Một số vấn đề chọn lọc về dãy số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ THÙY NHI

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC VỀ DÃY SỐ

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60. 46. 01. 13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN DUY THÁI SƠN

Phản biện 1: TS. PHẠM QUÝ MƯỜI

Phản biện 2: TS. HOÀNG QUANG TUYẾN

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày 27

tháng 6 năm 2015.

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Dãy số chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng trong Giải tích

toán học: dãy số không chỉ là một đối tượng để nghiên cứu mà nó

còn đóng vai trò là một công cụ đắc lực trong các mô hình rời rạc

của giải tích, trong lý thuyết vi phân hàm, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết

biểu diễn... Các vấn đề liên quan đến dãy số là rất phong phú. Có thể

kể ra đây một số chủ đề thường gặp: giới hạn dãy số, công thức tìm

số hạng tổng quát, tính đơn điệu và tính bị chặn của dãy số, tính chất

của dãy số nguyên...

Trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán học

quốc tế, hay những kì thi giải toán của nhiều tạp chí toán học thì các

bài toán về dãy số xuất hiện khá nhiều và được xem như những dạng

toán loại khó ở bậc Trung học phổ thông. Một trong các nội dung

thường gặp trong các bài toán về dãy số là xác định số hạng tổng

quát và tìm giới hạn của dãy số. Hiện nay đã có nhiều tài liệu đề cập

đến các khía cạnh khác nhau của dãy số. Tuy nhiên, các tài liệu được

hệ thống theo dạng toán cũng như phương pháp giải thì chưa có

nhiều và tôi mong muốn cung cấp cho các em học sinh, đặc biệt là

các em học sinh giỏi hoặc yêu thích toán, thêm một tài liệu tham

khảo về dãy số. Tôi cố gắng hệ thống các phương pháp giải bài toán

tìm số hạng tổng quát và bài toán về giới hạn của dãy số.

Với những lý do trên và qua khả năng tìm hiểu, nghiên cứu, tôi

chọn “Một số vấn đề chọn lọc về dãy số” làm đề tài cho luận văn tốt

nghiệp bậc cao học của mình.

2. Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là nhằm hệ thống lại một số phương pháp

hiệu quả để giải quyết bài toán xác định công thức tổng quát và

2

chứng minh sự tồn tại hoặc tìm giới hạn của dãy số.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là dãy số.

Phạm vi nghiên cứu: Đề tài chủ yếu đề cập đến phương pháp

xác định công thức tổng quát của dãy số và chứng minh sự tồn tại

hoặc tìm giới hạn của dãy số.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu

Tham khảo các tài liệu viết về dãy số, đặc biệt là các tài liệu

về xác định công thức tổng quát và giới hạn của dãy số, sau đó hệ

thống lại kiến thức.

Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn để trình

bày nội dung các vấn đề của luận văn một cách phù hợp.

5. Bố cục đề tài

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Xác định công thức tổng quát của dãy số

Chương 3: Một số phương pháp chứng minh sự tồn tại hoặc

tìm giới hạn của dãy số

6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu

Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên

quan đến Dãy số và ứng dụng thực tế qua các ví dụ, bài tập áp dụng,

nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên

cứu về Dãy số.

Đưa ra một số bài toán, cũng như một số ví dụ minh họa

nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề được đề cập.

3

CHƢƠNG I

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. DÃY SỐ

Định nghĩa 1.1.1.[3] Một hàm số

u

xác định trên tập hợp các

số nguyên dương

*

được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là

dãy số).

Dãy số với các phần tử

n u

thường được kí hiệu là

 , 1,2,...

n u n 

hoặc

un .

Giả sử cho

 

và cho hai dãy số:

1 2 ( ) ( , ,..., ,...); n n a a a a 

1 2 ( ) ( , ,..., ,...); n n b b b b 

Định nghĩa 1.1.2.[3]

a. Dãy

c a b a b a b a b n n n n n : , ,..., ,...          1 1 2 2 

được

gọi là tổng của 2 dãy

an 

và

bn 

;

b. Dãy

d a b a b a b a b n n n n n : , ,..., ,...          1 1 2 2 

được

gọi là hiệu của 2 dãy

an 

và

bn 

;

c. Dãy

    b b b b n n    1 2 , ,..., ,...

