Một số đồng nhất thức và áp dụng.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ DIỄM THÚY

MỘT SỐ ĐỒNG NHẤT THỨC

VÀ ÁP DỤNG

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp

Mãsố: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. ĐỊNH ĐÀO CHIẾN

Phản biện 1: TS. LÊ HẢI TRUNG

Phản biện 2: TS. HOÀNG QUANG TUYẾN

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào

ngày 18 tháng 12 năm 2015.

Có thể tìm Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Trong chương trình toán học phổ thông, đồng nhất thức

đóng một vai trò quan trọng. Nó có mặt trong nhiều bài toán

Đại số, Số học, Hình học. Đồng nhất thức còn là một trong

những cơ sở để hình thành nhiều bất đẳng thức. Chẳng hạn,

với I, G lần lượt là tâm của đường tròn nội tiếp, trọng tâm tam

giác ABC, từ đồng nhất thức sau đây

2 2 2 2 2 2 2 IA IB IC IG GA GB GC       3 ,

ta có thể suy ra bất đẳng thức

2 2 2 2 2 2 IA IB IC GA GB GC      .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

I G .

Như vậy, đôi khi mỗi đồng nhất thức sẽ cảm sinh một

bất đẳng thức.

Chứng minh một đồng nhất thức, đôi khi không quá

khó, nhưng để sáng tác ra một đồng nhất thức, không phải lúc

nào cũng dễ dàng.

Ở mức độ khó hơn, đồng nhất thức còn xuất hiện trong

các đề thi chọn học sinh giỏi các cấp, ở trong nước, khu vực

hoặc cao hơn là các kỳ Olympic Toán quốc tế.

Do đó, việc nghiên cứu đồng nhất thức một cách có hệ

thống, ở một góc độ nào đó, là rất cần thiết. Luận văn sẽ phần

2

nào đáp ứng nhu cầu này, phù hợp với chuyên ngành Phương

pháp Toán sơ cấp.

2. Mục tiêu nghiên cứu

Luận văn sẽ đề cập đến một số đồng nhất thức trong

chương trình toán phổ thông, đặc biệt đối với hệ Chuyên Toán

và những ứng dụng của chúng.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là một số đồng nhất thức trong

chương trình toán phổ thông, đặc biệt đối với hệ Chuyên Toán.

Phạm vi nghiên cứu thuộc chuyên ngành Phương pháp

toán sơ cấp.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu

Từ các tài liệu sưu tầm được, luận văn sẽ đề cập một số đồng

nhất thức thường gặp trong chương trình toán phổ thông. Luận

văn không quá đi sâu vào lý thuyết về các đồng nhất thức mà

áp dụng chúng để giải hoặc sáng tác một số bài toán ở phổ

thông, đặc biệt đối với hệ chuyên Toán.

5. Bố cục luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm

ba chương:

Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị

Chương này đề cập những kiến thức cơ sở, chuẩn bị cho

nội dung ở các chương sau và một số kết quả cổ điển liên

quan.

3

Chƣơng 2. Một số đồng nhất thức liên quan đến tam

giác

Chương này đề cập đến một số đồng nhất thức liên quan

đến tam giác. Đó là các đồng nhất thức Jacobi, đồng nhất thức

Leibniz, đồng nhất thức lượng giác.

Chƣơng 3. Một số đồng nhất thức đại số

Chương này đề cập đến một số đồng nhất thức đại số,

trong đó có một đồng nhất thức quan trọng trong chương trình

toán phổ thông, đặc biệt đối với hệ Chuyên Toán, là Đồng nhất

thức Newton. Đồng nhất thức Newton, thực ra đã được Albert

Girard phát hiện từ năm 1629, nhưng mãi đến năm 1666, Isaac

Newton mới có những nghiên cứu sâu sắc về nó, bằng cách

biểu diễn các biểu thức đối xứng của các nghiệm của đa thức

dưới dạng các hàm đối xứng sơ cấp. Đặc biệt, nó là một công

cụ hữu hiệu để tính được các tổng dạng

1 2 ...

k k k

n

x x x    .

Luận văn trình bày một cách giải cho bài toán tổng quát

liên quan đến tổng nêu trên. Đây là một đóng góp của luận

văn. Một lớp đồng nhất thức dạng phân thức cũng được đề cập

trong nội dung tiếp theo của chương.

Trong luận văn này còn sử dụng kí hiệu tổng và tích

hoán vị. Cụ thể như :



là Tổng các hoán vị;



là Tích

các hoán vị. Chẳng hạn:

4

f ab f ab f bc f ca           .

2 2 2 2

1 1 2 3 x MA x MA x MB x MC    .

2 2 2 2

2 3 2 3 3 1 1 2 a x x a x x b x x c x x    . sin sin sin sin . nA nA nB nC    1 1 2 3 x PA x PA x PB x PC    .

1 1 2 3 x x x x    ; .

a a b c

b b c a     a b a b b c c a          ; sin sin .sin .sin ; A A B C 

MA MAMB MC 

. . .

6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu

5

CHƢƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Luận văn đề cập đến những kiến thức chuẩn bị cho việc

nghiên cứu ở các chương tiếp theo, gồm các nội dung:

1.1. CÁC KHÁI NIỆM

1.1.1. Đƣờng đối trung

1.1.2. Điểm Lemoine

1.1.3. Điểm Gergone

1.1.4. Điểm Nagel

1.1.5. Điểm Brocard

1.2. MỘT SỐ KẾT QUẢ CỔ ĐIỂN

1.2.1. Định lí hàm số côsin trong tam giác

1.2.2. Định lí hàm số sin trong tam giác

1.2.3. Công thức trung tuyến của tam giác

1.2.4. Công thức tính diện tích của tam giác

1.2.5. Định lí Céva

1.2.6. Một số tính chất

1.2.7. Một số bổ đề

6

CHƢƠNG 2

MỘT SỐ ĐỒNG NHẤT THỨC

LIÊN QUAN ĐẾN TAM GIÁC

2.1. ĐỒNG NHẤT THỨC JACOBI

2.1.1. Đồng nhất thức Jacobi

Cho tam giác

ABC

và điểm

M

nằm bên trong tam

giác. Gọi

, , , abc S S S S

lần lượt là diện tích của các tam giác

ABC, MBC, MCA, MAB.

Định lí 2.1. Ta có đồng nhất thức sau:

. + S . + S . = 0. S MA MB MC a b c

(2.1)

Đồng nhất thức trên được gọi là Đồng nhất thức Jacobi.

Hệ quả. Cho tam giác ABC và điểm M nằm bên trong

tam giác.

Đặt

= , y = , z = a b c S S S

x

S S S

. Khi đó ta có

i)

0 , , 1   x y z

và

x y z   1 ;

ii)

xMA yMB zMC    0 . (2.2)

2.1.2. Các trƣờng hợp đặc biệt của Đồng nhất thức

Jacobi

Sb

Sa

Sc

A

B D C

M

7

Khi M trùng với một điểm đặc biệt nào đó của tam giác,

ta cần tìm các giá trị

m n p , ,

dương sao cho

.

a b c S S S k

m n p

  

Khi đó , , . a b c S km S kn S kp   

Do đó Đồng nhất thức Jacobi (2.1) được viết dưới dạng

km MA kn MB kp MC . . . 0,   

hay

m MA n MB p MC . . . 0    . (2.3) (2.3)

Ngoài ra .

a b c a b c S S S S S S S

m n p m n p m n p

 

   

   

Do đó

= ; y = ; z = .

m n p

x

m n p m n p m n p      

(2.4)

a. Khi M trùng với trọng tâm G của tam giác ABC

G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi

GA GB GC    0 (2.5)

Khi đó

1 1 1

= ; y = ; z = .

3 3 3

x (2.6)

b. Khi M trùng với tâm I của đường tròn nội tiếp tam

giác ABC

I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi và

chỉ khi aIA bIB cIC    0. (2.7)

8

Khi đó

; ; .

a b c

x y z

a b c a b c a b c

  

     

(2.8)

c. Khi M trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp

tam giác nhọn ABC

O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn

ABC khi và chỉ khi

sin2 . sin2 . sin2 . 0. AOA B OB C OC   

(2.9)

Khi đó, ta có

sin 2 sin 2

= ; ;

sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2

sin 2

= . (2.10)

sin 2 sin 2 sin 2

A B

x y

A B C A B C

C

z

A B C



   

 

d. Khi M trùng với trực tâm H của tam giác nhọn

ABC

H là trực tâm của tam giác nhọn ABC khi và chỉ khi

tanA. tan . tan . 0. HA B HB C HC    (2.11)

e. Khi M trùng với điểm Gergonne J của tam giác

nhọn ABC

J là điểm Gergonne của tam giác ABC khi và chỉ khi

1 1 1 JA JB JC + + = 0

p a p b p c   

. (2.13)

f. Khi M trùng với Điểm Nagel N của tam giác ABC

9

N là điểm Nagel của tam giác ABC khi và chỉ khi

 p a NA p b NB p c NC       . . 0.     (2.14)

g. Khi M trùng với điểm Lemoine L của tam giác

ABC

L là điểm Lemoine của tam giác ABC khi và chỉ khi

2 2 2 a LA LB LC . + b . + c . = 0. (2.16)

h. Khi M trùng với điểm Brocard W của tam giác ABC

Định lí 2.5.

i)

W1

là điểm Brocard thứ nhất của tam giác ABC khi

và chỉ khi

2 2 2 1 1 1

1 1 1 0. W A W B WC

b c a

   (2.18)

ii)

W2

là điểm Brocard thứ hai của tam giác ABC khi

và chỉ khi

2 2 2 2 2 2

1 1 1 W A W B W C 0.

c a b

   (2.19)

2.2. ĐỒNG NHẤT THỨC LEIBNIZ

2.2.1. Đồng nhất thức Leibniz

Định lí 2.6. Cho tam giác ABC và ba số thực

1 2 3 x x x , ,

xác định, thỏa mãn

x x x 1 2 3  0.

i) Thế thì, luôn tồn tại duy nhất điểm P thuộc mặt phẳng

(ABC) sao cho

x PA 1

 0 . (2.20)