứng dụng của đường tròn Thebault . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Kết luận 56

Tài liệu tham khảo 57

ii

Danh mục ký hiệu

(O) Đường tròn tâm O

(O, a) Đường tròn tâm (O) bán kính a

(O, AB) Đường tròn tâm (O) bán kính AB

(ABC) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

(ABCD) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD

wa, wb

, wc Đường tròn Mixtilinear ứng với góc A, B, C

(ABCD) = −1 Tỉ số kép bằng −1

I(ABCD) = −1 Chùm điều hòa

V(O,k) Phép vị tự tâm O, tỉ số k

PA/(O) Phương tích của điểm A với đường tròn (O)

rABC Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

SABC Diện tích tam giác ABC

p(ABC) Nửa chu vi tam giác ABC

iii

Danh sách hình vẽ

1.1 AP BQ là tứ giác điều hòa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Hai đường tròn (I, R) và (I

0

, R0

) có O1 là tâm vị tự ngoài, O2 là

tâm vị tự trong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Các tâm vị tự A1, A2, A3 thẳng hàng. . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Phương tích của điểm P với đường tròn (O) là P A · P B. . . . . 7

1.5 Tâm đẳng phương P của 3 đường tròn (O1),(O2),(O3). . . . . . 8

1.6 Định lý Menelaus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7 Định lý Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.8 Ba đường tròn Mixtilinear (OA),(OB),(OC) của tam giác ABC. 10

1.9 Cách dựng đường tròn Mixtilinear thứ nhất. . . . . . . . . . . . 11

1.10 Cách dựng đường tròn Mixtilinear thứ hai. . . . . . . . . . . . . 11

1.11 Cách dựng đường tròn Mixtilinear thứ ba. . . . . . . . . . . . . 12

1.12 Cách dựng đường tròn Mixtilinear thứ tư. . . . . . . . . . . . . 12

1.13 I là trung điểm của AbAc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.14 XI đi qua điểm chính giữa cung BAC. . . . . . . . . . . . . . . 13

1.15 AbAc, BC, XD, ObOc, Y Z đồng quy tại một điểm. . . . . . . . . 14

1.16 AL song song với BC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.17 AEKF là hình bình hành. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.18 AF XE là tứ giác điều hòa, (I1) và (I2) tiếp xúc nhau. . . . . . 16

1.19 MN k AI và (XIN) tiếp xúc với (O). . . . . . . . . . . . . . . 18

1.20 AX, AP là hai đường đẳng giác trong góc BAC. . . . . . . . . . 19

1.21 XOb

, XOc là hai đường đẳng giác trong góc BXC. . . . . . . . 19

1.22 BaAbCbBcAcCa là lục giác ngoại tiếp đường tròn (I). . . . . . . 20

1.23 RS là tiếp tuyến của wa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.24 UV là tiếp tuyến chung của (I) và (Ia). . . . . . . . . . . . . . . 21

1.25 A4D là trục đẳng phương của wb và wc. . . . . . . . . . . . . . 22

1.26 Z, Y, K, J thuộc cùng một đường tròn. . . . . . . . . . . . . . . 24

iv

1.27 (QMN) luôn đi qua điểm J. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.28 T E là phân giác góc AT B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.29 E, I, F thẳng hàng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.30 K, T, I thẳng hàng, K, Q, R thẳng hàng, MaQ vuông góc BC. . 27

1.31 IQ luôn đi qua một điểm X cố định. . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.32 P, I, D thẳng hàng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.33 MN và P Q cắt nhau trên (O). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.34 M, T, X thẳng hàng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1 Đường tròn Thebault. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Cách dựng đường tròn Thebault. . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 I, E, F thẳng hàng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4 I, O1, O2 thẳng hàng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5 (O1) tiếp xúc với (O2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.6 Hai đường tròn (O1) và (O2) bằng nhau. . . . . . . . . . . . . . 38

2.7 Đường tròn nội tiếp hai tam giác EDB và EDC bằng nhau. . . 39

2.8 G, E, L, X cùng thuộc một đường tròn. . . . . . . . . . . . . . . 40

2.9 A0J là trục đẳng phương của (O1) và (O2). . . . . . . . . . . . . 41

2.10 (XY Z) tiếp xúc với (O). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.11 (XY Z) tiếp xúc với (O). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.12 ABCD là hình vuông. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.13 M là tâm ngoại tiếp tam giác BCN. . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.14 I là trung điểm HE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.15 LK là đường trung trực của AI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.16 MN đi qua tâm bàng tiếp ứng với đỉnh B của tam giác ABC. . 47

2.17 2EGF d = DAB d + DCB. d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.18 Đường tròn đường kính MN luôn đi qua điểm J cố định. . . . . 49

2.19 R luôn nằm trên một đường tròn cố định. . . . . . . . . . . . . 50

2.20 Trục đẳng phương của (K) và (L) chia đôi các cung AB và CD

của (O). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.21 SM và T N cắt nhau tại E thuộc (O). . . . . . . . . . . . . . . 52

2.22 P I là phân giác góc DP C d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.23 O1O2, I1I2, BC đồng quy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.24 R nằm trên phân giác BAC d khi và chỉ khi MP k BC. . . . . . . 55