Một số chứng minh định ký Fermat nhỏ và định lý Wilson

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

BÙI THỊ MINH HẢI

MỘT SỐ CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ FERMAT NHỎ VÀ

ĐỊNH LÝ WILSON

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

BÙI THỊ MINH HẢI

MỘT SỐ CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ FERMAT NHỎ VÀ

ĐỊNH LÝ WILSON

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS. NGUYỄN ĐÌNH BÌNH

THÁI NGUYÊN - 2017

iii

Mục lục

Lời mở đầu 1

1 Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson 3

1.1 Một số kết quả về đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Chứng minh ban đầu Định lý Fermat nhỏ . . . . . . . . . . . 7

1.3 Chứng minh ban đầu Định lý Wilson . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Ứng dụng giải một số bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Mở rộng Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson 35

2.1 Một dạng tổng quát của Định lý Fermat nhỏ . . . . . . . . . . 35

2.2 Một dạng tổng quát của Gauss về Định lý Wilson . . . . . . . 39

2.3 Một số chứng minh tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1

Lời mở đầu

Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson là hai trong những định lý hữu ích,

nổi tiếng trong toán học. Chúng được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau,

tuy nhiên trong luận văn này, tác giả tập trung vào trình bày các chứng minh

ban đầu của cả hai định lý và mở rộng của chúng, các chứng minh tổ hợp gần

đây của hai Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson. Thông qua việc chứng minh

tổ hợp, tác giả muốn thể hiện gần đây các nhà toán học vẫn đang tiếp tục nghiên

cứu và tìm các cách khác nhau chứng minh hai định lý trên trong suốt hai thế

kỷ qua.

Mục đích nghiên cứu

Trình bày các chứng minh ban đầu của Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson

và dạng mở rộng của chúng, sau đó trình bày thêm một số chứng minh tổ hợp

gần đây. Đồng thời trình bày một số ứng dụng của hai định lý trên.

Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày sơ lược lịch sử và chứng minh ban đầu về Định lý Fermat nhỏ và

Định lý Wilson.

- Trình bày một mở rộng của Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson.

- Một số ứng dụng của hai định lý này.

Dự kiến đóng góp

Từ lịch sử các chứng minh ban đầu của cả hai định lý và mở rộng của chúng,

các chứng minh tổ hợp gần đây của hai Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson.

Thông qua việc chứng minh tổ hợp, chúng tôi muốn thể hiện các nhà toán học

vẫn đang tiếp tục nghiên cứu và tìm các cách khác nhau chứng minh hai định lý

trên trong suốt hai thế kỷ qua. Đây chính là nét mới so với kiến thức đã học ở

2

bậc Đại học.

Ngoài phần mở đầu và kết luận, bố cục Luận văn dự kiến có 02 chương

chính.

Chương 1. Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson

Trình bày sơ lược lịch sử và chứng minh ban đầu về Định lý Fermat nhỏ và

Định lý Wilson.

Chương 2. Mở rộng Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson

Trình bày một mở rộng của Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson, ứng dụng

hai định lý đó.

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái

Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Đình Bình. Tác giả

xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa

học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn

và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận

văn.

Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy giáo, Cô giáo đã tham

gia giảng dạy lớp Cao học Toán K9B2 (khóa 2015–2017); Nhà trường và các

phòng chức năng của Trường; Khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại

học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại

trường.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo

đơn vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất

cho tôi khi học tập và nghiên cứu.

Do còn hạn chế về nhiều mặt nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Rất

mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của thầy cô và các bạn.

Tác giả

Bùi Thị Minh Hải