Một số vấn đề về bài toán nội suy và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

TRẦN THÚY HƯỜNG

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BÀI TOÁN NỘI

SUY VÀ ỨNG DỤNG

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn : TS. NGUYỄN VĂN VŨ

BÌNH ĐỊNH - 2021

i

Mục lục

Mở đầu 1

1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Phép tính vi phân hàm một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Phép tính tích phân hàm một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Đa thức và một vài tính chất sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Một số lớp đa thức đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Một số bài toán nội suy cổ điển 9

2.1 Khai triển Taylor và một số bài toán nội suy Taylor . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Bài toán nội suy Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.2 Một số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Khai triển Lagrange và bài toán nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Nội suy Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.1 Một số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Đa thức nội suy của một hàm và đánh giá sai số . . . . . . . . . . . . . 16

3 Nội suy Lidstone 18

3.1 Tổng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Đa thức Lidstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3 Biểu diễn đa thức nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 Biểu diễn sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5 Ước lượng sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

ii

4 Ứng dụng bài toán nội suy trong giải toán THPT 43

Kết luận 55

1

Mở đầu

Trong nhiều tình huống nhất định, ta cần phải xác định giá trị (gần đúng) của một

hàm số f(x) tại một họ điểm cho trước, với những điều kiện ban đầu phù hợp (chẳng

hạn, biết một số giá trị rời rạc của hàm số và của các đạo hàm của nó đến cấp nào

đó tại một số điểm x1, x2, ..., xk). Ngay cả khi biểu thức xác định hàm số đã được cho

tường minh, việc tính toán chính xác giá trị hàm theo công thức đôi khi cũng là một

công việc tương đối phức tạp. Bởi vậy, việc tìm kiếm những công cụ tính toán xấp xỉ

có hiệu quả là một vấn đề có nhiều ý nghĩa. Nghiên cứu những phép xấp xỉ như thế là

nội dung của bài toán nội suy, một trường hợp riêng của lý thuyết xấp xỉ trong Giải

tích số.

Các bài toán nội suy cổ điển ra đời từ rất sớm và đóng vai trò quan trọng trong

nhiều lĩnh vực, là một phần quan trọng của đại số và giải tích Toán học. Chúng không

chỉ là đối tượng nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các

mô hình liên tục cũng như các mô hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết phương

trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn,...

Trong chương trình toán phổ thông, lý thuyết về nội suy chưa được đề cập đầy đủ,

nhưng đôi khi ta vẫn bắt gặp những ứng dụng sơ cấp của nó (thường ẩn sau các định

lý, những bài toán liên hệ với đa thức). Trong các kì thi chọn học sinh giỏi các cấp, các

bài toán liên quan đến bài toán nội suy hay xuất hiện dưới dạng các bài toán xác định

đa thức; các bài toán về khai triển, đồng nhất thức; ước lượng và tính giá trị của các

tổng, tích; các bài toán xác định giới hạn của một biểu thức cho trước;... Đây thường

là các bài toán khó, và nhiều khi đòi hỏi kỹ thuật phức tạp. Trong những tình huống

như vậy, việc vận dụng lý thuyết về các bài toán nội suy dưới góc độ toán phổ thông

là cần thiết, thậm chí cho ra những lời giải gọn gàng hơn.

2

Luận văn này hướng đến mục tiêu tiếp cận những vấn đề như vậy. Mục tiêu chủ

yếu của đề tài nhằm tiếp cận một số vấn đề liên quan đến bài toán nội suy đa thức và

vận dụng chúng vào một số bài toán có nội dung liên quan ở chương trình bậc trung

học phổ thông.

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo luận văn gồm có bốn chương.

Chương 1: Một số kiến thức cơ sở, trình bày một số kiến thức về phép tính vi

phân hàm một biến; đa thức và một vài tính chất sơ cấp, các lớp đa thức đa thức

Euler, đa thức Bernoulli.

Chương 2: Một số bài toán nội suy cổ điển, khảo sát một số lớp bài toán nội suy

cổ điển như: khai triển Taylor, khai triển Lagrange, nội suy Newton; đồng thời trình

bày sơ bộ lý thuyết ước lượng sai số trong bài toán nội suy.

Chương 3: Nội suy Lidstone, dành cho việc nghiên cứu một số vấn đề về đa thức

Lidstone, biểu diễn của đa thức nội suy Lidstone và biểu diễn sai số tương ứng.

Chương 4: Ứng dụng, giới thiệu một số bài toán ở bậc trung học phổ thông mà có

thể ứng dụng được đa thức nội suy.

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy hướng dẫn Nguyễn Văn

Vũ, Trường Đại học Quy Nhơn. Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy vì đã

tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng

Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán và Thống kê cùng quý thầy cô giáo giảng dạy lớp

Cao học Phương pháp toán sơ cấp Khóa 22 đã dày công giảng dạy trong suốt khóa

học, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài.

Cuối cùng, tác giả cảm ơn sự hỗ trợ về mặt tinh thần của gia đình và bạn bè đã

luôn tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tôi hoàn thành tốt khóa học và luận văn này.

Mặc dù tác giả đã cố gắng nỗ lực hết mình nhưng luận văn không tránh khỏi có

chỗ thiếu sót cũng như hạn chế nhất định. Tác giả rất mong nhận được những góp ý

của quý Thầy Cô cùng bạn bè và đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn.

3

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi hệ thống hóa một số kiến thức chuẩn bị cần thiết về

sau. Chúng được tham khảo từ các tài liệu [11], [14], [1], [16]. Do điều kiện có hạn, tác

giả sẽ chỉ tập trung đề cập đến những khái niệm quan trọng nhất, phần còn lại được

coi như là quen thuộc, hoặc có thể tìm thấy từ những tài liệu đã dẫn ra.

1.1 Phép tính vi phân hàm một biến

Trong nhiều nội dung chính về sau luận văn sẽ thường xuyên đề cập đến các công

cụ từ giải tích hàm một biến. Mục này sẽ nhắc lại một vài đối tượng thường xuất hiện

nhất trong những lập luận hoặc tính toán. Với một dãy số thực (an) cho trước người

ta nói a là giới hạn của dãy (hay dãy (an) hội tụ về a) nếu

∀ϵ > 0, ∃n0 ∈ N sao cho: n ≥ n0 ⇒

an − a

 < ϵ.

Trong trường hợp ngược lại dãy (an) là phân kỳ. Về mặt ký hiệu, giống như thông lệ ở

các giáo trình giải tích, chúng tôi viết limn→∞ an = a (hay an → a) để chỉ cho sự kiện

dãy (an) hội tụ về a.

Bây giờ, xét hàm số f : D → R với D là một tập trong R và a là điểm tụ của tập D.

Số L sẽ gọi là giới hạn của f khi x dần đến a nếu

∀(xn) ⊂ D, xn ̸= a, xn → a ⇒ f(xn) → L.