Một số tính chất của hàm tựa lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

---------*****--------

TÔ CÔNG DOANH

MỘT SỐ TÍNH CHẤT

CỦA HÀM TỰA LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2008

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

---------*****--------

TÔ CÔNG DOANH

MỘT SỐ TÍNH CHẤT

CỦA HÀM TỰA LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2008

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

---------*****--------

TÔ CÔNG DOANH

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM TỰA LỒI

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số : 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU

THÁI NGUYÊN – 2008

MỤC LỤC

Trang

Mở đầu .......................................................................................... 1

Chương I

HÀM TỰA LỒI KHÔNG TRƠN

1.1. Các khái niệm và định nghĩa ............................................................ 3

1.2. Hai tính chất đặc trưng của hàm tựa lồi, nửa liên tục dưới .............. 7

1.3. Các hàm tựa lõm và tựa affine ......................................................... 15

1.4. Hàm giả lồi ………………………………………………………… 19

1.5. Hàm không hằng số radian . ………………………………………. 25

Chương II

CÁC HÀM TỰA LỒI CHẶT VÀ BÁN CHẶT KHÔNG TRƠN

2.1. Dưới vi phân Clarke – Rockafellar ...................................................... 30

2.2. Tính chất đặc trưng cho hàm tựa lồi bán chặt ..................................... 36

2.3. Tính chất đặc trưng cho hàm tựa lồi chặt ………………………........ 43

2.4. Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân …………………....... 46

KẾT LUẬN ……………………………………………………. 50

TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………… …….... .. 51

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

MỞ ĐẦU

Lớp các hàm lồi và hàm lồi suy rộng đóng một vai trò quan trọng trong lý

thuyết tối ưu hoá. Hàm tựa lồi được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu

và thu được nhiều kết quả sâu sắc.

Trong [10] O.L. Mangasarian đã trình bày lí thuyết các hàm tựa lồi, hàm

giả lồi khả vi và mối quan hệ giữa hàm tựa lồi và các hàm lồi suy rộng liên

quan. D. Aussel [1] đã nghiên cứu các tính chất đặc trưng của các hàm tựa lồi

và giả lồi không trơn qua tính tựa đơn điệu và giả đơn điệu của dưới vi phân

của hàm đó và mối quan hệ giữa các khái niệm này. A. Daniilidis và N.

Hadjisavvas [3] nghiên cứu các hàm tựa lồi chặt và tựa lồi bán chặt không

trơn. Kết quả chỉ ra rằng một ánh xạ Lipschitz địa phương là tựa lồi bán chặt

hoặc tựa lồi chặt nếu và chỉ nếu dưới vi phân Clarke của nó tương ứng là tựa

đơn điệu bán chặt hoặc tựa đơn điệu chặt.

Luận văn tập trung trình bày các tính chất đặc trưng của các hàm tựa lồi,

giả lồi, tựa lồi chặt và tựa lồi bán chặt không trơn tương ứng qua tính tựa đơn

điệu, giả đơn điệu, tựa đơn điệu chặt và tựa đơn điệu bán chặt của dưới vi

phân của hàm đó.

Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài

liệu tham khảo.

Chương I . Hàm tựa lồi không trơn.

Trình bày các tính chất đặc trưng của các hàm tựa lồi và giả lồi không trơn

tương ứng qua tính tựa đơn điệu và giả đơn điệu của dưới vi phân của hàm

2

đó. Kết quả chỉ ra rằng hàm liên tục radian, nửa liên tục dưới f là giả lồi khi

và chỉ khi f là tựa lồi và thoả mãn điều kiện :

0  f x f  

có cực tiểu toàn cục tại x.

Chương II. Các hàm tựa lồi chặt và bán chặt không trơn.

Trình bày các tính chất đặc trưng của các hàm tựa lồi chặt và tựa lồi bán

chặt không trơn tương ứng qua tính tựa đơn điệu chặt và tựa đơn điệu bán

chặt của dưới vi phân của nó. Phần cuối chương trình bày một áp dụng chứng

minh sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân.

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS – TS Đỗ Văn Lưu –

Viện toán học Việt Nam, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và

nghiêm khắc trong khoa học để tác giả hoàn thành bản luận văn. Tác giả cũng

xin trân trọng cảm ơn tập thể giảng viên Khoa Toán đã giảng dạy và tạo điều

kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác giả học tập, nghiên cứu. Tác giả xin

chân thành cảm ơn các phòng ban chức năng và khoa toán trường Đại Học Sư

Phạm Thái Nguyên, các thầy cô giáo và bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡ rất

nhiều để tác giả hoàn thành bản luận văn này.

Tác giả