Một số bài toán về đường tròn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Lê Bá Cường

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60 46 0113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TSKH Hà Huy Khoái

Thái Nguyên - 2012

1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học -

Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. TSKH Hà Huy

Khoái. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo,

người hướng dẫn khoa học của mình, GS.TSKH Hà Huy Khoái, người đã

đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của

tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa

Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, đã tạo mọi

điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn

thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình, BGH,

tổ Toán trường THPT Xuân Giang - Sóc Sơn - Hà Nội và các bạn trong

lớp Cao học K4C, đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và

làm luận văn.

2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1

Mục lục

Mở đầu 3

1 Định nghĩa số phức 5

1.1 Sự biểu diễn đại số của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Định nghĩa số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Các tính chất liên quan đến phép cộng . . . . . . . . 6

1.1.3 Các tính chất liên quan đến phép nhân . . . . . . . 6

1.1.4 Dạng đại số của số phức . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.5 Lũy thừa của số i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.6 Số phức liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.7 Mô đun của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Ý nghĩa hình học của các phép toán đại số . . . . . . . . . 13

1.2.1 Ý nghĩa hình học của một số phức . . . . . . . . . . 13

1.2.2 Ý nghĩa hình học của môđun . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.3 Ý nghĩa hình học của các phép toán đại số . . . . . 15

2 Số phức và hình học 16

2.1 Một vài khái niệm và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Đoạn thẳng, tia, đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Chia một đoạn thẳng theo một tỉ số . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 Góc định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 Góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6 Phép quay một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.7 Điều kiện thẳng hàng, vuông góc và cùng thuộc một đường

tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.8 Tam giác đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.9 Tam giác đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2

3 Hình học giải tích trong số phức 34

3.1 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Phương trình đường thẳng xác định bởi hai điểm . . . . . . 35

3.3 Diện tích tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 Phương trình đường thẳng được xác định bởi điểm đi qua

và phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5 Hình chiếu vuông góc của một điểm lên một đường thẳng . 40

3.6 Khoảng cách từ một điểm đến một đương thẳng . . . . . . 41

4 Các bài toán về đường tròn trong số phức 42

4.1 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2 Phương tích của một điểm đối với một đường tròn . . . . . 43

4.3 Góc giữa hai đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Tài liệu tham khảo 49

4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài:

Là một giáo viên đã dạy môn toán trong trường THPT 12 năm, tôi

thấy trong toán học phổ thông hình học là một trong môn học mà nhiều

học sinh thấy khó học, nhất là hình học không gian. Để đại số hóa hình

học các nhà toán học đã gắn hệ trục tọa độ vào hình học để có hình học

giải tích. Khi học về hình học giải tích tôi thấy học sinh dễ học hơn và

tiếp thu tốt hơn.

Nay số phức lại được bộ giáo dục và đào tao đưa vào dạy ở chương

trình THPT, mỗi bài toán về số phức là các bài toán thường mới và rất

khó. Liên quan đến các dạng toán này là các bài toán về đường tròn. Mong

muốn là có một cách khác nữa để trình bầy về hình học nhờ số phức nên

tôi mới chọn đề tài này.

Đề tài “ Môt số bài toán về đường tròn” nhằm đáp ứng mong muốn của

tôi về một đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho quá

trình giảng dạy của mình ở trường phổ thông.

Đề tài liên quan đến nhiều chuyên đề, trong đó có các kiến thức của số

phức, các kiến thức của hình học và nhiều kiến thức cơ bản khác.

2.Mục đích nghiên cứu:

Hệ thống và tổng quát các bài toán về đường tròn giải bằng số phức

và các ứng dụng khác nhau trong trường phổ thông. Nắm được một số kĩ

thuật tính toán biến đổi hình học liên quan đến số phức.

3. Nhiệm vụ của đề tài:

Đưa ra định nghĩa số phức và các phép toán về số phức một cách tổng

quát có ví dụ minh họa kèm theo, ngoài ra đề tài cũng mở rộng mảng kiến

thức về số phức với các bài toán về đường tròn giải bằng số phức....

Thông qua đề tài trang bị cho giáo viên thêm một số nguồn tư liệu

5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn