Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Một số dạng toán về đẳng thức và bất đẳng thức tích phân
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
NGUYỄN TUẤN ANH
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐẲNG THỨC
VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ: 60.46.40
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng – Năm 2013
Công trình đã được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HẢI TRUNG
Phản biện 1: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU
Phản biện 2: GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU
Luận văn đã được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt
nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 25 tháng
05 năm 2013
Có thể tìm luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Tích phân có vị trí rất đặc biệt trong Toán học, không những
như là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của giải tích mà còn
là công cụ đắc lực trong Lý thuyết hàm, Lý thuyết phương trình
hàm và nhiều lĩnh vực khác: Xác suất, Thống kê, Thiên văn học,
Cơ học, Y học,... Ngoài ra, trong các kì thi học sinh giỏi Toán
quốc gia, Olympic Toán sinh viên toàn quốc thì các bài toán liên
quan đến tích phân cũng hay được đề cập đến và được xem như
là những dạng toán khó. Đồng thời các bài toán liên quan đến
phép tính tích phân cũng nằm trong chương trình quy định của
Hội Toán học Việt Nam đối với các kì thi Olympic toán sinh viên
thường niên giữa các trường Đại học và Cao đẳng về Toán Cao
cấp.
Lý thuyết và các bài toán về phép tính tích phân đã được
đề cập ở hầu hết các giáo trình cơ bản về giải tích. Tuy nhiên,
các tài liệu hệ thống về phép tính tích phân như là một chuyên
đề chọn lọc cho giáo viên, học sinh lớp 12 và sinh viên các trường
kĩ thuật còn hạn chế và chưa được hệ thống theo dạng toán cũng
như phương pháp giải, đặc biệt là hệ thống các dạng toán và ứng
dụng của đẳng thức và bất đẳng thức tích phân.
Nhằm thực hiện mong muốn đóng góp của bản thân trong
việc tìm hiểu các dạng toán đẳng thức và bất đẳng thức trong tích
phân và được sự gợi ý của thầy giáo, TS. Lê Hải Trung, tác giả
mạnh dạn lựa chọn Một số dạng toán về đẳng thức và bất đẳng
thức tích phân cho đề tài luận văn thạc sĩ của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
– Hệ thống lý thuyết phép tính tích phân hàm một biến.
– Xem xét và nghiên cứu một số dạng toán về đẳng thức và
2
bất đẳng thức tích phân thông qua các ví dụ cụ thể.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là một số dạng toán về
đẳng thức và bất đẳng thức tích phân.
3.2. Phạm vi nghiên cứu
Lý thuyết phép tính tích phân hàm một biến và một số dạng
toán về đẳng thức và bất đẳng thức tích phân.
4. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình thực hiện luận văn, tác giả có sử dụng kiến
thức liên quan đến các lĩnh vực sau đây: Giải tích hàm một biến,
Đại số ...
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Luận văn là một tài liệu tham khảo có giá trị cho giáo viên
và học sinh khối PTTH trong việc học tập, nâng cao kiến thức và
bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp.
6. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, luận văn được chia thành
ba chương đề cập đến các vấn đề sau đây:
• Chương 1 – Trình bày các tính chất cơ bản của nguyên hàm
và tích phân hàm một biến thực, một số dạng toán cơ bản
về tích phân.
• Chương 2 – Trình bày một số bất đẳng thức tích phân cơ
bản.
• Chương 3 – Trình bày một số ứng dụng của đẳng thức và
bất đẳng thức tích phân.
Các định nghĩa, định lý, ví dụ trong các chương được đánh
theo quy tắc: số chương. số định nghĩa (hoặc định lý, ví dụ).
3
CHƯƠNG 1
MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ
TÍCH PHÂN
1.1. TÍCH PHÂN VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG
ĐƯƠNG
1.1.1. Nguyên hàm và tích phân bất định
Định nghĩa 1.1. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên khoảng
Ω ⊂ R, khi đó hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số
y = f(x) khi và chỉ khi F
0
(x) = f(x), ∀x ∈ Ω.
Định lý 1.1. (Về sự tồn tại nguyên hàm) Mọi hàm liên tục trên
[a; b] đều có nguyên hàm trên (a; b).
Định lý 1.2. Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) thì F(x)+C, C ∈
R cũng là nguyên hàm của f(x).
Định nghĩa 1.2. Tập hợp các nguyên hàm của hàm số y = f(x)
trên khoảng Ω gọi là tích phân bất định của hàm số y = f(x) trên
khoảng đó và được kí hiệu là R
f(x)dx.
Chú ý 1.1. Nếu không có chú thích gì thêm thì nguyên hàm và
tích phân bất định của các hàm số đang khảo sát đều được xét
trên cùng một tập xác định D cho trước và các hàm số đều là
những hàm nhận giá trị thực.
1.1.2. Tích phân xác định
Định nghĩa 1.3. Cho hàm số y = f(x) xác định trên [a; b]. Chia
đoạn [a; b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia xi (i = 0, ..., n) :
a = xo < x1 < x2 < x3 < ... < xn−1 < xn = b.
4
(Mỗi phép chia như thế được gọi là một phép phân hoạch đoạn
[a; b], kí hiệu là Q
)
Đặt ∆xi = xi − xi−1 và d(
Q
) = max ∆xi
, 1 ≤ i ≤ n. Trên
mỗi đoạn [xi−1; xi
], ta lấy một điểm tùy ý ξi (i = 1, ..., n) và lập
tổng
σΠ =
Xn
i=1
f(ξi)∆xi
. (1.1)
Tổng (1.1) được gọi là tổng tích phân của hàm số y = f(x)
ứng với phép phân hoạch Q
.
Nếu giới hạn I = lim
d(Π)→0
σΠ = lim
d(Π)→0
Pn
i=1
f (ξi) ∆xi tồn tại,
không phụ thuộc vào phép phân hoạch đoạn [a;b] và cách chọn
điểm ξi thì giới hạn đó được gọi là tích phân xác định của hàm số
y = f(x) trên [a; b] và kí hiệu là I =
R
b
a
f(x)dx = lim
d(
Q)→0
Pn
i=1
f(ξi)∆xi
.
Khi đó hàm số y = f(x) được gọi là khả tích trên [a;b].
Định lý 1.3. (Điều kiện khả tích) Các hàm liên tục trên [a; b],
các hàm bị chặn có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a; b] và các hàm
đơn điệu bị chặn trên [a; b] đều khả tích trên [a; b].
Định lý 1.4. (Công thức Newton-Leibnitz) Nếu hàm số y = f(x)
liên tục trên [a; b] và F(x) là một nguyên hàm của nó trên đoạn
đó thì R
b
a
f(x)dx = F(b) − F(a).
Chú ý 1.2. Tích phân xác định không phụ thuộc vào việc lựa
chọn biến lấy tích phân, nghĩa là: R
b
a
f(x)dx =
R
b
a
f(t)dt.
Định lý 1.5. (Một số đẳng thức tích phân cơ bản)
1) Ra
a
f(x)dx = 0;
5
2) R
b
a
f(x)dx = −
Ra
b
f(x)dx;
3) R
b
a
f(x)dx =
Rc
a
f(x)dx +
R
b
c
f(x)dx, ∀c ∈ (a; b) ;
4) R
b
a
[f(x) ± g(x)] dx =
R
b
a
f(x)dx ±
R
b
a
g(x)dx;
5) R
b
a
kf(x)dx = k
R
b
a
f(x)dx, ∀k 6= 0.
Định lý 1.6. (Quy tắc đổi biến số)
Cho y = f(x) liên tục trên [a; b] và hàm x = ϕ(t) khả vi,
liên tục trên [α; β] và min
t∈[α,β]
ϕ(t) = a; max
t∈[α,β]
ϕ(t) = b; ϕ(α) = a;
ϕ(β) = b. Khi đó R
b
a
f(x)dx =
β
R
α
f [ϕ(t)]ϕ
0
(t)dt.
Định lý 1.7. (Quy tắc tính tích phân từng phần)
Giả sử hàm số u(x), v(x) khả vi, liên tục trên [a; b]. Khi đó
R
b
a
u(x)v
0
(x)dx = u(x)v(x)|
b
a −
R
b
a
v(x)u
0
(x)dx.
1.1.3. Tích phân của một số hàm số sơ cấp
a. Tích phân hàm hữu tỉ
Xét tích phân I
∗ =
β
R
α
P
∗
(x)
Q(x)
dx, với P
∗
(x), Q(x) là các đa
thức với hệ số thực.
Nếu degP∗
(x) ≥ degQ(x) thì thực hiện phép chia đa thức
ta được P
∗
(x)
Q(x)
= R(x) + P(x)
Q(x)
, với P(x), Q(x), R(x) là các đa
thức với hệ số thực và degP(x) < degQ(x). Khi đó
Z
β
α
P
∗
(x)
Q(x)
dx =
Z
β
α
R(x)dx +
Z
β
α
P(x)
Q(x)
dx.
6
Do đó, ta chủ yếu quan tâm đến các phân thức thức sự (các
phân thức mà bậc tử thức nhỏ thua bậc mẫu thức) và việc tính
tích phân của các phân thức thực sự quy về tính tích phân của
các phân thức cơ bản dạng:
i) A
x − a
; ii) A
(x − a)
k
, k ≥ 2;
iii) Mx + N
x
2 + px + q
; iv) Mx + N
(x
2 + px + q)
k
, k ≥ 2.
