Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ KIỀU NGA

MỘT SỐ QUỸ TÍCH

CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH

TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ KIỀU NGA

MỘT SỐ QUỸ TÍCH

CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH

TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 62.46.01.04

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn

TS. Nguyễn Thị Hồng Loan

Nghệ An - 2014

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các

kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả

khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và

chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.

Tác giả

Nguyễn Thị Kiều Nga

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới cô giáo kính yêu của tôi

- PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn. Cô đã tận tình dìu dắt tôi từ những

bước chập chững đầu tiên trên con đường nghiên cứu khoa học. Với tất

cả niềm say mê khoa học và tâm huyết của người thầy, cô không chỉ dạy

tôi về tri thức toán học mà còn dạy tôi phương pháp nghiên cứu, cách

phát hiện và giải quyết vấn đề. Hơn nữa, cô còn luôn quan tâm, động

viên và giúp đỡ tôi những lúc tôi gặp khó khăn trong cuộc sống. Tôi thấy

mình thật may mắn khi được làm khoa học dưới sự hướng dẫn của cô.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn thứ

hai của tôi - TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Cô đã luôn quan tâm, nhắc

nhở và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tôi học tập, nghiên

cứu. Có những lúc khó khăn trong cuộc sống đã làm tôi nản chí, lúc đó

cô như người chị kịp thời động viên, khích lệ giúp tôi vượt qua mọi khó

khăn.

Tôi xin trân trọng cám ơn GS. TSKH. Nguyễn Tự Cường. Thầy

là người đầu tiên đưa tôi đến với Đại số giao hoán và tận tình dạy dỗ

tôi từ khi tôi còn là học viên cao học. Như một người cha, thầy vẫn luôn

quan tâm và giúp đỡ tôi trong học tập và trong cuộc sống.

Tôi xin trân trọng cám ơn Ban giám hiệu, Khoa đào tạo Sau đại

học, Khoa Toán- Trường Đại học Vinh đã tạo mọi điều kiện cho tôi học

tập.

Tôi xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm

Hà Nội 2 đã cho tôi cơ hội được đi học tập và nghiên cứu. Đặc biệt, tôi

xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo

và đồng nghiệp trong Tổ Đại số - Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

đã quan tâm động viên và và giúp đỡ nhiều mặt trong thời gian tôi làm

nghiên cứu sinh.

Tôi vô cùng biết ơn cô Tạ Thị Phương Hòa đã luôn giành cho tôi

những tình cảm trìu mến. Tôi xin cám ơn các anh chị em trong nhóm

xêmina Đại số trường Đại học Thái Nguyên về những trao đổi khoa học

và chia sẻ trong cuộc sống. Xin cám ơn em Trần Đỗ Minh Châu và em

Trần Nguyên An đã dành cho tôi những tình cảm quý báu.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân trong gia

đình của mình. Những người luôn động viên chia sẻ khó khăn và luôn

mong mỏi tôi thành công. Tôi xin cám ơn Chồng và hai Con trai yêu

quí, những người đã chấp nhận mọi khó khăn, gánh vác toàn bộ công

việc cho tôi để tôi yên tâm học tập. Đó là nguồn động viên rất lớn, giúp

tôi vượt qua khó khăn để tôi có thể hoàn thành luận án này.

Nguyễn Thị Kiều Nga

5

Mục lục

Mở đầu 7

1 Kiến thức chuẩn bị 21

1.1 Tính catenary của vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . 24

1.3 Biểu diễn thứ cấp của môđun Artin . . . . . . . . . . . . 27

1.4 Môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay

suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Quỹ tích không Cohen-Macaulay 33

2.1 Quỹ tích không Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . 34

2.2 Liên hệ với tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn 41

2.3 Chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay . . . . . . . . 47

3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng 54

3.1 Giá suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2 Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng . . . . . . . . 60

4 Một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay 73

4.1 Quỹ tích giả Cohen-Macaulay và quỹ tích giả Cohen￾Macaulay suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.2 Liên hệ với môđun chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Kết luận và kiến nghị 92

Các công trình liên quan đến luận án 93

Tài liệu tham khảo 93

6

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài

Cho (R, m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực

đại duy nhất m. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull

dim M = d. Ta luôn có depth M 6 dim M. Nếu depth M = dim M

thì ta nói M là môđun Cohen-Macaulay. Lớp vành và môđun Cohen￾Macaulay đóng vai trò trung tâm trong Đại số giao hoán và có ứng dụng

trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như Đại số đồng điều, Tổ

hợp và Hình học đại số.

Nhiều mở rộng của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay đã được

giới thiệu và quan tâm nghiên cứu. Hai mở rộng đầu tiên là lớp vành

(môđun) Buchsbaum và lớp vành (môđun) Cohen-Macaulay suy rộng.

Với mọi hệ tham số x của M, đặt I(x; M) = `(M/xM) − e(x; M), trong

đó e(x; M) là số bội của M ứng với hệ tham số x. Ta luôn có I(x; M) > 0

với mọi hệ tham số x của M và M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu

I(x; M) = 0 với một (hoặc với mọi) hệ tham số x của M. Vì thế, năm

1965, D. A. Buchsbaum [7] đã đưa ra giả thuyết rằng I(x; M) là một

hằng số không phụ thuộc vào hệ tham số x của M. Năm 1973, W. Vogel

và J. Stuckrad [54] đã xây dựng hàng loạt ví dụ chứng tỏ giả thuyết ¨

của D. A. Buchsbaum là không đúng, đồng thời họ nghiên cứu lớp vành

và môđun thỏa mãn điều kiện trong giả thuyết của D. A. Buchsbaum.

Các môđun này được gọi là môđun Buchsbaum. Sau đó N. T. Cường, P.

Schenzel và N. V. Trung [50] đã giới thiệu và nghiên cứu lớp môđun M

thỏa mãn điều kiện sup I(x; M) < ∞, trong đó cận trên lấy theo mọi hệ

tham số x của M, và họ gọi chúng là môđun Cohen-Macaulay suy rộng.

Ngày nay, khái niệm môđun Buchsbaum và môđun Cohen-Macaulay suy

7

rộng đã trở nên rất quen biết trong Đại số giao hoán.

Hai mở rộng tiếp theo dựa vào tính chất không trộn lẫn của môđun

Cohen-Macaulay. Ta biết rằng nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì

dim R/p = d với mọi p ∈ AssR M. Khi nghiên cứu cho trường hợp

môđun trộn lẫn, R. P. Stanley [47] đã giới thiệu khái niệm môđun Cohen￾Macaulay dãy cho các môđun phân bậc, sau đó được P. Schenzel [45], N.

T. Cường và L. T. Nhàn [19] định nghĩa cho môđun hữu hạn sinh trên

vành địa phương. Mở rộng khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng

cho trường hợp môđun trộn lẫn, N. T. Cường và L. T. Nhàn [19] đã giới

thiệu khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy.

Hai mở rộng khác của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay là lớp

vành (môđun) giả Cohen-Macaulay và lớp vành (môđun) giả Cohen￾Macaulay suy rộng. Cho x = (x1, . . . , xd) là hệ tham số của M. Đặt

QM(x) = [

t>0

((x

t+1

1

, . . . , xt+1

d

)M :M x

t

1

. . . xt

d

).

Khi đó QM(x) là môđun con của M và xM ⊆ QM(x). R. Hartshorne

[27] đã chỉ ra rằng, nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì xM = QM(x)

với một (hoặc với mọi) hệ tham số x của M, tức là

J(x; M) = e(x; M) − `

￾

M/QM(x)

= 0.

Hơn nữa, nếu M là Cohen-Macaulay suy rộng thì sup J(x; M) < ∞,

trong đó cận trên lấy theo các hệ tham số x của M (xem [16]). Vì thế,

năm 2003, N. T. Cường và L. T. Nhàn [19] đã nghiên cứu lớp môđun M

thỏa mãn điều kiện J(x; M) = 0 với một (hoặc với mọi) hệ tham số x

của M. Họ gọi lớp môđun này là môđun giả Cohen-Macaulay. Đồng thời

N. T. Cường và L. T. Nhàn [19] cũng nghiên cứu lớp môđun M với tính

chất sup J(x; M) < ∞ trong đó cận trên lấy theo tập tất cả các hệ tham

số x của M và họ gọi chúng là môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng.

Tóm lại, cùng với lớp môđun Cohen-Macaulay, các lớp môđun

Buchsbaum, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun Cohen-Macaulay

dãy, môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, môđun giả Cohen-Macaulay

và môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng đã trở thành những lớp môđun

được quan tâm trong Đại số giao hoán và cấu trúc của chúng đã được

biết đến thông qua các công trình [12], [13], [19], [24], [25], [45], [46], [47],

[48], [49],[50], [53]... Tuy nhiên, nghiên cứu các quỹ tích liên quan đến

tính Cohen-Macaulay là một hướng nghiên cứu thời sự cần được quan

tâm của Đại số giao hoán.

Các nghiên cứu trước đây về quỹ tích không Cohen-Macaulay

chỉ tập trung chủ yếu về tính chất đóng theo tôpô Zariski (xem R.

Hartshorne [28], P. Schenzel [53]) hoặc về chiều của quỹ tích (xem [10],

[11]) khi vành cơ sở R "tốt”, chẳng hạn khi R là thương của một vành

Gorenstein địa phương. Trong luận án này, chúng tôi quan tâm đến vấn

đề mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay với vành cơ sở tùy ý, đồng

thời nghiên cứu tính chất của quỹ tích này trong mối quan hệ với tính

catenary, catenary phổ dụng, tính không trộn lẫn của vành, các điều

kiện Serre của môđun và tính Cohen-Macaulay của các thớ hình thức.

Chúng tôi cũng đặt vấn đề nghiên cứu một số quỹ tích liên quan đến tính

Cohen-Macaulay như quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích

không Cohen-Macaulay dãy, quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng

dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay và quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy

rộng.

Với các lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án

của mình là: "Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa

phương Noether ".

9