Mối quan hệ giữa các p.i nữa nguyên tố và điều kiện ore và goldie về sự tồn tại vành các thương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Vũ Thị Tuyết Mai

MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC P.I NỬA

NGUYÊN TỐ VÀ ĐIỀU KIỆN CỦA ORE VÀ

GOLDIE VỀ SỰ TỒN TẠI VÀNH

CÁC THƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin gởi lời tri ân PGS.TS Bùi Tường Trí đã tận tình hướng dẫn tôi trong

suốt quá trình thực hiện luận văn.

Tôi xin trân trọng cám ơn tất cả các quý thầy cô trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM và

trường Đại học Khoa Tự Nhiên TP.HCM, Phòng Nghiên cứu Khoa học Sau đại học trường Đại

Học Sư Phạm TP.HCM đã nhiệt tình giảng dạy, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi hoàn thành khoá

học.

Tôi xin cám ơn quý thầy cô trong hội đồng khoa học đã đọc, nhận xét và đóng góp những ý

kiến quý báu về luận văn này.

Cảm ơn tất cả các bạn học viên Cao học Đại số và Lý thuyết số khóa 18 đã cùng tôi trao

đổi hoàn thiện kiến thức trong quá trình học tập.

Cảm ơn tất cả các bạn bè cùng đồng nghiệp đã quan tâm, động viên tôi trong suốt quá trình

học tập.

Cuối cùng tôi xin dành tất cả những tâm tình sâu lắng nhất đến gia đình, đặc biệt là mẹ tôi

trong thời gian điều trị căn bệnh nan y – bệnh ung thư – người đã không ngừng động viên tôi

hoàn thành luận văn. Có thể luận văn của tôi không hoàn thiện nhưng trong tim mẹ tôi nó là đẹp

nhất, hay nhất, đáng trân trọng nhất. Cảm ơn bố mẹ đã cho con được đến trường, được có một

cuộc đời tươi đẹp, được trải nghiệm hạnh phúc nhất đời mỗi con người là được làm những gì

mình thực sự muốn và được chăm sóc mẹ.

Do trình độ còn hạn chế nên luận văn sẽ không tránh khỏi sai sót, kính mong được sự

thông cảm và góp ý xây dựng của quý thầy cô cùng các bạn.

TP. HCM năm 2010

Vũ Thị Tuyết Mai

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong lĩnh vực lý thuyết các vành không giao hoán, ta đã biết để xây dựng vành các

thương của các vành không giao hoán các nhà toán học đã xây dựng theo hai cách. Cách cổ điển

còn gọi là “Địa phương hóa theo tâm” là sự mở rộng tự nhiên của việc xây dựng trường các

thương của một miền nguyên, với cách làm này ta thu được vành các thương cổ điển bên trái

(hoặc phải) của vành R không giao hoán. Đối với cách xây dựng này các nhà toán học nhận

thấy không phải tất cả các vành không giao hoán đều xây dựng được vành các thương. Do đó

hai nhà toán học Ore và Goldie đã tìm ra một cách mới, hiện đại hơn để làm điều này, ta tạm

gọi là xây dựng vành các thương theo nghĩa của Ore và Goldie.

Chúng ta đã biết, đối với các P.I vành nguyên tố thì luôn luôn xây dựng được các thương

theo nghĩa cổ điển và do đó các P.I vành nguyên tố cũng có thể xây dựng được theo nghĩa của

Ore và Goldie. Vấn đề tương tự được đặt ra cho các P.I nửa nguyên tố. Liệu các P.I vành nửa

nguyên tố có thể luôn luôn xây dựng được vành các thương theo nghĩa của Ore và Goldie ?

2. Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là chúng tôi muốn giải quyết một bộ phận các câu hỏi đó. Luận

văn mong muốn làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các P.I nửa nguyên tố và các điều kiện của Ore

và Goldie về sự tồn tại vành các thương.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là lớp các vành không giao hoán.

Phạm vi nghiên cứu là các vành đặc biệt.

4. Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp, phân tích và so sánh.

5. Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm ba chương.

Chương 1. Những vấn đề cơ bản của lý thuyết vành không giao hoán.

Trong chương này luận văn trình bày lại một số kiến thức cơ bản của lý thuyết vành

không giao hoán có liên quan đến các chương sau. Luận văn chỉ phát biểu lại các định lý, các bổ

đề, các hệ quả và không đi sâu vào chứng minh chúng.

Các kết quả nhắc lại được dùng làm lý thuyết phục vụ đề tài.

Chương 2. Các phương pháp xây dựng vành các thương của các vành không giao hoán.

Trong chương này chúng tôi nêu rõ hai phương pháp xây dựng vành các thương, theo

cách cổ điển và hiện đại. Các định lý hầu hết chúng tôi đều chứng minh một cách tường minh.

Chương 3. Nghiên cứu về việc xây dựng vành các thương của Ore và Goldie cho lớp các P.I

nửa nguyên tố.

Chúng tôi sẽ chỉ ra một ví dụ về sự không tồn tại của vành các thương theo nghĩa của Ore

và Goldie khi cho một vành P.I nửa nguyên tố.