Một nguyên lý so sánh của nghiệm nhớt cho phương trình đạo hàm riêng cấp hai loại elliptic trên miền không bị chặn

MỘT NGUYÊN LÝ SO SÁNH CỦA NGHIỆM NHỚT CHO

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI LOẠI

ELLIPTIC TRÊN MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN

A COMPARARISON PRINCIPLE OF VISCOSITY SOLUTIONS TO SECOND

ORDER ELLIPTIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS ON

UNBOUNDED DOMAINS

NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH

Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

NGUYỄN CỬU HUY

HV Cao học khoá 2004-2007

TÓM TẮT

Các tính chất của nghiệm nhớt cho phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục

trên miền bị chặn đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như các nguyên lý so sánh, các định

lý duy nhất nghiệm và các định lý tồn tại nghiệm. Bài báo này trình bày một nguyên lý so sánh

của nghiệm nhớt cho các phương trình đạo hàm riêng cấp hai loại elliptic trên miền không bị

chặn.

ABSTRACT

The properties of viscosity solutions of scalar fully nonlinear partial differential equations of

second order on bounded domains have been investigated by many authors providing

comparison principles, uniqueness theorems and existence theorems. This paper describes a

comparison principle for a viscosity solution of second order elliptic partial differential equations

on unbounded domains.

1. ĐẶT VẤN ĐỀ

Xét phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục có dạng:

F( u, Du, 2 D u) = f(x), (1.1)

trong đó, F: R × n R × S(n) → R với S(n) là ký hiệu của tập hợp tất cả các ma trận vuông đối

xứng cấp n. Ta xét hàm số F( u, Du, 2 D u) với u là một hàm số giá trị thực xác định trên toàn n R , Du là ký hiệu gradient của u và D u

2 ký hiệu cho ma trận Hessian các đạo hàm cấp hai

của u, và f là một hàm cho trước. Tuy nhiên, trong khuôn khổ của bài toán sau đây, Du và 2 D u không còn theo nghĩa cổ điển, tức là u không đòi hỏi phải khả vi liên tục đến cấp hai.

Ta khảo sát tính chất của nghiệm nhớt cho phương trình F = f, trong đó F phải thỏa

mãn điều kiện đơn điệu (monotonicity condition):

F(r, p, X) ≤ F(s, p, Y) với r ≤ s và Y ≤ X. (1.2)

Trong đó r, s ∈ R, p ∈ n R , X, Y ∈ S(n) và trên S(n) đã trang bị thứ tự thông thường của nó.

Lưu ý rằng, điều kiện ở trên cho ta hai điều kiện:

F(r, p, X) ≤ F(s, p, X) với r ≤ s (1.3)

F(r, p, X) ≤ F(r, p, Y) với Y ≤ X. (1.4)