được gọi là tích của hằng

số



và dãy

bn .

1.2. DÃY SỐ BỊ CHẶN

Dãy số

un 

được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số

M

sao cho:

*

,    n u M n

.

Dãy số

un 

được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một

số

m

sao cho:

*

,    n u m n

.

Dãy số

un 

được gọi là dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn trên,

vừa bị chặn dưới. Nghĩa là, tồn tại một số

M

và một số

m

sao cho:

*     n u M ,m n

.

4

1.3. DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU

Dãy số

un 

được gọi là dãy số tăng (tương ứng tăng nghiêm

ngặt) nếu với mọi

*

n

ta có:

u u n n  1

(tương ứng

*

1

, u u n n n    

).

Dãy số

un 

được gọi là dãy số giảm (tương ứng giảm nghiêm

ngặt) nếu với mọi

*

n

ta có:

u u n n  1

(tương ứng

*

1

, u u n n n    

).

Dãy số tăng hay giảm được gọi là dãy số đơn điệu.

1.4. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Định nghĩa 1.4.1.[3] Dãy

un 

được gọi là cấp số cộng khi và

chỉ khi kể từ số hạng thứ hai trở đi mỗi số hạng đều bằng số hạng

đứng trước nó cộng với một số không đổi. Số không đổi được gọi là

công sai của cấp số cộng.

Tính chất 1.4.1.[3]

a. Công thức của số hạng tổng quát:

*

1

( 1) , u u n d n n      .

b.

2 *

1

,

2

n n

n

u u

u n 





   .

c. Tổng

n

số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

1  

1

1 2

( ) 2 1

...

2 2

n

n n

n u u n u n d

S u u u              .

Định nghĩa 1.4.2.[3] Dãy số

un 

được gọi là một cấp số

nhân khi và chỉ khi kể từ số hạng thứ hai trở đi mỗi số hạng đều bằng

số hạng đứng trước nó nhân với một số không đổi. Số không đổi

được gọi là công bội của cấp số nhân.

Tính chất 1.4.2.[3]

a. Công thức của số hạng tổng quát:

1 *

1

. ,

n

u u q n n



   .

5

b.

2 *

1 2 . , u u u n n n n      .

c. Tổng của n số hạng đầu tiên:

1 2 1

1

... ,( 1)

1

n

n n

q

S u u u u q

q



     



.

d. Tổng các số hạng của cấp số nhân lùi vô hạn:

1

1 2 ...

1

u

S u u

q

   



.

1.5. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN

QUAN

Định nghĩa.[4] Dãy số

u u u u n n    1 2 , ,..., ,...

có giới hạn là

số (điểm)

a

nếu bắt đầu từ một chỉ số nào đó, mọi số hạng

n u

đều

nằm trong

 -lân cận bất kì

U a , 

của điểm

a

, tức là ở ngoài

U a , 

hoặc chỉ có một số hữu hạn số hạng hoặc không có số hạng

nào của dãy.

Kí hiệu:

lim n

n

u a



 hay

u a n 

khi

n  .

Định lí 1.5.1.[4]

Nếu dãy (

n u

) có giới hạn thì nó bị chặn.

Định lí 1.5.2.[4]

Dãy hội tụ chỉ có một giới hạn.

Định lí 1.5.3.[4]

Nếu

lim n

n

u a



 , lim n

n

v b





và

, u v n n n   

thì

a b  .

Định lí 1.5.4.[4] (Giới hạn kẹp) Giả sử:

a.

lim lim n n

n n

u v 

 

 

;

b.

, u z v n n n n    

;

Khi đó

lim n

n

z 



 .

Định lí 1.5.5.[4]

Nếu

lim n

n

u a





thì

lim | u | | | n

n

a



 .

Định lí 1.5.6.[4]

6

Dãy đơn điệu tăng (giảm) hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn trên

(dưới).

Định lí 1.5.7.[4]

Giả sử các dãy

u v n n , 

hội tụ và

lim n

n

u a



 , lim n

n

v b





;

Khi đó:

a.

lim( ) lim lim n n n n

n n n

u v u v a b

  

    

;

b.

lim( ) lim lim n n n n

n n n

u v u v ab

  

 

;

c. Nếu

0, u n n  

và

lim 0 n

n

u





thì

1 1 1 lim

n

n n

lim

n

 u u a



  .

7

CHƢƠNG II

XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

2.1. SỬ DỤNG CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN ĐỂ TÌM

CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ

Nội dung chủ yếu của phần này là giới thiệu một số kỹ thuật

biến đổi để qui về dãy số quen thuộc trong chương trình toán THPT

là cấp số cộng và cấp số nhân. Xét một số bài toán sau:

Bài toán 2.1.1.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số

un 

xác định bởi:

1

n n 1

u c

u au b 

 



  

với

abc , ,  .

Phƣơng pháp giải.

Trường hợp 1: Nếu

a 1

thì dãy

un 

là một cấp số cộng với

công sai là

b

. Dựa vào tính chất của cấp số cộng ta tìm được số hạng

tổng quát của dãy là:

1

( 1) ( 1) . u u n b c n b n      

Trường hợp 2: Nếu

a 1

, ta qui dãy

un 

về dãy

vn 

bằng

cách đặt

,

n n v u k k   

; trong đó số

k

được xác định sao cho

thỏa mãn

n n 1

v av  

(ta sẽ xác định được

1

b

k

a





).

Với cách đặt như trên ta được

vn 

là một cấp số nhân, công

bội a. Dựa vào tính chất của cấp số nhân ta tìm được công thức tổng

quát của dãy

vn 

. Từ đó suy ra công thức tổng quát của dãy

un  .

Bài toán 2.1.2.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số

un 

xác định bởi:

1

1

( ) n n

u c

u au f n 

 



  

với

a c,  , f n( )

là một đa thức

bậc

k

theo

n .

Phƣơng pháp giải.

Ta phân tích

f n g n ag n ( ) ( ) ( 1)   

với

g n( )

cũng là một đa

thức theo

n .

8

Trường hợp 1: Nếu

a 1

, ta thấy đa thức

g n ag n ( ) ( 1)   có

bậc nhỏ hơn đa thức

g n( )

một bậc và không phụ thuộc vào hệ số tự

do của

g n( )

. Vì

f( ) n

là đa thức bậc

k

nên để

f n g n ag n ( ) ( ) ( 1)(*)   

ta cần chọn

g n( )

là đa thức bậc

k 1

và

nên chọn hệ số tự do của

g n( )

bằng không. Khi đó để xác định các

hệ số của

g n( )

ta chỉ cần thay

k 1

giá trị bất kỳ của

n

vào (*) và

giải hệ gồm

k 1

phương trình này.

Lúc này ta có

1 1 ( ) u g(n 1) ... u (1) u g n g n n

       

. Từ đó

suy ra công thức tổng quát của dãy

un .

Trường hợp 2: Nếu

a 1

, ta thấy

g n ag n ( ) ( 1)   và

g n( )

là

hai đa thức cùng bậc. Vì vậy ta chọn

g n( )

là đa thức bậc

k

và các

hệ số của

g n( )

được xác định tương tự như trường hợp 1.

Lúc này ta có

1

( ) ( ( 1)). u g n a u g n n n

     Đặt

( ) n n v u g n  

thì ta có dãy

(v ) n

là một cấp số nhân, công bội a. Dựa vào tính chất

của cấp số nhân ta tìm được công thức tổng quát của dãy

(v ) n

. Từ

đó tìm được công thức tổng quát của dãy

un .

Bài toán 2.1.3.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số

un 

xác định bởi:

1

1

n

n n

u c

u au b  

 



  

với

a,b,c , 0    .

Phƣơng pháp giải.

Trường hợp 1: Nếu

a  .

Ta phân tích:

n n n 1    k ak 

  k

a





        

.

Khi đó ta có:

1 1

1 1 ( ) ... ( ); n n n u bk a u kb a u bk n n   

 

      

1

1

( ) . n n u a u bk bk n       

Trường hợp 2: Nếu

a 

Ta phân tích:

1

( 1) n n n     n n



   .

Khi đó: