Một số dạng toán ứng dụng của tỉ số đồng dạng.

- 1 -

LỜI CẢM ƠN

Như vậy sau thời gian nghiên cứu với sự cố gắng của bản thân, sự giúp đỡ

hướng dẫn tận tình của thầy giáo ThS. Tần Bình và sự giúp đỡ của các bạn sinh

viên trong tập thể lớp 08ST luận văn cơ bản được hoàn thành. Em xin gởi đến

thầy và các bạn lời cảm ơn chân thành nhất, lời chúc sức khỏe và thành đạt.

Em cũng xin gởi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu và các thầy cô trong khoa

Toán trường ĐHSP Đà Nẵng đã tạo điều kiện cho em trong suốt quá trình học

tập, rèn luyện và thực hiện đề tài.

Do lần đầu tham gia nghiên cứu khoa học và do trình độ năng lực còn hạn

chế nên chắc hẳn luận văn còn nhiều thiếu sót, kính mong quý thầy cô và các

bạn góp ý chân thành để luận văn được hoàn chỉnh hơn.

Em xin chân thành cảm ơn.

Sinh viên

Nguyễn Thị Hồng Hoa

- 2 -

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... 1

MỞ ĐẦU............................................................................................................... 5

1. Lý do chọn đề tài:.............................................................................................. 5

2. Mục đích nghiên cứu:........................................................................................ 5

3. Nhiệm vụ nghiên cứu:....................................................................................... 5

4. Phương pháp nghiên cứu:.................................................................................. 6

5. Cấu trúc luận văn: ............................................................................................. 6

MỘT SỐ KÍ HIỆU ................................................................................................ 7

CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN ................................................... 8

1. Tỉ số đồng dạng trong mặt phẳng...................................................................... 8

1.1. Đoạn thẳng tỉ lệ........................................................................................... 8

1.2. Định lí Talet trong mặt phẳng..................................................................... 8

1.2.1. Định lí thuận:.................................................................................. ..8

1.2.2. Định lí đảo:......................................................................................... 8

1.3. Định lí Talet trong tam giác....................................................................... 9

1.3.1. Định lí thuận:....................................................................................... 9

1.3.2. Định lí đảo:.......................................................................................... 9

1.3.3. Mở rộng: Định lí về chùm đường thẳng đồng quy ............................. 9

1.3.3.1. Định lí thuận:.................................................................................. 10

1.3.3.2. Định lí đảo:..................................................................................... 10

1.4. Định lí về tỉ số diện tích tam giác:............................................................ 10

1.5. Định lí về đường phân giác trong tam giác: ............................................. 10

1.5.1.Đường phân giác trong....................................................................... 10

1.5.2. Đường phân giác ngoài .................................................................... 11

1.6. Tam giác đồng dạng.................................................................................. 11

1.6.1. Định nghĩa ......................................................................................... 11

1.6.2. Dấu hiệu: ........................................................................................... 11

- 3 -

1.6.3. Tính chất............................................................................................ 12

2. Tỉ số đồng dạng trong không gian................................................................... 12

2.1. Định lí Ta-lét trong không gian ................................................................ 12

2.1.1. Định lí thuận..................................................................................... 13

2.1.2 . Định lí đảo....................................................................................... 13

2.2. Tỉ số thể tích ............................................................................................. 13

3. Phép đồng dạng và phép vị tự trong mặt phẳng và không gian..................... 14

3.1. Phép đồng dạng......................................................................................... 14

3.1.1. Định nghĩa:........................................................................................ 14

3.1.2. Tính chất............................................................................................ 14

3.1.3. Hai hình đồng dạng ........................................................................... 14

3.1.4. Sự xác định phép đồng dạng: ............................................................ 15

3.1.4.1. Định lí 1......................................................................................... 15

3.1.4.2. Định lý 2........................................................................................ 15

3.2. Phép vị tự.................................................................................................. 15

3.2.1. Định nghĩa:....................................................................................... 15

3.2.2. Tính chất:........................................................................................... 15

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG TỈ SỐ ĐỒNG DẠNG......... 17

1.1. Áp dụng định lí Talet trong mặt phẳng và tam giác................................. 17

1.1.1. Tính độ dài đoạn thẳng...................................................................... 17

1.1.2. Chứng minh đẳng thức tích các đoạn thẳng.............................. ……18

1.1.2.1. Phương pháp:................................................................................. 18

1.1.2.2. Ví dụ............................................................................................... 19

1.1.3. Chứng minh 2 đường thẳng song song ............................................ 20

1.1.3.1. Phương pháp : Sử dụng định lí Talet đảo....................................... 20

1.1.3.2. Ví dụ:.............................................................................................. 20

1.1.5. Bài toán dựng hình ............................................................................ 23

1.2. Áp dụng định lí về tỉ số diện tích tam giác.............................................. 25

Ví dụ1: ............................................................................................................. 25

1.3. Áp dụng định lí về đường phân giác trong tam giác ............................... 27

- 4 -

1.4. Một số bài toán về tam giác đồng dạng.................................................... 30

1.4.1. Phương pháp:..................................................................................... 30

1.4.2. Tính độ dài đoạn thẳng:..................................................................... 30

1.4.3. Tính góc:............................................................................................ 32

1.4.4. Tính diện tích, tỉ số diện tích và áp dụng tính chất diện tích tam giác

để chứng minh các đẳngthức………………………………………………33

2.1. Sử dụng định lí talet trong không gian ..................................................... 41

2.1.1. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ..................... ..41

2.1.2. Chứng minh 2 mặt phẳng song song................................................. 42

2.1.3. Tập hợp điểm chia đoạn thẳng có hai mút di động trên hai đường chéo

nhau ............................................................................................................. 43

2.2. Tỉ số thể tích ............................................................................................. 46

3.1. Các bài toán thẳng hàng, đồng quy, điểm cố định, và quan hệ vuông góc

.......................................................................................................................... 51

3.1.1. Phương pháp...................................................................................... 51

3.1.2. Các ví dụ :.......................................................................................... 51

3.2. Các bài toán quỹ tích ................................................................................ 55

3.2.1. Phương pháp...................................................................................... 55

3.2.2. Các ví dụ............................................................................................ 56

3.3. Bài toán dựng hình.................................................................................... 58

3.3.1. Phương pháp...................................................................................... 58

3.3.2. Các ví dụ........................................................................................... 59

KẾT LUẬN ......................................................................................................... 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................... 64

- 5 -

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài:

Hình học là một trong những lĩnh vực toán học mang lại cho người yêu

toán nhiều điều hấp dẫn, thú vị. Nó đòi hỏi người học phải có những suy nghĩ

sáng tạo và tinh tế.

Trong lĩnh vực này, “tỉ số đồng dạng” là vấn đề mà các em học sinh đã

được làm quen ở chương trình lớp 8 và kéo dài đến hết chương trình THPT.

Đây là một phần quan trọng của hình học sơ cấp, là công cụ đắc lực để giải

quyết các bài toán hình học như các bài toán về tỉ lệ đoạn thẳng, chứng minh hệ

thức, chứng minh các đoạn thẳng song song, đồng quy, ba điểm thẳng hàng, tính

chu vi, diện tích các hình, các bài toán quỹ tích và dựng hình và đặc biệt là

chứng minh các tam giác đồng dạng và sử dụng các tính chất của nó để giải

toán... Đó là những dạng toán cơ bản, làm nền tảng cho các bài toán phức tạp

trong hình học, nhưng cũng mang lại khá nhiều rắc rối, khó khăn cho học sinh

khi chưa quen với việc sử dụng chúng. Các tỉ số phức tạp dễ dẫn đến nhầm lẫn

trong tính toán, biến đổi vòng quanh, lẩn quẩn mà không dẫn đến kết quả.

Với những lí do trên, em chọn đề tài : “Một số dạng toán ứng dụng của tỉ

số đồng dạng” cho luận văn của mình.

2. Mục đích nghiên cứu:

Rèn luyện cho học sinh có cái nhìn tổng quát và khả năng phân tích, xem

xét các bài toán dưới dạng đặc thù, riêng lẻ.

Phát huy khả năng tư duy, say mê sáng tạo và tự tin khi giải các bài toán

liên quan đến “tỉ số đồng dạng”.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu:

Hệ thống các kiến thức và phân loại các dạng toán có thể giải được bằng tỉ

số đồng dạng.

Đưa ra một vài phương pháp giải cho từng dạng toán, giúp học sinh có

những định hướng đúng đắn trong việc giải toán.

- 6 -

4. Phương pháp nghiên cứu:

Đọc sách giáo khoa, sách giáo viên và các sách tham khảo, nâng cao, các

tài liệu liên quan trên các wesite, từ đó hệ thống, phân loại các dạng toán về

“tỉ số đồng dạng”.

Nghiên cứu lí thuyết và bài tập, kết hợp phân tích, tổng hợp, đánh giá.

5. Cấu trúc luận văn:

MỞ ĐẦU

NỘI DUNG

Chương I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Tỉ số đồng dạng trong mặt phẳng

2. Tỉ số đồng dạng trong không gian

3. Phép đồng dạng và phép vị tự trong mặt phẳng và không gian

Chương 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG

TỈ SỐ ĐỒNG DẠNG

1. Một số bài toán về tỉ số đồng dạng trong mặt phẳng

2. Một số bài toán về tỉ số đồng dạng trong không gian

3. Ứng dụng của phép đồng dạng và vị tự

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO