Mở rộng phương trình hàm cauchy.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG



TRẦN THỊ THẮM

MỞ RỘNG PHƯƠNG TRÌNH

HÀM CAUCHY

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG - 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG



Người hướng dẫn khoa học: TS.CAO VĂN NUÔI

Phản biện 1: PGS. TSKH. Trần Quốc Chiến

Phản biện 2: TS. Hoàng Quang Tuyến

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn

tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13

tháng 12 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Lý thuyết phương trình hàm là một trong những lĩnh vực

nghiên cứu quan trọng của giải tích toán học. Việc giải phương trình

hàm có lẽ là một trong những bài toán lâu đời của giải tích. Nhu cầu

giải phương trình hàm xuất hiện ngay khi bắt đầu có lý thuyết hàm

số, nhiều phương trình hàm xuất phát từ nhu cầu thực tế của toán học

hoặc của các ngành khoa học khác.

Phương trình hàm cũng là một chuyên đề quan trọng trong

chương trình toán ở các trường THPT chuyên. Trong các kì thi

olympic toán quốc gia và quốc tế, olympic khu vực, thường xuất hiện

các dạng toán khác nhau liên quan đến phương trình hàm. Để giải nó

ta không những cần nắm vững lý thuyết mà còn cần rất nhiều kỹ

năng. Tuy nhiên, cho đến nay, học sinh các lớp chuyên, các lớp chọn

còn biết rất ít các phương pháp đề giải các phương trình hàm. Đặc

biệt, chúng ta còn rất ít cuốn sách về chuyên đề phương trình hàm và

ứng dụng của chúng.

Các bài toán về phương trình hàm rất phong phú và đa dạng,

bao gồm các loại phương trình tuyến tính và phi tuyến tính, phương

trình hàm một ẩn hàm và phương trình nhiều ẩn hàm, phương trình

hàm một biến và phương trình hàm nhiều biến…

Phương trình hàm Cauchy có một vai trò quan trọng trong

mảng toán về phương trình hàm. Rất nhiều phương trình hàm được

giải quyết rất gọn gàng nhờ phép biến đổi đưa về phương trình hàm

Cauchy. Và khi xây dựng các công thức tính diện tích hình chữ nhật,

công thức Logarit, công thức lãi đơn, lãi kép…ta sẽ bắt gặp phương

trình hàm Cauchy.

2

Từ những vấn đề trên, tôi đã quyết định chọn đề tài nghiên

cứu: “Mở rộng phương trình hàm Cauchy”.

2. Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu các mở rộng của

phương trình hàm Cauchy.

Nội dung của đề tài được chia thành 2 chương:

- Chương 1 giới thiệu về lịch sử phát triển và mở rộng

phương trình hàm Cauchy.

- Chương 2 giới thiệu về các ứng dụng của phương trình

hàm Cauchy.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là phương trình hàm

Cauchy.

Phạm vi nghiên cứu của luận văn là xây dựng cơ sở lý thuyết

và hệ thống các mở rộng của phương trình hàm Cauchy và các ứng

dụng của phương trình hàm cauchy.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu

a. Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả

nghiên cứu liên quan đến phương trình hàm Cauchy và ứng dụng.

b. Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi

các kết quả đang nghiên cứu. Trao đổi qua email, blog, forum với các

chuyên gia về các ứng dụng của phương trình hàm.

3

CHƢƠNG 1

MỞ RỘNG CÁC PHƢƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY

1.1. VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN PHƢƠNG

TRÌNH HÀM

Trong chương này, ta tóm lược đôi nét về lịch sử phát triển của

phương trình hàm trong sự phát triển chung của Toán học và mở rộng

các phương trình hàm Cauchy.

1.1.1.Nicole Oresme (1323 – 1382)

Nicole Oresme là một nhà toán học người Pháp, ông là một

trong những nhà khoa học lớn thời Trung cổ, ông có những nghiên

cứu quan trọng cho khoa học thời Phục hưng. Năm 1348, Nicole

Oresme giành được học bổng của đại học Paris, cũng chính năm đó ở

Châu Âu đã xảy ra nạn dịch Cái chết đen làm chết hơn 1/3 dân số của

Châu Âu. Năm 1355, ông đã có bằng thạc sĩ và được bổ nhiệm làm

hiệu trưởng của trường Đại học Navarre của Pháp. Ông là nhà khoa

học lớn nhất ở thế kỉ XIV. Ở giai đoạn khó khăn, dịch bệnh như vậy

mà ông đã làm những điều quá sức phi thường, thật là một điều

không tưởng.

Phương trình hàm đã được các nhà khoa học nghiên cứu từ

rất sớm. Ngay từ thế kỉ XIV, nhà toán học Nicole Oresme đã xác

định hàm số bậc nhất như một nghiệm của phương trình hàm. Cụ thể

là, ông đã đặt bài toán tìm hàm số

f x( )

thỏa mãn với mọi

x y z , , , 

đôi một phân biệt, phương trình hàm như sau:

   

   

y x f y f x

z y f z f y

 



 

(1.1)

4

và Nicole Oresme đã tìm được nghiệm của phương trình (1.1) là:

f x ax b    

với

ab,

là hằng số.

1.1.2.Gregory of Saint – Vincent (1584 – 1667)

Trong vài trăm năm tiếp theo, phương trình hàm đã được biết

đến nhiều hơn nhưng lại không có một lý thuyết chung nào cho các

phương trình hàm lúc đó. Trong số nhà toán học lớn có nhà toán học

Gregory of Saint – Vincent, người đi đầu về lý thuyết Logarithm và

đã tìm ra được hàm hypebol trong phương trình hàm:

f xy f x f y ( ) ( ) ( ).  

Ông đã xét bài toán diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi

các đường

1

y x x t x y ; 1; ; ,

x



    

ông đã kí hiệu diện tích đó là

f t()

và chứng tỏ

f t()

thỏa mãn phương trình hàm:

f xy f x f y x y ( ) ( ) ( ), , .    

Ngày nay thì ta đã biết đó là hàm

  loga

f x x 

với

a a   0, 1.

Tuy nhiên, việc giải và tìm ra nghiệm của phương trình hàm

f xy f x f y x y ( ) ( ) ( ), ,    

thì phải đến 200 năm sau mới tìm

được nhờ công của Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1885).

1.1.3.Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1885)

Augustin – Louis Cauchy được sinh ra tại Paris năm 1789,

năm xảy ra cuộc cách mạng Pháp kéo dài đến 10 năm. Khi Cauchy

được 10 tuổi thì bố ông đã đem cả gia đình về quê sống ẩn dật cho

đến năm 1800. Năm 13 tuổi, Cauchy vào học trường trung tâm của

Parthenon. Ở đó vua Napoleon đã đặt ra nhiều giải thưởng và một kỳ

5

thi học sinh giỏi cho tất cả các trường của nước Pháp thuộc cùng một

lớp. Cauchy đứng đầu lớp và đạt nhiều giải nhất về các môn học

tiếng La Tinh, Hy Lạp và thơ La Tinh.

Năm 1805, khi 16 tuổi Cauchy đã gặp được một thầy dạy

Toán giỏi và đã thi đỗ thứ hai vào trường Đại học Bách Khoa. Năm

1807 ông vào học trường Đại học Cầu đường và tuy mới 18 tuổi

nhưng ông đã vượt qua các bạn học 20 tuổi, mặc dù các bạn này đã

học 2 năm ở trường này rồi. Năm 1813, ông dạy toán ở Trường Bách

Khoa và thành hội viên Hàn lâm viện Khoa học Pháp.

Bước vào tuổi 27, ông là nhà toán học xuất sắc thời bấy giờ,

ông nghiên cứu ở nhiều lĩnh vực. Tuy nhiên, ông chủ yếu được biết

đến trên lĩnh vực toán học và được công nhận là một trong những

người sáng lập nên toán học hiện đại.

Mặc dù định nghĩa của Nicole Oresme về tuyến tính có thể

được hiểu như là một ví dụ đầu tiên về một phương trình hàm, nó

không đại diện cho một điểm khởi đầu cho lý thuyết về phương trình

hàm. Các chủ đề của phương trình hàm được đánh dấu một cách

chính xác hơn từ công việc của Augustin – Louis Cauchy. Một trong

những phương trình hàm nổi tiếng mà ta hay gọi là phương trình

Cauchy có dạng:

f x y f x f y ( ) ( ) ( ),      x y, .

(1.2)

Nghiệm của phương trình (1.2) có dạng:

f x ax   

.

Phương trình (1.2) cũng đã được Carl Friedrich Gauss (1777

– 1855) và Legendre nghiên cứu khi tìm ra định lí cơ bản của hình

học xạ ảnh và khi nghiên cứu phân phối Gauss về phân bố xác suất.

G. Darbour cũng đã nghiên cứu phương trình (1.2) và chỉ ra rằng chỉ

6

cần

f x 

hoặc liên tục tại một điểm, hoặc bị chặn trên (hoặc dưới)

trên một khoảng đủ nhỏ thì nghiệm của phương trình (1.2) vẫn là

f x kx   

.

Sau đó các nhà toán học còn đưa ra nhiều hạn chế nữa,

nhưng việc chỉ ra hàm số không liên tục và thỏa điều kiện (1.2) mãi

đến năm 1905 mới được thực hiện bởi nhà toán học người Đức

Georg Hamel (1877 – 1954) với việc đưa ra hệ cở sở Hamel của tập

số thực .

Thật bất ngờ là một trong những phương trình hàm cơ bản

lại có liên quan chặt chẽ đến nhị thức Newton.

Từ hàng thế kỷ trước Newton, các nhà toán học đã biết đến công

thức

1 2 2 1 1 (1 ) 1 ... n n n

n n n

n

x C x C x C x x         

(1.3)

đúng với mọi

n

và với mọi

x ,

trong đó các tổ hợp

x

được xác định từ tam giác Pascal và được tính theo công thức:

( 1)( 2)...( 1)

!

n n n n i i C

n i

   



(với

i

là số tự nhiên)

1.1.4.Jean d’Alembert (1717 – 1783)

Jean d'Alembert sinh năm 1717 ở Paris, ông là con ngoài giá

thú của một sĩ quan quân đội và một nhà văn. Ông được sinh ra khi

cha ông đang ở nước ngoài, vì sợ ảnh hưởng đến tiếng tăm của mình,

mẹ ông đã để ông trên bậc thang lối vào nhà thờ Saint – Jean –

leRond. Theo tục lệ, ông được đặt tên là Jean le Rond, sau đó nhà thờ

gởi ông vào trại trẻ mồ côi trông nom nhưng cũng sớm được nhận

nuôi bởi vợ của người thợ làm kính. Mặc dù, Destouches - cha ông

hỗ trợ tài chính và lo cho con trai của mình ăn học, ông đã không

công khai thừa nhận Jean d'Alembert là con trai mình. Năm 1738,