Một số bài toán cực trị trong hình học

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-----š›&š›-----

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI:

MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ

TRONG HÌNH HỌC

Sinh viên thực hiện : Võ Thị Giang

Giảng viên hướng dẫn : TS. Nguyễn Duy Thái Sơn

Lớp : 15ST

Đà Nẵng 2019

1

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-----š›&š›-----

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI:

MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ

TRONG HÌNH HỌC

Sinh viên thực hiện : Võ Thị Giang

Giảng viên hướng dẫn : TS. Nguyễn Duy Thái Sơn

Chuyên ngành : Sư phạm Toán

Lớp : 15ST

Đà Nẵng 2019

2

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn, TS. Nguyễn

Duy Thái Sơn, đã tận tình hướng dẫn em trong quá trình thực hiện để em có thể

hoàn thành được khoá luận này.

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô giáo trong Trường Đại học Sư

phạm – Đại học Đà Nẵng – nói chung, các thầy cô giáo trong Khoa Toán nói

riêng, đã tận tình dạy dỗ em trong suốt thời gian học tập tại Nhà trường.

Đà Nẵng, tháng 1 năm 2019

Sinh viên thực hiện

Võ Thị Giang

3

MỤC LỤC:

MỞ ĐẦU 4

1. CHƯƠNG 1: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ HÌNH HỌC 6

1.1. ÁP DỤNG BIẾN ĐỔI HÌNH HỌC 6

1.2. ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ 19

1.3. ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH 24

1.4. PHƯƠNG PHÁP “BIẾN PHÂN RIÊNG PHẦN” 33

1.5. NGUYÊN LÍ TIẾP XÚC 40

2. CHƯƠNG 2: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC CHỌN LỌC 52

2.1. CÁC BÀI TOÁN ĐẲNG CHU 52

2.2. ĐIỂM CỰC TRỊ TRONG TAM GIÁC VÀ KHỐI TỨ DIỆN 56

2.3. BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TỔ HỢP 62

KẾT LUẬN 68

TÀI LIỆU THAM KHẢO 69

4

MỞ ĐẦU

1) LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Các bài toán về cực đại và cực tiểu xuất hiện một cách tự nhiên không chỉ trong

khoa học, kỹ thuật và ứng dụng mà cả trong đời sống thường ngày. Phần lớn các

bài toán này có bản chất tính hình học: tìm đường đi ngắn nhất giữa hai đối

tượng, thoả mãn những điều kiện nhất định, hoặc tìm hình có chu vi, diện tích

hay thể tích nhỏ nhất là kiểu bài toán hay gặp. Không ngạc nhiên gì khi từ rất xa

xưa nhân loại đã làm việc với các bài toán kiểu này; một số bài toán nổi danh

hiện nay đã được người Hy Lạp cổ đại khảo sát và tìm ra lời giải chủ yếu bằng

trực giác, vì họ chưa có đủ công cụ toán học để đưa ra các chứng minh chặt chẽ.

Ví dụ, ở đây ta có thể đề cập đến khám phá của Heron (thế kỷ công nguyên thứ

nhất) rằng tia sáng đi trong không gian từ một điểm A đến một điểm B sau khi

phản xạ tại một chiếc gương a thì luôn đi theo con đường ngắn nhất có thể có từ

A đến B mà có một điểm chung với a.

Một bài toán nổi tiếng khác, có tên gọi là bài toán đẳng chu, được xem xét bởi

Descartes (1596-1650): Trong tất cả các hình phẳng có cùng chu vi, hãy tìm

hình có diện tích lớn nhất. Nghiệm hình “hoàn hảo” của bài toán này là hình

tròn; điều đó đã được Descartes (và có thể là những người trước ông) dự đoán;

tuy nhiên, mãi đến thế kỉ XIX mới có một phép chứng minh chặt chẽ cho sự

kiện đó, được công bố lần đầu bởi Jacob Steiner như là một lời giải thực sự của

bài toán.

Một bài toán khác, cũng thú vị và dễ phát biểu, được I.F. Fagnano đặt ra vào

năm 1775: tìm một tam giác có chu vi nhỏ nhất nội tiếp trong một tam giác nhọn

cho trước. Một lời giải tinh tế cho bài toán “network” tương đối đơn giản này

được tìm ra bởi Hermann Schwarz (1843-1921)…

Các bài toán về cực trị hình học luôn thu hút sự quan tâm của các nhà toán học

cũng như những người yêu thích toán, vì vẻ đẹp lý thuyết riêng có và cả vì các

ứng dụng trong khoa học và trong cuộc sống của chúng. Chủ đề này, vì thế,

thường xuyên được khai thác trong các kì thi toán học trên toàn thế giới.

Với những lí do trên, cùng với sự định hướng của thầy giáo – TS. Nguyễn Duy

Thái Sơn – chúng tôi chọn “Một số bài toán cực trị trong hình học” làm chủ đề

nghiên cứu của khóa luận tốt nghiệp.

2) MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Ngoài việc cố gắng “sưu tập” các loại bài toán cực trị hình học ở nhiều cấp độ

khó-dễ khác nhau, chúng tôi còn cố gắng tìm hiểu các công cụ khác nhau trong

phần trình bày lời giải, qua đó hy vọng nhiều người với khả năng và tuổi tác

5

khác nhau, là người am hiểu nhiều hay chỉ thuần túy là người yêu thích toán

học, đều có thể đọc và thấy luận văn này hữu ích.

3) ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Các bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong hình học, từ các bài toán

cổ điển đến các bài toán đương đại, các bài toán trong các cuộc thi trên thế giới.

4) PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu dựa trên các bài toán thu thập được

từ các nguồn sách báo, xen kẽ các kiến thức lí thuyết liên quan.

5) CẤU TRÚC KHOÁ LUẬN

Khoá luận gồm có 2 chương:

- Chương 1 trình bày một số phương pháp giải các bài toán cực trị hình học:

ứng dụng các phép biến hình, như phép đối xứng qua đường thẳng hay mặt

phẳng, phép quay…; sử dụng thích hợp các bất đẳng thức đại số; phương

pháp giải tích (áp dụng các công cụ trong phép tính vi phân). Hai phương

pháp được xét sau cùng trong Chương 1 sẽ có bản chất hình học nhiều hơn;

đó là: phương pháp biến phân riêng phần và phương pháp dựa trên nguyên lí

tiếp xúc. Đa số các bài toán được thảo luận trong Chương 1 là các bài toán

cổ điển.

- Chương 2 có thể được xem là một tuyển tập các bài toán cực trị hình học

thường gặp.

6

1. CHƯƠNG I:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ HÌNH HỌC

1.1. ÁP DỤNG BIẾN ĐỔI HÌNH HỌC:

Khi giải các bài toán hình học người ta nhận thấy một nét chung: các đối tượng hình

học cần nghiên cứu trong bài toán thường được cho đi qua một số phép biến hình trước

khi đến được một thế hình dễ nghiên cứu. Trong phần này, đó là phương pháp được sử

dụng để giải một số bài toán về cực đại và cực tiểu. Các phép biến hình sẽ được sử

dụng bao gồm các phép đối xứng quen biết (như đối xứng qua điểm hay đối xứng qua

đường thẳng), phép quay, phép giãn. Ngoài ra, trong các bài toán hình học không gian,

chúng ta cũng sẽ sử dụng phép đối xứng qua mặt phẳng, phép quay quanh một đường

thẳng, và phép giãn trong không gian.

Chúng ta sẽ bắt đầu với bài toán Heron quen thuộc.

1.1.1. Cho đường thẳng l nằm trên một mặt phẳng và 2 điểm A và B nằm cùng

phía đối với l. Tìm một điểm X trên l sao cho đường gấp khúc AXB có chiều

dài ngắn nhất.

Giải: Lấy B’ là ảnh đối xứng của B qua l. Theo tính chất đối xứng, ta có XB = XB’ với

mọi điểm X trên l, do vậy:

AX + XB = AX + XB’≥ AB’.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi X là giao điểm X0 của l và đoạn thẳng AB’. Vì vậy, với

mọi điểm X trên l khác với X0:

AX + XB > AB’ = AX0 + X0B,

và X0 là điểm duy nhất cần tìm.