Một số dạng mới của bất đẳng thức Karamata và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

---------------------------

BÙI QUỐC VIỆT

MỘT SỐ DẠNG MỚI CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

KARAMATA VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. Trịnh Thanh Hải

THÁI NGUYÊN - 2021

i

Mục lục

Bảng ký hiệu ii

Mở đầu 1

1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Khái niệm về hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Tiêu chuẩn hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Các bộ trội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Bất đẳng thức Karamata và một số ứng dụng 13

2.1 Bất đẳng thức Karamata nguyên thủy . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Các bài toán liên quan đến bất đẳng thức Karamata . . . . 18

2.3 Chứng minh các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác . 30

3 Một số dạng mới của bất đẳng thức Karamata 39

3.1 Mở rộng định lý Karamata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Một số dạng mới của bất đẳng thức Karamata . . . . . . . 43

Kết luận 53

Tài liệu tham khảo 55

ii

Bảng ký hiệu

R

n không gian thực n chiều

H không gian Hilbert phức

dim H số chiều của không gian H

B(H ) đại số của tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên H

B(H )h không gian con gồm các toán tử tự liên hợp trên H

B(H )+ tập tất cả các toán tử dương khả nghịch trong B(H )h

1H toán tử đơn vị trên H

A ≥ 0 A là toán tử dương

A ≥ B A − B là toán tử dương

Tr hàm vết của toán tử

[a, b] đoạn thẳng nối a và b

I(a, b) một trong bốn đoạn (a, b), [a, b], [a, b),(a, b]

(x) dãy số thực (x1, x2, . . . , xn)

(x) ≻ (y) dãy (x) trội hơn dãy (y)

(x

′

) dãy các phần tử của (x) sắp xếp theo thứ tự giảm dần

∥x∥ chuẩn của vecto x

⟨x, y⟩ tích trong của vecto x và y

K(h, r) hằng số Kantorovich suy rộng

X♯rY trung bình nhân với trọng số r của toán tử X và Y

Sr(X||Y |) entropy toán tử tương đối Tsallis

S0(X||Y |) entropy toán tử tương đối

VP vế phải

VT vế trái

1

Mở đầu

Trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông, các bài toán về

chứng minh bất đẳng thức được đánh giá là một nội dung tương đối khó,

đòi hỏi học sinh hiểu chính xác những mối quan hệ, những tính chất tiềm

ẩn... Tuy nhiên đây lại là một trong những nội dung thường xuất hiện

trong các đề thi THPT Quốc gia, trên các tạp chí toán học, blog toán học,

trong các đề thi học sinh giỏi hay kì thi Olympic.

Để giải được một số các bài toán về bất đẳng thức trong các đề thi

chọn HS giỏi, thì học sinh phải nắm được các kiến thức rộng. Không thể

áp dụng trực tiếp ngay được các công thức để có được lời giải mà phải “đi

đường vòng”, phải qua nhiều bước trung gian nên các bài toán về bất đẳng

thức luôn là các bài tập thú vị, có sức hấp dẫn, là niềm đam mê, thu hút

được sự yêu thích của các thầy cô dạy toán và học sinh.

Trong khuân khổ luận văn, chúng tôi xin dành sự quan tâm đến bất

đẳng thức Karamata và ứng dụng của nó để giải quyết một số bài toán

vì đây là một bất đẳng thức hay nhưng bất đẳng thức Karamata thường

không được được giảng dạy trong chương trình đại trà cũng như chương

trình nâng cao ở bậc phổ thông.

Trong thời gian vừa qua, đã có nhiều học viên cao học lựa chọn các chủ

đề liển quan đến bất đẳng thức để triển khai luận văn thạc sĩ những chưa

có học viên nào nghiên cứu về việc ứng dụng bất đẳng thức Karamata để

giải bài toán liên dành cho học sinh khá, giỏi để phát triển thành luận văn

thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp.

2

Với mong muốn tìm hiểu về bất đẳng thức Karamata để ứng dụng vào

giải một số bài toán liên quan đến là đề thi học sinh giỏi để làm tài liệu

cho việc giảng dạy của bản thân và làm tài liệu tham khảo cho học sinh

khá, giỏi tự học, chúng tôi chọn đề tài “Một số dạng mới của bất đẳng

thức Karamata và ứng dụng” cho luận văn thạc sĩ của mình.

Mục tiêu của đề tài luận văn là tìm hiểu về hàm lồi, bất đẳng thức

Karamata, sưu tầm các bài toán luyện thi đội tuyển học sinh giỏi, các đề

thi học sinh giỏi toán về bất đẳng thức, về tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất

mà có thể ứng dụng bất đẳng thức Karamata để đưa ra lời giải, trình bày

lời giải một số bài toán đã chọn lọc, trong đó cố gắng đưa ra lời giải tường

minh đối với những bài toán, đề thi mà tài liệu tham khảo chỉ có lời giải

vắn tắt hoặc định hướng lời giải.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài gồm 2 chương,

cụ thể:

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi sẽ hệ thống hoá các kiến thức cơ bản thường

gặp và bổ sung một số kiến thức nâng cao để làm rõ cơ sở cho bài toán

được trình bày ở Chương 2 của luận văn.

Chương 2. Bất đẳng thức Karamata và một số ứng dụng

Trong Chương 2, chúng tôi sẽ trình bày việc vận dụng các khái niệm,

tính chất đã được trình bày ở Chương 1 để giải một số bài toán dành cho

luyện thi đội tuyển học sinh giỏi và các đề thi học sinh giỏi toán có thể

khai thác bất đẳng thức Karamata để đưa ra lời giải.

Chương 3. Một số dạng mới của bất đẳng thức Karamata

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số dạng mới của bất đẳng

thức Karamata được công bố gần đây được tổng hợp từ một số công bố

quốc tế trong thời gian gần đây.

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái

Nguyên. Lời đầu tiên tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy