Mở rộng của giá trị tuyệt đối phi archimede trên một trường

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

_________________________

ĐẶNG THỊ THANH THẢO

MỞ RỘNG CỦA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHI

ARCHIMEDE TRÊN MỘT TRƯỜNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. MỴ VINH QUANG

Thành Phố Hồ Chí Minh - 2009

LỜI CẢM ƠN



Luận văn được thực hiên sau quá trình tích luỹ kiến thức ở lớp cao học

khóa 17 tại trường Đại Học Sư Phạm TPHCM.

Lời đầu tiên tôi xin tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc nhất đến

PGS.TS Mỵ vinh Quang, người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi

trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.

Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở trường Đại học Sư phạm TP. Hồ

Chí Minh và Trường Đại học Khoa Học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh đã tận

tình giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập.

Cuối cùng tôi xin cảm ơn các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên giúp

đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận

văn này.

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa .............................................................................................

Lời cảm ơn ...............................................................................................1

Mục lục ....................................................................................................2

LỜI NÓI ĐẦU........................................................................................3

Chương 1- KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1. Một số định nghĩa và tính chất của giá trị tuyệt đối trên trường ......5

1.2. Giá trị tuyệt đối phi Archimedean ....................................................9

1.3. Một số tính chất cơ bản của giá trị tuyệt đối phi Archimedean......14

Chương 2- MỞ RỘNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRÊN BAO ĐỦ VÀ BAO

ĐÓNG ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG

2.1. Mở rộng giá trị tuyệt đối phi Archimedean trên bao đủ................16

2.2. Mở rộng giá trị tuyệt đối phi Archimedean trên bao đóng đại số ..25

Chương 3 - NHÓM GIÁ TRỊ VÀ TRƯỜNG THẶNG DƯ

3.1. Nhóm giá trị....................................................................................39

3.2. Trường thặng dư .............................................................................45

3.3. Ví dụ................................................................................................53

KẾT LUẬN ..........................................................................................54

TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................55

LỜI NÓI ĐẦU

Như ta đã biết, theo định lý Ostrowski: “ Mọi giá trị tuyệt đối trên trường Q

hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường hoặc tương đương với

giá trị tuyệt đối p” . Nếu làm đầy đủ Q theo giá trị tuyệt đối thông thường ta

được trường R , lấy bao đóng đại số của R ta được trường C. Còn nếu làm đầy

đủ Q theo giá trị tuyệt đối phi Archimedean p ta được trường Qp , lấy bao

đóng đại số của Qp

rồi làm đầy đủ trường này ta được trường C

p .

Trong trường hợp tổng quát, thay Q bởi trường F bất kì cùng với giá trị

tuyệt đối phi Archimedean |.|. Lấy K là một mở rộng của F , liệu có tồn tại giá

một trị tuyệt đối phi Archimedean ||.|| trên K là mở rộng của |.| ? Và nếu tồn

tại thì có tồn tại duy nhất hay không? Giả sử đã có giá trị tuyệt đối mở rộng

đó rồi thì mối liên quan giữa nhóm giá trị và trường thặng dư của chúng như

thế nào? Đây là những vấn đề khá cơ bản để xây dựng các trường với các giá

trị tuyệt đối phi Archimedean. Luận văn gồm có 3 chương:

Chương 1: Các kiến thức cơ bản: trình bày định nghĩa giá trị tuyệt đối ,

giá trị tuyệt đối phi Archimedean, các điều kiện tương đương của giá trị tuyệt

đối, giá trị tuyệt đối phi Archimedean, một số tính chất cơ bản và đặc biệt là

hai ví dụ về giá trị tuyệt đối p-adic trên Q và giá trị tuyệt đối trên trường các

phân thức hữu tỉ K x .

Chương 2: Mở rộng giá trị tuyệt đối trên bao đủ và bao đóng đại số của

một trường: trình bày định lý xây dựng trường bao đủ của một trường, định lý

mở rộng giá trị tuyệt đối trên bao đóng đại số, tính duy nhất của các mở rộng

này,…

Chương 3: Nhóm giá trị và trường thặng dư: trình bày các khái niệm

nhóm giá trị, trường thặng dư, phân loại các giá trị tuyệt đối dựa vào nhóm

giá trị; so sánh nhóm giá trị, trường thặng dư của một trường với trường bao

đủ, trường bao đóng của nó,…

Vì thời gian và khả năng còn hạn chế nên luận văn có thể có những

thiếu sót, kính mong các thầy cô và các bạn đồng nghiệp vui lòng chỉ bảo và

lượng thứ.