Một số áp dụng của vô cùng bé và vô cùng lớn để giải các bài toán trong lý thuyết chuỗi

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

LƯƠNG PHAN DIỆU THẢO

MỘT SỐ ÁP DỤNG

CỦA VÔ CÙNG BÉ VÀ VÔ CÙNG LỚN ĐỂ GIẢI CÁC

BÀI TOÁN TRONG LÝ THUYẾT CHUỖI

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2017

Công trình được hoàn thành tại

Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN

Người hướng dẫn khoa học: TS. PHAN QUỐC TUẤN

Phản biện 1:

.................................................

Phản biện 2:

.................................................

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ Khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào

tháng 1 năm 2018

Có thể tìm hiểu luận văn tại

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

Mục lục

1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Đại lượng vô cùng bé - vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Đại lượng vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2 Đại lượng vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Chuỗi hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.2 Chuỗi hàm lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Áp dụng VCB và VCL để giải các bài toán xét sự hội

tụ của chuỗi số 14

2.1 Dạng ln(1 + V CB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Dạng 1 − cos(V CB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Dạng sin(V CB) − V CB. cos(V CB) . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Một số dạng lượng giác quy về VCB . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Dạng e

V CB − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Áp dụng vô cùng bé và vô cùng lớn để giải các bài toán

tìm miền hội tụ của chuỗi hàm 19

3.1 Miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ . . . . . . 19

3.2 Quy về chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ . . . . . . . . . . 21

3.3 Sáng tạo bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Kết luận và kiến nghị 23

Tài liệu tham khảo 24

2

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Chuỗi hàm xuất hiện từ rất sớm. Ngay từ thế kỷ thứ XIV, nhà toán học

Ấn Độ - Madhava1

đã biết cách biểu diễn một số hàm lượng giác thành các

chuỗi vô hạn và đánh giá sai số sinh ra khi “cắt đuôi” của chuỗi. Madhava

tìm ra chuỗi của các hàm sin x, cos x, arctan x vào những năm 1400, tức

là trước khi chúng được biết đến ở Châu Âu.

Các thuật ngữ “hội tụ” và “phân kỳ” đối với chuỗi hàm được ra đời vào

năm 1668, nhưng các khảo cứu thực sự về sự hội tụ của chuỗi vô hạn chỉ

được khởi đầu sau đó gần 150 năm bởi Carl Friedrich Gauss2

, khi ông xem

xét các chuỗi dạng “siêu cấp số nhân” và công bố một công trình vào năm

1812. Ông đã thiết lập tiêu chuẩn hội tụ và xem xét các vấn đề khoảng hội

tụ cũng như phần dư của chuỗi.

Cauchy là người thiết tha với các dấu hiệu hội tụ chặt chẽ. Ông chỉ ra

rằng hai chuỗi hội tụ thì tích của chúng không nhất thiết là hội tụ. Nhiều

tiêu chuẩn hữu hiệu về tính hội tụ được khởi nguồn từ ông. Euler và Gauss

cũng đóng góp nhiều tiêu chuẩn hội tụ khác. Maclaurin cũng đã biết trước

một số tiêu chuẩn mà Cauchy đã phát hiện ra sau này. Tiêu chuẩn Abel

dưới dạng tổng quát như ta thấy ngày nay thực ra được phát triển sau này

bởi nhiều người, trong đó có Weierstrass.

Qua đó có thể thấy lý thuyết chuỗi số là đề tài quan trọng, thu hút

được nhiều sự quan tâm của các nhà toán học lỗi lạc. Nó còn là nền tảng

cơ sở và công cụ cho nhiều ngành toán học khác sau này như lý thuyết

về chuỗi Fourier, chuỗi Fourier phức, ứng dụng trong giải xấp xỉ tích phân

bằng tổng một chuỗi lũy thừa, bài toán tìm nghiệm của phương trình đạo

1

1350 – 1425

2Nhà toán học người Đức, 1777 – 1855.

3

hàm riêng, trong phân tích sóng nhỏ3

, . . .

Việc kiểm tra tính hội tụ của chuỗi số có thể thực hiện bằng nhiều tiêu

chuẩn khác nhau được tìm ra bởi các nhà toán học kể trên như thông qua

xét giới hạn của phần tử tổng quát, so sánh tỉ số của hai phần tử liền nhau

trong chuỗi, xét tích phân phần tử tổng quát của chuỗi, so sánh với một

chuỗi hội tụ hoặc một chuỗi phân kỳ.

Theo điều kiện cần, ta có nếu số hạng tổng quát của một chuỗi số không

dần về không thì chuỗi đó phân kỳ. Nên một chuỗi muốn được xem xét có

hội tụ hay không thì số hạng tổng quát của nó phải dần về không. Nghĩa

là số hạng tổng quát phải là đại lượng vô cùng bé. Do đó, khi ta kết hợp

với tiêu chuẩn so sánh sẽ dẫn đến bài toán so sánh hai vô cùng bé (VCB).

Như ta đã biết, nghịch đảo của đại lượng vô cùng bé là đại lượng vô cùng

lớn (VCL). Từ những điều này đã gợi mở cho tôi tìm hiểu mối quan hệ giữa

hai đại lượng VCB-VCL trong các bài toán xét sự hội tụ của chuỗi số và

tìm miền hội tụ của chuỗi hàm.

Với mong muốn mang lại một sự hiểu biết rõ ràng hơn các vấn đề kể

trên và tìm ra một công cụ đơn giản, hiệu quả trong việc giải các bài toán

về xét sự hội tụ của chuỗi số, tìm miền hội tụ của chuỗi hàm tôi đã lựa chọn

đề tài “MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA VÔ CÙNG BÉ - VÔ CÙNG LỚN ĐỂ

GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRONG LÝ THUYẾT CHUỖI”.

2. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài

Mục đích nghiên cứu của luận văn này là nghiên cứu mối quan hệ của

hai đại lượng VCB-VCL với các bài toán xét sự hội tụ của chuỗi số và tìm

miền hội tụ của chuỗi hàm. Từ những mối quan hệ đó đưa ra phương pháp

giải và sáng tạo bài tập cho các bài toán về xét sự hội tụ của chuỗi số và

tìm miền hội tụ của chuỗi hàm.

3wavelet

4

Để đạt được mục tiêu kể trên luận văn dự định nghiên cứu các nội dụng

sau:

- Định nghĩa, một số tính chất của giới hạn hàm số, vô cùng bé, vô cùng

lớn, các vô cùng bé cơ bản.

- Định nghĩa chuỗi số, chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa, các tiêu chuẩn xét sự

hội tụ của chuỗi số, tìm bán kính hội tụ, miền hội tụ của chuỗi hàm.

- Trên cơ sở đó áp dụng VCB-VCL vào giải các bài toán về xét sự hội tụ

của chuỗi số và tìm miền hội tụ của chuỗi hàm.

Nội dung của đề tài được dự định chia thành 3 chương

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.

• Chương 2: Áp dụng VCB và VCL để giải các bài toán xét sự hội tụ của

chuỗi số.

• Chương 3: Áp dụng VCB-VCL để giải các bài toán tìm miền hội tụ của

chuỗi hàm.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng mà chúng tôi tập trung nghiên cứu là lý thuyết VCB, VCL,

lý thuyết chuỗi.

Phạm vi nghiên cứu của chúng tôi là áp dụng VCB-VCL xét sự hội tụ

của chuỗi số dương và tìm miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa.

4. Phương pháp nghiên cứu

- Đọc, dịch, tìm hiểu tài liệu về lý thuyết vô cùng bé, vô cùng lớn, chuỗi

số, chuỗi hàm.

5

- Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu về ứng dụng vô cùng bé, vô

cùng lớn trong tính giới hạn của hàm cũng như xét sự hội tụ của chuỗi

hàm.

- Vận dụng các kiến thức bên trên sáng tạo bài toán sau đó giải bài toán

bằng phương pháp đã nêu.

5. Đóng góp của đề tài

Đưa ra phương pháp sử dụng VCB-VCL để giải các bài toán về xét sự

hội tụ của chuỗi số, tìm miền hội tụ của chuỗi hàm.

Sáng tạo một lớp các bài toán về xét sự hội tụ của chuỗi số và tìm miền

hội tụ của chuỗi hàm.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết. Có thể sử dụng luận văn làm tài liệu

tham khảo dành cho sinh viên học môn Toán cao cấp và học viên cao học

ngành Phương pháp toán sơ cấp.

6

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Đại lượng vô cùng bé - vô cùng lớn

1.1.1. Đại lượng vô cùng bé

Định nghĩa 1.1.1. Hàm số α(x) được gọi là vô cùng bé khi x → x0

nếu

lim

x→x0

α(x) = 0.

Ký hiệu là VCB(x → x0).

Mệnh đề 1.1.2. Nếu lim

x→x0

f(x) = A ∈ R thì (f(x) − A) là VCB(x →

x0).

Tính chất 1.1.3. Giả sử α(x), β(x) là hai VCB(x → x0) và f(x) là

hàm bị chặn trong lân cận của x0. Khi đó,

(i) α(x) ± β(x) là VCB(x → x0).

(ii) α(x).β(x) là VCB(x → x0).

(iii) α(x).f(x) là VCB(x → x0).

Ví dụ 1.1. Xét hai VCB(x → 0) là x

3

sin

1

x

và x

3

. Ta có

lim

x→0

x

3

sin 1

x

x

3

= lim

x→0

sin

1

x

,

nhưng không tồn tại giới hạn lim

x→0

sin

1

x

nên không thể kết luận x

3

sin 1

x

x

3

là

VCB(x → 0).

Vấn đề đặt ra ở đây là có thể so sánh hai VCB(x → x0) với nhau hay

không? Để giải quyết vấn đề này, ta đưa ra định nghĩa bậc của vô cùng bé.

Định nghĩa 1.1.4. Giả sử α(x), β(x) là các VCB(x → x0).