Một số bài toán về quan hệ chia hết, số nguyên tố và định giá P-Adic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN LÊ MINH

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ CHIA HẾT,

SỐ NGUYÊN TỐ VÀ ĐỊNH GIÁ P−ADIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN LÊ MINH

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ CHIA HẾT,

SỐ NGUYÊN TỐ VÀ ĐỊNH GIÁ P−ADIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TS. ĐÀM VĂN NHỈ

Thái Nguyên - 2016

i

Mục lục

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Chương 1. Quan hệ chia hết, số nguyên tố 3

1.1 Quan hệ chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Quan hệ chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Ước chung lớn nhất và thuật toán Euclid . . . . . 4

1.2 Số nguyên tố và hợp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Định lý cơ bản của số học . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Biểu diễn số và hàm tổng các chữ số . . . . . . . . . . . 14

1.4.1 Biểu diễn số tự nhiên theo một cơ số . . . . . . . 14

1.4.2 Hàm tổng các chữ số của số tự nhiên . . . . . . . 16

Chương 2. Số mũ, định giá p−adic và vận dụng 19

2.1 Định lý Euler và số mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Định lý Euler và Định lý Fermat nhỏ . . . . . . . 19

2.1.2 Số mũ theo modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Định giá p-adic vp(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.1 Khái niệm định giá p-adic . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.2 Định giá 2−adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Kết quả của Wolstenholme, Thue, Schur . . . . . . . . . 26

2.4 Vận dụng giải một số bài thi học sinh giỏi . . . . . . . . 30

2.4.1 Vận dụng số mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4.2 Vận dụng định giá p−adic . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.3 Vận dụng kết quả Thue, Schur . . . . . . . . . . . 37

2.4.4 Vận dụng Định lý cơ bản của số học . . . . . . . 38

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1

Mở đầu

Số học luôn được coi là nữ hoàng của Toán học bởi trong nó chứa

đựng nhiều vẻ đẹp của tư duy logic. Không như nhiều ngành toán học

khác, trong Số học tồn tại rất nhiều giả thuyết chưa có câu trả lời mà

học sinh có thể hiểu được với các kiến thức trung học cơ sở. Quá trình

tìm kiếm lời giải cho các giả thuyết đó đã làm nhiều tư tưởng lớn, nhiều

lý thuyết lớn của toán học được nảy sinh. Nếu như trước đây, Số học

vẫn được xem như là lĩnh vực toán học lý thuyết thuần túy, xa rời thực

tiễn thì ngày nay, nhờ có sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ máy tính

mà nhiều thành tựu mới nhất của Số học có ứng dụng trực tiếp vào các

lĩnh vực như bảo mật thông tin, mật mã, số hóa. Do Số học được mệnh

danh là nữ hoàng của tư duy nên các bài toán về Số học luôn luôn xuất

hiện và giữ một vị trí quan trọng trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia,

quốc tế. Số học như cầu nối tự nhiên đưa học sinh tiếp cận với khoa học

hiện đại. Vì thế việc trang bị những kiến thức cơ bản của Số học cho

học sinh phổ thông là hết sức cần thiết.

Bản thân tôi là một giáo viên giảng dạy môn Toán ở cấp THCS.

Trong quá trình giảng dạy và ôn thi học sinh giỏi, tôi thường xuyên gặp

các bài toán số học đặc biệt là các bài toán về quan hệ chia hết và số

nguyên tố. Vì vậy, tôi đã chọn đề tài: “Một số bài toán về quan hệ chia

hết, số nguyên tố và định giá p-adic” nhằm tìm hiểu sâu hơn về quan

hệ chia hết, số nguyên tố và cách vận dụng để giải các bài toán trong

các đề thi học sinh giỏi, đặc biệt là việc tìm hiểu bổ đề nâng, định giá

p-adic và cách vận dụng chúng.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai

chương:

Chương 1. Trong chương này luận văn tập trung trình bày một số

kiến thức cơ bản về lý thuyết chia hết: quan hệ chia hết, số nguyên tố

và hợp số, ước chung lớn nhất và thuật toán Euclid, trình bày định lý

cơ bản của số học, biểu diễn số tự nhiên theo một cơ số và hàm tổng các

chữ số.