Nhận xét 1.1. Để tính tích phân dạng I =
R mx + n
(ax2 + bx + c)
r dx
thì ta biến đổi về dạng
I =
m
2a
R 2ax + b
(ax2 + bx + c)
r dx +
1
a
n −
mb
2a
R dx
(x
2 + α2)
.
Để tính tích phân dạng R dx
(x
2 + α2)
n , ngoài cách đặt x =
α tan t, ta có thể sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
Chú ý 1.3. Để tính tích phân hàm phân thức hữu tỉ thì ta làm
như sau:
Phân tích hàm phân thức hữu tỉ thành tổng của các phân
thức đơn giản. Lấy tích phân sau khi đã phân tích.
Tuy nhiên, trong một số trường hợp, ta còn có thể sử dụng
phương pháp đổi biến hoặc phương pháp tích phân từng phần để
tính tích phân nhanh hơn nhiều.
b. Tích phân hàm số chứa căn thức
Xét tích phân R
b
a
R
x, x
m
n , ..., x
r
s
dx, với m, n, ..., r, s là các
số nguyên dương.
Giả sử k là bội số chung nhỏ nhất của các số n, ..., s. Khi
đó, ta c
7
•
m
n
=
m1
k
, ...,
r
s
=
r1
k
.
Đặt x = t
k
. Ta có
R
b
a
R
x, x
m
n , ..., x
r
s
dx =
√k
R
b
√k a
R
t
k
, tm1
, ..., tr1
dt =
√k
R
b
√k a
R1 (t) dt
trong đó, R1 (t) là hàm phân thức hữu tỉ theo t.
Nhận xét 1.2. Để tính tích phân dạng
R
R
"
x;
ax + b
cx + d
m
n
, ...,
ax + b
cx + d
r
s
#
dx
trong đó m, n, ..., r, s là các số nguyên dương; a, b, c, d là các hằng
số.
Đặt ax + b
cx + d
= t
k
, trong đó k là bội số chung nhỏ nhất của
bộ số {n, ..., s}, ta thu được
R
R
x;
ax + b
cx + d
m
n
, ...,
ax + b
cx + d
r
s
dx =
R
R1 (t) dt.
trong đó R1 (t) là một hàm phân thức hữu tỉ đối với t.
Nhận xét 1.3. Để tính tích phân dạng I =
R mx + n
(px + q)
√
ax2 + bx + c
dx
thì ta biến đổi về dạng
I =
m
p
R dx
√
ax2 + bx + c
+
n −
mq
p
R dx
(px + q)
√
ax2 + bx + c
.
Để tính tích phân dạng R dx
√
ax2 + bx + c
thì ta tách bình
phương đủ trong tam thức bậc hai rồi đưa về tính các tích phân
cơ bản dạ
8
R dx
√
a
2 − x
2
= arcsin
x
a
+ C
và dạng
R dx
√
x
2 + α
= ln
x +
√
x
2 + α
+ C.
Để tính tích phân dạng R dx
(px + q)
√
ax2 + bx + c
, ngoài
cách giải bằng phép thế lượng giác, ta còn có thể giải bằng các
đặt t =
√
ax2 + bx + c hoặc 1
t
=
√
ax2 + bx + c hoặc t = mx + n
hoặc 1
t
= mx + n.
Ngoài ra, ta còn có thể sử dụng phương pháp thế Euler để
khử √
ax2 + bx + c trong các tích phân dạng R
R
x;
√
ax2 + bx + c
dx
bằng các cách đổi biến số sau:
Đặt √
ax2 + bx + c = t±
√
ax nếu a > 0. Đặt √
ax2 + bx + c =
t ±
√
c nếu c > 0. Nếu ax2 + bx + c có nghiệm là x0 thì
đặt √
ax2 + bx + c = t(x − x0)
Nhận xét 1.4. Để tính tích phân dạng I =
R mx + n
(ax2 + b)
√
cx2 + d
dx
thì ta biến đổi về dạng
I = m
R xdx
(ax2 + b)
√
cx2 + d
+ n
R dx
(ax2 + b)
√
cx2 + d
.
Để tính tích phân dạng R xdx
(ax2 + b)
√
cx2 + d
thì ta đặt t =
√
cx2 + d.
Để tính tích phân dạng R dx
(ax2 + b)
√
cx2 + d
thì ta đặt xt =
√
cx2 + d.
c. Tích phân hàm lượng giác
Xét tích phân dạng I =
R
R (sin x, cos x) dx.
Đặt t = tan
x
2
. Khi đó
9
I =
R
R
2t
1 + t
2
,
1 − t
2
1 + t
2
.
2dt
1 + t
2
.
Nếu hàm R(u, v) có các tính chất đặc biệt như:
• R(−u, −v) = R(u, v) thì ta dùng phương pháp đổi biến
t = tanx hoặc t = cotx.
• R(u, −v) = −R(u, v) thì ta dùng phương pháp đổi biến
t = sinx.
• R(−u, v) = −R(u, v) thì ta dùng phương pháp đổi biến
t = cosx.
Nhận xét 1.5. Để tính tích phân dạng I =
R
sinmxcosnxdx thì
ta có thể đặt ẩn phụ dựa theo các đặc thù chẵn, lẻ của các lũy
thừa, cụ thể:
• Nếu m hoặc n là số dương lẻ, chẳng hạn m là số dương lẻ
thì ta đặt t = cosx (n là số dương lẻ thì ta đặt t = sinx).
• Nếu m, n đều chẵn và một trong hai số đó là số âm thì ta
đặt t = tanx.
• Nếu m, n đều là các số dương chẵn thì ta dùng các công
thức biến đổi sau:
sin2x =
1 − cos 2x
2
, cos2x =
1 + cos 2x
2
, sin x cos x =
1
2
sin2x.
Trong trường hợp giá trị của m, n quá lớn thì ta phải sử
dụng tích phân từng phần để có biểu thức truy hồi.
Nhận xét 1.6. Để tính tích phân dạng R dx
a sin x + b cos x + c
thì
ta đặt t = tan
x
2
và sử dụng các công thức biến đổi
10
sin x =
2t
1 + t
2
, cos x =
1 − t
2
1 + t
2
.
Khi đó, ta được tích phân hàm hữu tỉ.
Nhận xét 1.7. Để tính tích phân dạng R a sin x + b cos x
m sin x + n cos x
dx thì
ta sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số để tách thành tổng hai
tích phân, một tích phân có tử là (m sin x + n cos x), một tích
phân có tử là đạo hàm của mẫu.
1.2.MỘT SỐ DẠNG ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN KHÁC
1.2.1. Tích phân của hàm chẵn, hàm lẻ
Trước hết, ta nhắc lại định nghĩa hàm số chẵn và hàm số lẻ.
Định nghĩa 1.4. Xét hàm số f(x) với tập xác định D ⊂ R.
1) f(x) được gọi là hàm số chẵn trên [a; b] ⊂ D nếu
∀x ∈ [a; b] =⇒ −x ∈ [a; b] và f(−x) = f(x), ∀x ∈ [a; b].
2) f(x) được gọi là hàm số lẻ trên [a; b] ⊂ D nếu
∀x ∈ [a; b] =⇒ −x ∈ [a; b] và f(−x) = −f(x), ∀x ∈ [a; b].
Định lý 1.8. Nếu y = f(x) là hàm chẵn và liên tục trên [−a; a]
thì I =
Ra
−a
f(x)dx = 2 Ra
0
f(x)dx.
Định lý 1.9. Nếu y = f(x) là hàm lẻ và liên tục trên [−a; a] thì
I =
Ra
−a
f(x)dx = 0.
Định lý 1.10. Cho y = f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên [−b; b].
Khi đó I =
R
b
−b
f(x)
a
x + 1
dx =
R
b
0
f(x)dx, ∀a > 0, ∀b > 0.
1.2.2. Tích phân của hàm tuần hoàn
11
Định nghĩa 1.5. Hàm số y = f(x) được gọi là hàm tuần hoàn
nếu có một số T > 0 sao cho với mọi x thuộc miền xác định Df
của hàm số, ta luôn có:
1) x ± T cũng thuộc miền xác định Df của hàm số
2) f(x + T) = f(x), ∀x ∈ Df
Số T(T > 0) được gọi là chu kì của hàm tuần hoàn y = f(x).
Chu kì nhỏ nhất (nếu tồn tại) được gọi là chu kì cơ sở của hàm
số đã cho.
Định lý 1.11. Cho hàm số y = f(x) tuần hoàn chu kì T, xác
định và liên tục trên R. Khi đó
aR
+T
a
f(x)dx =
R
T
0
f(x)dx, ∀a ∈ R.
1.2.3. Tích phân của các hàm số đặc biệt khác
Định lý 1.12. Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] thì
R
b
a
f(x)dx =
R
b
a
f(a + b − x)dx.
Định lý 1.13. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và thỏa
mãn điều kiện: f(a + b − x) = f(x), ∀x ∈ [a, b]. Khi đó
R
b
a
f(x)dx = 2
a+b
R2
a
f(x)dx và R
b
a
xf(x)dx =
a + b
2
R
b
a
f(x)dx.
Định lý 1.14. Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [0; 1] thì
π
R2
0
f(sin x)dx =
π
R2
0
f(cos x)dx.
Định lý 1.15. Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [0; 2a] thì
R
2a
0
f(x)dx =
Ra
0
[f(x) + f(2a − x)]dx.
Định lý 1.16. Nếu hàm số y = f(x) liên tục đến đạo hàm cấp 2
trên [a; b] và f(a) = f(b) = 0 thì