Một số bài toán tính tổng của chuỗi ppt

Một số bài toán tính tổng của chuỗi số

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1. Các khái niệm cơ bản, mối liên hệ giữa chuỗi số và dãy số:

1.1. Các khái niệm cơ bản:

1.1.1 Định nghĩa 1: Cho dãy số { un} . Tổng vô hạn

1 2

1

... ...

n n

n

u u u u

∞

=

+ + + + = ∑ (1)

được gọi là chuỗi số (chuỗi) và số n

u được gọi là số hạng tổng quát thứ n của (1).

Một chuỗi số hoàn toàn xác định khi biết số hạng tổng quát của nó.

Tổng của n số hạng đầu tiên của (1)

1 2 ...

n n

S u u u = + + +

được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số (1).

Khi cho n = 1,2,… thì ta được dãy số { Sn} , và gọi là dãy tổng riêng.

Định nghĩa: Nếu tồn tại lim n

n

S S

→∞

= (hữu hạn) thì ta nói chuỗi số (1) hội tụ và có

tổng là S, ký hiệu

1

n

n

S u

∞

=

=∑ . Trong trường hợp ngược lại thì chuỗi phân kỳ.

1.1.2 Định nghĩa 2:

Giả sử chuỗi số (1) hội tụ và có tổng là S. Ta gọi phần dư thứ n của (1) là số

thực r S S n n = − .

Ta có

lim lim( ) 0 n n

n n

r S S S S

→∞ →∞

= − = − = .

1.1.3 Định nghĩa 3:

- Chuỗi

1

n

n

u

∞

=

∑ được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi

1

n

n

u

∞

=

∑ hội tụ (suy ra chuỗi

1

n

n

u

∞

=

∑ cũng hội tụ).

- Chuỗi

1

n

n

u

∞

=

∑ được gọi là bán hội tụ nếu chuỗi

1

n

n

u

∞

=

∑ hội tụ nhưng chuỗi

1

n

n

u

∞

=

∑ phân

kỳ.

1.1.4 Định nghĩa 4:

Trang 1

Một số bài toán tính tổng của chuỗi số

Chuỗi

1

n

n

u

∞

=

∑ được gọi là chuỗi số dương nếu ≥ ∀0,

n

u n .

1.1.5 Định nghĩa 5:

Chuỗi số có dạng ( )

1

1

1 , 0, n

n n

n

u u n

∞

−

=

∑ − > ∀ (3) được gọi là chuỗi đan dấu.

1.2. Mối liên hệ giữa chuỗi số và dãy số:

Về hình thức, kí hiệu

1 2

1

... ...

n n

n

u u u u

∞

=

∑ = + + + +

giống như là một “ tổng vô hạn”. Vì vậy, đôi khi ta cũng gọi chuỗi (1) là một tổng

vô hạn hay nói cách khác nó chính là tổng vô hạn các số hạng của dãy số { un } . Mặt

khác, tự nhiên ta phải đặt vấn đề giữa chuỗi số và dãy số có mối liên hệ như thế

nào? Trong phần này chúng ta sẽ thiết lập mối liên hệ hai chiều giữa chuỗi số và

dãy số.

Cho chuỗi (1) , từ chuỗi đó ta thiết lập được dãy sau

1

S , 2

S ,..., n

S ,... (2)

trong đó

1 2

1

...

n

n k n

k

S u u u u

=

= = + + + ∑ .

Ngược lại, cho trước dãy số { Sn } . Từ dãy đó ta thiết lập được chuỗi số tương ứng:

1 2

1

... ...

n n

n

u u u u

∞

=

+ + + + = ∑

ở đó

1 1 u S = ,

2 2 1 u S S = − ,

................

n n n 1

u S S = − −

,

Trang 2

Một số bài toán tính tổng của chuỗi số

.................

nhận dãy { Sn } làm dãy tổng riêng.

Theo định nghĩa về sự hội tụ của chuỗi (1) thì sự hội tụ đó tương đương với

sự hội tụ của dãy dãy tổng riêng { Sn } .

Nhờ mối liên hệ này, việc xét sự hội tụ và tính tổng của chuỗi (1) hoàn toàn

có thể chuyển sang việc xét sự tồn tại và tính giá trị của giới hạn của dãy (2).

Từ kết quả này, ta có điều kiện cần để chuỗi

1

n

n

u

∞

=

∑ hội tụ là lim 0 n

n

u

→∞

= và nếu

n

u không dần tới số không khi n → ∞ thì chuỗi

1

n

n

u

∞

=

∑ phân kì, khi đó ta nói chuỗi

phân kỳ do vi phạm điều kiện cần.

1.3 Một số dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương, chuỗi đan dấu:

1.3.1 Chuỗi số dương:

1.3.1.1 Dấu hiệu so sánh:

Cho hai chuỗi dương

1

n

n

u

∞

=

∑ (1) và

1

n

n

v

∞

=

∑ (2). Giả sử ,

n n

u v n ≤ ∀ . Khi đó

+ Nếu chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi (1) cũng hội tụ.

+ Nếu chuỗi (1) phân kì thì chuỗi (2) cũng phân kì.

Đặc biệt, nếu lim 0, n

n

n

u

k k

v

→∞

= ≠ ≠ ∞ thì hai chuỗi (1), (2) cùng hội tụ hoặc

cùng phân kì.

1.3.1.2 Dấu hiệu D’Alembert:

Cho chuỗi dương

1

n

n

u

∞

=

∑ (1) . Khi đó

+ Nếu 1

lim 1 n

n

n

u

u

+

→∞

< thì chuỗi (1) hội tụ.

Trang 3

Một số bài toán tính tổng của chuỗi số

+ Nếu 1

lim 1 n

n

n

u

u

+

→∞

> thì chuỗi (1) phân kì.

Đặc biệt, nếu tồn tại giới hạn 1

lim n

n

n

u

u

u

+

→∞

= , khi đó nếu u <1 thì chuỗi (1) hội

tụ, nếu u >1 thì chuỗi (1) phân kì.

1.3.2 Chuỗi đan dấu:

Dấu hiệu Leibnitz: Cho chuỗi đan dấu 1

1

( 1) , 0, n

n n

n

u u n

∞

−

=

∑ − > ∀ . Nếu dãy số

{ un } đơn điệu giảm và hội tụ về 0 thì chuỗi đan dấu hội tụ.

2. Các tính chất của chuỗi số:

Ta biết rằng chuỗi hay “tổng vô hạn” không hoàn toàn giống tổng hữu hạn vì

trong việc tạo thành nó ta phải đưa vào phép tính giới hạn. Trong phần này, chúng

ta nghiên cứu các tính chất giống nhau và khác nhau giữa tổng vô hạn và tổng hữu

hạn.

2.1 Tính chất kết hợp:

Cho chuỗi

1

n

n

u

∞

=

∑ và { mk} là một dãy tăng thực sự các số nguyên dương. Đặt

1

1 1 2 ... m

v u u u = + + + ,

1 1 2 2 1 2 ... m m m

v u u u = + + + + + ,...

Khi đó nếu chuỗi

1

n

n

u

∞

=

∑ hội tụ thì chuỗi

1

n

n

v

∞

=

∑ cũng hội tụ và hai chuỗi có tổng

bằng nhau.

Ở đây, chuỗi hội tụ có tính chất kết hợp “một chiều” còn chiều ngược lại thì

không đúng.

Ví dụ: Chuỗi

(1-1)+(1-1)+...+(1-1)+...

là chuỗi hội tụ nhưng chuỗi

1-1+1-1+...+1-1+...

Trang 4

Một số bài toán tính tổng của chuỗi số

là chuỗi phân kì.

2.2 Tính chất giao hoán:

2.2.1 Định lí 1:(Dirichlet)

Nếu chuỗi

1

n

n

u

∞

=

∑ hội tụ tuyệt đối và có tổng là S thì chuỗi

1

n

n

v

∞

=

∑ thành lập bằng

cách đổi chỗ tuỳ ý các số hạng n

u của chuỗi

1

n

n

u

∞

=

∑ cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng

bằng S.

2.2.2 Định lí 2:(Riemann)

Nếu chuỗi số

1

n

n

u

∞

=

∑ bán hội tụ thì việc thay đổi vị trí các số hạng của nó có

thể làm cho chuỗi phân kì hoặc hội tụ về một số cho trước.

Như vậy, ta thấy tính chất giao hoán vẫn còn đúng cho chuỗi hội tụ tuyệt đối

nhưng tính chất giao hoán không còn đúng đối với chuỗi bán hội tụ.

3. Các phép toán về chuỗi:

3.1 Cộng các chuỗi:

3.1.1 Định lí 3:

Nếu các chuỗi

1

n

n

u

∞

=

∑ và

1

n

n

v

∞

=

∑ hội tụ và có tổng lần lượt là U và V, k là hằng số

thì các chuỗi

1

( )

n n

n

u v

∞

=

∑ ± ,

1

n

n

ku

∞

=

∑ cũng hội tụ và

1.

1

( )

n n

n

u v

∞

=

∑ ± =

1

n

n

u

∞

=

∑ ±

1

n

n

v

∞

=

∑ =U± V;

2.

1

n

n

ku

∞

=

∑ =k

1

n

n

u

∞

=

∑ =kU.

Chú ý: 1. Nếu chuỗi

1

n

n

u

∞

=

∑ phân kì và chuỗi

1

n

n

v

∞

=

∑ hội tụ thì chuỗi

1

( )

n n

n

u v

∞

=

∑ ± phân

kì.

Trang 5