Một số tính toán trên iđean chiều không và vành tọa độ của đa tạp

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

NGUYỄN PHẠM HỒNG TRÂM

MỘT SỐ TÍNH TOÁN

TRÊN IĐÊAN CHIỀU KHÔNG

VÀ VÀNH TỌA ĐỘ CỦA ĐA TẠP

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2019

Công trình được hoàn thành tại

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐH ĐÀ NẴNG

——————————–

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Chánh Tú.

Phản biện 1: TS. Nguyễn Ngọc Châu.

Phản biện 2: PGS.TS. Trần Đạo Dõng.

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ

Đại số và lí thuyết số họp tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng vào

ngày 26 tháng 10 năm 2019.

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài.

Cùng với sự phát triển của toán học hiện đại nói chung và hình học đại số

nói riêng, đại số tính toán và các phần mềm toán học đã cung cấp những công

cụ thúc đẩy sự phát triển của các lý thuyết này, mở ra các ứng dụng quan trọng

khác.

Trong đại số tính toán, cơ sở Gr¨obner đóng vai trò quan trọng. Lý thuyết

này được nhà toán học người Áo Bruno Buchberger đưa ra trong luận văn tiến

sĩ của mình năm 1965 dưới sự hướng dẫn của người thầy Wolfgang Gr¨obner.

Sự hình thành lý thuyết cơ sở Gr¨obner dựa vào việc mở rộng thuật toán chia

hai đa thức một biến sang trường hợp đa thức nhiều biến.

Sử dụng cơ sở Gr¨obner cũng như các ứng dụng của nó là một trong những

hướng nghiên cứu hiện nay trong hình học đại số. Với mong muốn tìm hiểu sâu

hơn về ứng dụng của cơ sở Gr¨obner, với sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn

Chánh Tú, chúng tôi chọn đề tài “MỘT SỐ TÍNH TOÁN TRÊN IĐÊAN

CHIỀU KHÔNG VÀ VÀNH TỌA ĐỘ CỦA ĐA TẠP” làm đề tài

nghiên cứu cho luận văn của mình.

2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu tính toán trên iđêan của tập điểm, tính toán trên vành tọa độ

và vành địa phương dựa vào cơ sở Gr¨obner và một số kiến thức khác.

3. Phương pháp nghiên cứu.

Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, tổng hợp và trình bày lý thuyết

một cách có hệ thống.

4. Đóng góp của đề tài.

Tổng hợp tài liệu để có một bài báo cáo tổng quan tương đối hệ thống về

vành địa phương, vành tọa độ, cơ sở Gr¨obner nhằm nghiên cứu một số tính

1

toán trên iđêan chiều không và vành tọa độ.

5. Cấu trúc của luận văn.

Luận văn viết thành 2 chương, cụ thể như sau:

Chương I: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị về vành đa thức, iđêan, đa

tạp liên quan đến các vấn đề ở chương II.

Chương II: Trình bày về cơ sở Gr¨obner, vành tọa độ và tính số chiều của

vành tọa độ, vành địa phương, iđêan chiều không và tính bội của các điểm

thuộc đa tạp trong vành địa phương.

2

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Vành đa thức

1.1.1 Vành đa thức một biến.

a) Xây dựng vành đa thức một biến.

Định nghĩa 1.1.1. Vành P gọi là vành đa thức của biến x lấy hệ tử trong A,

hay vành đa thức của biến x trên A. Kí hiệu: A[x]. Các phần tử của vành đó

gọi là đa thức của biến x lấy hệ tử trong A. Trong một đa thức

f(x) = anx

n + an−1x

n−1 + ... + a1x

1 + a0x

0

.

• ai

, i = 0, n gọi là các hệ tử thứ i của đa thức.

• aix

i

, i = 0, n gọi là các hạng tử thứ i của đa thức.

• a0x

0 = a0 gọi là hạng tử tự do.

• anx

n với an 6= 0 gọi là hạng tử cao nhất.

b) Bậc của đa thức.

Định nghĩa 1.1.2. Cho đa thức:

f(x) = anx

n + an−1x

n−1 + ... + a1x

1 + a0x

0

với an 6= 0, n ≥ 0.

Khi đó bậc của đa thức là n, kí hiệu là deg f(x) và hệ tử an gọi là hệ tử cao

nhất của f(x) và a0 gọi là hệ tử tự do của f(x).

3

c) Phép chia đa thức.

Định lý 1.1.3. Cho hai đa thức f(x), g(x) ∈ A[x] với g(x) 6= 0 thì luôn luôn tồn

tại hai đa thức duy nhất q(x) và r(x) thuộc A[x] sao cho:

f(x) = g(x).q(x) + r(x)

với r(x) = 0 hoặc r(x) 6= 0 thì deg r(x) < deg g(x).Ta gọi q(x) và r(x) lần lượt là

thương và dư trong phép chia f(x) cho g(x). Nếu r(x) = 0 thì ta nói f(x) chia

hết cho g(x). Kí hiệu: f(x)

.

.

.g(x) hay g(x)|f(x)

d) Hàm đa thức.

Định nghĩa 1.1.4. Cho đa thức:

f(x) = anx

n + an−1x

n−1 + ... + a1x

1 + a0x

0 ∈ A[x] với an 6= 0, n ∈ N.

Xét ánh xạ:

ϕf

: A → A

b 7→ ϕf (b) = anb

n + ... + a1b

1 + a0, ai ∈ A, i = 1, n, n ∈ N

Khi đó ϕf được gọi là hàm đa thức xác định bởi đa thức f.

1.1.2 Vành đa thức nhiều biến.

a) Xây dựng vành đa thức nhiều biến.

Định nghĩa 1.1.5. Giả sử A là vành giao hoán có đơn vị. Đặt:

A1 = A[x1]

A2 = A1[x2]

A3 = A2[x3]

...

An = An−1[xn]

Vành An = An−1[xn] kí hiệu là A[x1, x2, ..., xn] và được gọi là vành đa thức n biến

x1, x2, ..., xn lấy hệ tử trong vành A, các phần tử trong An có dạng f(x1, x2, ..., xn).

4

b) Bậc của đa thức.

Định nghĩa 1.1.6. Cho đa thức f(x1, ..., xn) ∈ A[x1, x1, ..., xn] khác 0.

f(x1, ..., xn) = c1x

a11

1

...xa1n

n + ... + cmx

am1

1

...xamn

n

trong đó ci 6= 0, i = 1, m và (ai1, ..., ain) 6= (aj1, ..., ajn) khi i 6= j.Khi đó:

Bậc của đa thức f(x1, ..., xn) đối với biến xi

là số mũ cao nhất của xi trong

các hạng tử của đa thức. Nếu trong đa thức f(x1, ..., xn) biến xi không có mặt

thì bậc của f(x1, ..., xn) đối với nó bằng 0.

Bậc của hạng tử cix

ai1

1

...xain

n

là tổng các số mũ ai1 + ... + ain.

Bậc cúa đa thức đối với tất cả các biến (bậc toàn phần) là số lớn nhất trong

các bậc của các hạng tử của đa thức.

d) Hàm đa thức.

Định nghĩa 1.1.7. Cho đa thức:

f(x1, ..., xn) = c1x

a11

1

...xa1n

n + ... + cmx

am1

1

...xamn

n ∈ A[x1, ..., xn]

trong đó ci 6= 0, i = 1, m và (ai1, ..., ain) 6= (aj1, ..., ajn) khi i 6= j. Xét ánh xạ:

ϕf

: A

n → A

b = (b1, ..., bn) 7→ ϕf (b) = c1b

a11

1

...ba1n

n + ... + cmb

am1

1

...bamn

n

trong đó ci 6= 0, i = 1, m và (ai1, ..., ain) 6= (aj1, ..., ajn) khi i 6= j. Khi đó ϕf được

gọi là hàm đa thức xác định bởi đa thức f.

1.2 Iđêan.

Định nghĩa 1.2.1. Cho A là vành giao hoán. Khi đó I ⊂ A được gọi là iđêan

của A nếu I thỏa mãn các điều kiện sau:

1) I 6= ∅.

2) Nếu ∀x, y ∈ I thì x + y ∈ I.

3) Nếu ∀x ∈ I, ∀r ∈ A thì rx ∈ I.

5

Ví dụ 1.2.2.

Định nghĩa 1.2.3. Cho A là vành giao hoán có đơn vị. Khi đó I 6= A là iđêan

nguyên tố của A nếu I thỏa mãn các điều kiện sau:

1) I là iđêan của A.

2) Nếu ∀x, y ∈ A, xy ∈ I thì x ∈ I hoặc y ∈ I.

Định nghĩa 1.2.4. Cho A là vành giao hoán có đơn vị. Khi đó I 6= A là iđêan

cực đại của A nếu I thỏa mãn các điều kiện sau:

1) I là iđêan của A.

2) Nếu tồn tại J là iđêan của A mà I ⊂ J thì J = I hoặc J = A.

Nhận xét 1.2.5.

Định nghĩa 1.2.6. Cho I ⊂ k[x1, ..., xn] là iđêan. Khi đó, căn của I là:

√

I = {g ∈ k[x1, ..., xn] : g

m ∈ I với m ≥ 1}

Iđêan I được gọi là iđêan căn nếu √

I = I.

Định nghĩa 1.2.7. Cho f1, ..., fs ∈ k[x1, ..., xn]. Khi đó

hf1, ..., fsi = {p1f1 + ... + psfs

: pi ∈ k[x1, ..., xn] với i = 1, s}

được gọi là iđêan sinh bởi các đa thức f1, ..., fs.

Ví dụ 1.2.8.

1.3 Đa tạp afin.

1.3.1 Không gian afin.

Định nghĩa 1.3.1. Cho k là trường, n ∈ N∗

, không gian afin n− chiều trên k

là:

k

n = {(a1, ..., an) : a1, ..., an ∈ k}.

6

Ví dụ 1.3.2.

Mệnh đề 1.3.3. Cho k là trường vô hạn và f ∈ k[x1, ..., xn]. Khi đó hàm đa

thức:

ϕf

: k

n → k

(a1, ..., an) 7→ ϕf (a1, ...an)

bằng 0 khi và chỉ khi f = 0 ∈ k[x1, ..., xn].

Bổ đề 1.3.4. Cho k là trường vô hạn và f, g ∈ k[x1, ..., xn] tồn tại hai hàm đa

thức

ϕf

: k

n → k và ϕg

: k

n → k

(a1, ..., an) 7→ ϕf (a1, ...an) (a1, ..., an) 7→ ϕg(a1, ...an).

Khi đó:

f = g ⇔ ϕf = ϕg.

1.3.2 Đa tạp afin.

Định nghĩa 1.3.5. Cho k là trường, f1, ..., fs ∈ k[x1, ..., xn] và hàm đa thức

fi

: k

n → k xác định bởi đa thức fi với i = 1, s. Đặt

V (f1, ..., fs) = {(a1, ..., an) ∈ k

n

: fi(a1, ..., an) = 0, ∀1 ≤ i ≤ s}

Khi đó V (f1, ..., fs) được gọi là đa tạp afin xác định bởi f1, ..., fs.

Ví dụ 1.3.6.

Ví dụ 1.3.7.

Định nghĩa 1.3.8. Cho V là một tập điểm tùy ý trong k

n

. Kí hiệu

IV = {f ∈ k[x1, ..., xn]/f(a) = 0 với mọi a ∈ V }.

Khi đó, ta dễ dàng thấy IV là iđêan và được gọi là iđêan của tập điểm V trong

k[x1, ..., xn]. Nếu V chỉ gồm một điểm a thì ta kí hiệu là Ia.

Ví dụ 1.3.9.

7

Chương 2

MỘT SỐ TÍNH TOÁN TRÊN IĐÊAN

CHIỀU KHÔNG VÀ VÀNH TỌA ĐỘ

2.1 Cơ sở Gr¨obner

2.1.1 Thứ tự đơn thức, thuật toán chia

Định nghĩa 2.1.1. Một đơn thức gồm các biến x1, ..., xn trong k[x1, ..., xn] có

dạng

x

α1

1

x

α2

2

...xαn

n

trong đó αi

là số nguyên không âm. Đơn thức trên thường được viết gọn là x

α

với α = (α1, α2, ..., αn) là một vectơ của số mũ trong đơn thức. Bậc của đơn thức

là tổng của các số mũ α1 + α2 + ... + αn. Kí hiệu là |α|.

Định lý 2.1.2. (Định lí cơ sở Hilbert)([5], Hilbert Basis Theorem, Ch.1) Mọi

iđêan I trong k[x1, ..., xn] có một tập sinh hữu hạn. Nói cách khác, cho một

iđêan I, tồn tại một tập hữu hạn các đa thức {f1, ..., fn} ⊂ k[x1, ..., xn] sao cho

I = hf1, f2, ..., fni.

Định lý 2.1.3. ([4], Th.7, Ch.2) Cho I1 ⊂ I2 ⊂ I3 ⊂ ... ⊂ ... là chuỗi các iđêan

tăng trong k[x1, ..., xn]. Khi đó, tồn tại số nguyên N ≥ 1 sao cho:

IN = IN+1 = IN+2 = ...

8

Định nghĩa 2.1.4. Một quan hệ ” > ” trong tập hợp các đơn thức x

α trên

k[x1, ..., xn] được gọi là thứ tự đơn thức trên k[x1, ..., xn] nếu thỏa các điều kiện

sau:

a) ” > ” là quan hệ thứ tự toàn phần;

b) nếu x

α > xβ

thì x

α.xγ = x

α+γ > xβ

.xγ = x

β+γ

;

c) ” > ” được sắp thứ tự tốt.

Định nghĩa 2.1.5. Thứ tự từ điển kí hiệu là >lex và được xác định như sau:

Cho x

α và x

β

là các đơn thức trong k[x1, ..., xn]. Khi đó x

α >lex x

β nếu α−β ∈ Z

n

và thành phần khác 0 đầu tiên bên trái là số dương.

Định nghĩa 2.1.6. Thứ tự từ điển phân bậc kí hiệu là >grlex được xác định

như sau: Cho x

α và x

β

là các đơn thức trong k[x1, ..., xn]. Khi đó x

α >grlex x

β

khi và chỉ khi Xn

i=1

αi >

Xn

i=1

βi hoặc nếu Xn

i=1

αi =

Xn

i=1

βi thì x

α >lex x

β

Định nghĩa 2.1.7. Thứ tự từ điển ngược phân bậc kí hiệu là >grevlex được xác

định như sau: Cho x

α và x

β

là các đơn thức trong k[x1, ..., xn]. Khi đó x

α >grevlex

x

β khi và chỉ khi Xn

i=1

αi >

Xn

i=1

βi hoặc nếu Xn

i=1

αi =

Xn

i=1

βi thì α−β ∈ Z

n và thành

phần khác 0 đầu tiên bên phải là số âm.

Ví dụ 2.1.8.

Định nghĩa 2.1.9. Cho thứ tự đơn thức ” > ” trên k[x1, ..., xn] và đa thức

f =

X

α

cαx

α

.

Khi đó:

• Bậc toàn phần của f là multideg (f) = max(|α|, α ∈ Z

n

≥0

: cα 6= 0).

• Hạng tử dẫn đầu của f (đối với quan hệ >) là cαx

α với x

α là đơn thức lớn

nhất của f với thứ tự >. Kí hiệu là LT>(f) = cαx

α.

9

• Nếu LT(f) = cxα thì LC(f) = c là hệ tử dẫn đầu của f và LM(f) = x

α là

đơn thức dẫn đầu của f.

Ví dụ 2.1.10.

Bổ đề 2.1.11. ([4], Lem.8, Ch.2) Giả sử f, g ∈ k[x1, ..., xn] và f, g 6= 0. Khi đó:

(i) multideg(fg) = multideg(f) + multideg(g).

(ii) Nếu f + g 6= 0 thì multideg(f + g) ≤ max(multideg(f),multideg(g)). Ngoài

ra nếu multideg(f) 6= multideg(g) thì đẳng thức xảy ra.

Mệnh đề 2.1.12. (Thuật toán chia trên k[x1, ..., xn]) ([5], §2, Ch.1) Cho thứ

tự đơn thức ” > ” trên k[x1, ..., xn] và tập sắp thứ tự gồm s đa thức F = (f1, ...fs)

trên k[x1, ..., xn]. Khi đó với mỗi f ∈ k[x1, ..., xn] có thể viết

f = a1f1 + a2f2 + ... + asfs + r

trong đó ai

, r ∈ k[x1, ..., xn]. Với mỗi i thì aifi = 0 hoặc LT>(f) ≥ LT>(aifi) và

r = 0 hoặc r là tổ hợp tuyến tính của các đơn thức mà các đơn thức đó không

chia hết cho bất kì LT>(f1), ..., LT>(fs). Khi đó r được gọi là phần dư khi chia

f cho F và được kí hiệu là r = f

F

.

Ví dụ 2.1.13.

2.1.2 Cơ sở Gr¨obner

Định nghĩa 2.1.14. Một iđêan I ⊂ k[x1, ..., xn] là iđêan đơn thức nếu có tập con

A ⊂ Z

n

≥0

sao cho I chứa các đa thức có dạng P

α∈A

hαx

α với hα ∈ k[x1, ..., xn].

Khi đó, ta viết:

I = hx

α

: α ∈ Ai.

Bổ đề 2.1.15. ([4], Lem.2, §4, Ch.2) Cho I = hx

α : α ∈ Ai là iđêan đơn thức.

Khi đó x

β ∈ I khi và chỉ khi x

β chia hết cho x

α với α ∈ A nào đó.

Định nghĩa 2.1.16. Cho I ⊂ k[x1, ..., xn] là iđêan khác {0}. Khi đó ta định

nghĩa:

10

(i) Tập các hạng tử dẫn đầu của các đa thức f ∈ I là

LT(I) = {cxα

: trong đó f ∈ I với LT(f) = cxα

}.

(ii) Iđêan sinh bởi các các phần tử của LT(I) là

LT(I)

.

Định nghĩa 2.1.17. Cho thứ tự đơn thức ” > ” trên k[x1, ..., xn] và iđêan

I ⊂ k[x1, ..., xn]. Cơ sở Gr¨obner của I ( đối với >) là tập hữu hạn các đa thức

G = {g1, ..., gt} ⊂ I sao cho

∀f 6= 0 và f ∈ I thì LT(f)

.

.

.LT(gi), với i nào đó.

Hay nói cách khác

LT(I)

=

LT(g1), ..., LT(gt)

.

Mệnh đề 2.1.18. ([4], Pro.1, §6, Ch.2) Giả sử G = {g1, ..., gt} là cơ sở Gr¨obner

của I ⊂ k[x1, ..., xn] và f ∈ k[x1, ..., xn]. Khi đó, tồn tại duy nhất r ∈ k[x1, ..., xn]

thỏa mãn hai tính chất:

(i) Không có hạng tử nào của r chia hết cho LT(g1), ..., LT(gt).

(ii) Tồn tại g ∈ I sao cho f = g + r.

Đặc biệt r là phần dư của mọi phép chia của f cho G.

Hệ quả 2.1.19. ([5], Cor.2, §6, Ch.2) Giả sử G là cơ sở Gr¨obner của iđêan

I ⊂ k[x1, ..., xn] đối với một thứ tự cho trước và f ∈ k[x1, ..., xn]. Khi đó f ∈ I

khi và chỉ khi f

G

= 0.

Định nghĩa 2.1.20. Giả sử f, g ∈ k[x1, ..., xn] và f, g 6= 0. Với thứ tự đơn thức

đã cho và giả sử:

LT(f) = cxα

và LT(g) = dxβ ∀c, d ∈ k.

Giả sử x

γ = BCNN(x

α, xβ

). Khi đó S− đa thức của f và g được kí hiệu là

S(f, g) và được tính theo công thức:

S(f, g) = x

γ

LT(f)

.f −

x

γ

LT(g)

.g

11

Ví dụ 2.1.21.

Chú ý 2.1.22.

Bổ đề 2.1.23. ([4], Lem.5, §6, Ch.2) Cho Xs

i=1

cifi

, ci ∈ k với multideg(fi) = δ,

δ ∈ Z

n

≥0

, ∀i. Nếu multideg





Xs

i=1

cifi



 < δ thì Xs

i=1

cifi

là tổ hợp tuyến tính với hệ

tử trong k của S− đa thức S(fj , fk) với 1 ≤ j, k ≤ s.

Ví dụ 2.1.24.

2.1.3 Tiêu chuẩn Buchberger

Định lý 2.1.25. (Tiêu chuẩn Buchberger)([5], §3, Ch.1) Tập G = {g1, ..., gt} là

cơ sở Gr¨obner của iđêan I = hg1, ..., gti khi và chỉ khi

S(gi

, gj )

G

= 0 ∀i 6= j.

Chú ý 2.1.26.

Ví dụ 2.1.27.

2.1.4 Thuật toán Buchberger

Định lý 2.1.28. (Thuật toán Buchberger) ([5], §3, Ch.1) Cho I = hf1, ..., fsi

khác {0}. Khi đó cơ sở Gr¨obner của I có thể được xây dựng qua một số bước

hữu hạn bằng thuật toán sau:

Input: F = (f1, ..., fs)

Output: Cơ sở Gr¨obner G = {g1, ..., gt} của I với F ⊂ G.

G := F

Repeat

G0

:= G

Với mỗi cặp {p, q} với p 6= q trong G0

thì

S := S(p, q)

G

0

Nếu S 6= 0 thì G := G ∪ {S}

Until G = G0

.

Ví dụ 2.1.29.

12

2.2 Tính toán trong vành tọa độ

2.2.1 Vành tọa độ

Định nghĩa 2.2.1. Cho V là đa tạp trong k

n và IV là iđêan tập điểm của V.

Khi đó vành thương k[X]/IV được gọi là vành tọa độ của đa tạp V và được kí

hiệu là k[V ].

Ví dụ 2.2.2.

2.2.2 Tính số chiều của vành tọa độ.

Mệnh đề 2.2.3. ([4], Pro.1, §3, Ch.4) Cho thứ tự đơn thức trên k[x1, ..., xn] và

I ⊂ k[x1, ..., xn]. Khi đó:

(i) Với mọi đa thức f ∈ k[x1, ..., xn], tồn tại duy nhất r sao cho f ≡ r mod I,

trong đó r là tổ hợp tuyến tính của các đơn thức nằm trong phần bù của

LT(I)

.

(ii) Nếu X

α

cαx

α ≡ 0 mod I thì cα = 0, ∀α, trong đó x

α ∈/

LT(I)

.

Ví dụ 2.2.4.

Định lý 2.2.5. ([4], Th.6, §3, Ch.4]) Cố định thứ tự đơn thức trong C[x1, ..., xn].Cho

V = V (I) là đa tạp trong Cn

. Khi đó các mệnh đề sau tương đương:

(i) V là tập hữu hạn.

(ii) Với mỗi i, 1 ≤ i ≤ n tồn tại mi ≥ 0 sao cho x

mi

i ∈

LT(I)

.

(iii) Giả sử G là cơ sở Gr¨obner. Khi đó, với mỗi i, 1 ≤ i ≤ n tồn tại mi ≥ 0 sao

cho x

mi

i = LM(gi), với g ∈ G nào đó.

(iv) C− Không gian vectơ S = Span(x

α/xα ∈/

LT(I)

) có chiều hữu hạn.

(v) C− Không gian vectơ C[x1, ..., xn]/I có chiều hữu hạn.

Ví dụ 2.2.6.

13