Mô hình tính toán song song giải bài toán biên hỗn hợp mạnh dựa trên chia miền

Tạp chí Khoa học & Công nghệ - số 2(50)/năm 2009 Toán, Thống kê –KH tự nhiên –KH máy tính

1

MÔ HÌNH TÍNH TOÁN SONG SONG

GIẢI BÀI TOÁN BIÊN HỖN HỢP MẠNH DỰA TRÊN CHIA MIỀN

Vũ Vinh Quang – Trương Hà Hải – Cao Thị Anh Thư (Khoa Công nghệ thông tin – ĐH Thái Nguyên)

1. Phương pháp chia miền giải bài toán biên gián đoạn mạnh

Phương pháp chia miền đã được phát triển trong nhiều năm qua với mục đích chính là

đưa ra phương pháp giải các bài toán biên trong miền hình học phức tạp hoặc điều kiện biên

phức tạp bằng cách chuyển việc giải bài toán phức tạp về một số hữu hạn các bài toán đơn giản.

Với tư tưởng trên, nhiều tác giả đã nghiên cứu và đề xuất các phương pháp hiệu quả như:

Phương pháp hiệu chỉnh hàm (Saito-Fujita [1,2]), phương pháp hiệu chỉnh đạo hàm (DQuangA￾VVQuang [3,4,5,6,7]). Tuy nhiên, theo chúng tôi, trên thế giới chưa có công trình nào đưa ra kết

quả tìm nghiệm gần đúng của các bài toán biên với điều kiện biên rất phức tạp trên cơ sở chia

miền. Vì vậy, trong bài báo này, chúng tôi đề xuất các mô hình tính toán song song để giải các

bài toán trên.

Xét bài toán

, \ .

, ,

, ,

n

n

u x

x

n

u

u f x

(1)

Bài toán (1) được gọi là bài toán biên hỗn hợp mạnh vì trên biên

d n

gồm hai loại

điều kiện biên Dirichlet và Neumann. Xuất phát từ tư tưởng chia miền, để giải quyết bài toán

trên, ta chia miền

1 2

bởi biên phân chia (Hình 1), kí hiệu

1 u

là nghiệm trong miền

1

, u2

là nghiệm trong miền

2

. Khi đó để giải bài toán (1), điểm mấu chốt là cần xác định

được điều kiện trên biên phân chia . Sau đây ta xét cơ sở của hai phương pháp chia miền

1.1. Phương pháp hiệu chỉnh hàm (Được đề xuất bởi Saito –Fujita, 2001)

Kí hiệu

2

g u

, khi đó giá trị g được xác định bởi sơ đồ lặp sau đây:

Bước 1: Cho trước

( 0 )

g

xác định trên

2

L

, chẳng hạn

( 0 )

g

= 0.

Bước 2: Với

( k )

g

xác định trên (k = 0, 1, 2,…) tiến hành giải hai bài toán

, .

, ,

, \ ,

, ,

2

( )

2

( ) ( )

2

2

( )

2

2

( )

2

n

k

k k

d

k

k

x

n

u

u g x

u x

u f x

, \ ,

, ,

, ,

1

( )

1

2

( )

2

1

( )

1

1

( )

1

u x

x

n

u

n

u

u f x

k

k k

k

(2)

Bước 3: Hiệu chỉnh giá trị

( k 1 )

g

theo công thức

(1 ) , .

( )

1

( 1) ( )

g g u x

k k k

(3)

Trên cơ sở của lí thuyết các không gian hàm và toán tử Steklov-Poincare trong [1,2] các

tác giả Saito –Fujita đã chứng minh sơ đồ lặp trên là hội tụ.

1.2. Phương pháp hiệu chỉnh đạo hàm (Được đề xuất bởi Đ.Q.A – V.V. Quang, 2004)