Mô đun và vành đế - nội xạ.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRẦN THỊ HƯỜNG

MÔĐUN VÀ VÀNH ĐẾ - NỘI XẠ

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.0113

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trương Công Quỳnh

Đà Nẵng - Năm 2014

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trương Công Quỳnh

Phản biện 1: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Phản biện 2: GS. TS. Lê Văn Thuyết

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày

14 tháng 6 năm 2014.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng

1

LỜI MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Lý thuyết vành và môđun đóng một vai trò quan trọng trong

đại số kết hợp. Nhiều kiến thức cơ bản của lý thuyết vành và

môđun đã được nghiên cứu và có nhiều ứng dụng. Chúng ta đã

biết đến các kết quả cơ bản trên môđun nội xạ. Một số mở rộng

của nó được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên

cứu. Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu một trường hợp tổng

quát của nó, đó là lớp môđun đế - nội xạ. Một số áp dụng của vành

tựa - Frobenius và giả - Frobenius cũng đã được xét đến trong lớp

vành đế - nội xạ. Cùng với sự định hướng của TS Trương Công

Quỳnh, tôi đã chọn đề tài “MÔĐUN VÀ VÀNH ĐẾ - NỘI

XẠ” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình.

2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là tìm hiểu khái niệm, tính

chất, các định lý về môđun và vành đế - nội xạ cũng như các vành

liên quan. Qua đó làm rõ các nghiên cứu đã có, tìm hiểu sâu hơn

về môđun và vành đế - nội xạ, đế - nội xạ mạnh.

Thông qua việc nghiên cứu các tính chất, đặc trưng của môđun

và vành đế - nội xạ, làm rõ mối liên hệ của nó với một số lớp vành

và môđun khác.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng của đề tài là nghiên cứu khái niệm, các tính chất,

2

đặc trưng của môđun và vành đế - nội xạ, đế - nội xạ mạnh, mối

liên hệ của chúng với các lớp môđun và vành khác.

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là các vấn đề liên quan đến lớp

môđun, vành đế - nội xạ, đế - nội xạ mạnh và các áp dụng của

chúng.

4. Phương pháp nghiên cứu

- Đọc các tài liệu về môđun và vành đế - nội xạ, hệ thống kiến

thức.

- Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn, đồng nghiệp.

- Tiến hành xêmina với nhóm nghiên cứu của TS. Trương Công

Quỳnh.

5. Bố cục đề tài

Ngoài lời mở đầu và kết luận, luận văn được trình bày trong

3 chương:

Chương 1. Các kiến thức liên quan

1. Một số khái niệm cơ bản.

2. Một số kết quả đã biết.

Chương 2. Môđun đế - nội xạ

1. Môđun đế - nội xạ.

2. Môđun đế - nội xạ mạnh.

Chương 3. Vành đế - nội xạ và các lớp vành liên quan

1. Vành đế - nội xạ.

2. Vành đế - nội xạ mạnh.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

3

- Đề tài mang tính chất lý thuyết nên những kết quả của nó đóng

góp cho lĩnh vực lý thuyết vành và môđun.

- Làm tài liệu cho các nghiên cứu về sau.

4

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

1.1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.2. MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐÃ BIẾT

Định lý 1.2.16. Các điều kiện sau là tương đương đối với vành

R đã cho:

(1) R là vành QF.

(2) Mọi R - môđun phải (trái) nội xạ là xạ ảnh.

(3) Mọi R - môđun phải (trái) xạ ảnh là nội xạ.

(4) Mọi R - môđun phải (trái) có thể nhúng vào một môđun tự

do.

Định lý 1.2.17. Các điều kiện sau đây là tương đương cho một

vành R:

(1) R là một vành PF phải.

(2) R là một vành tự - nội xạ phải nửa hoàn chỉnh với đế phải

cốt yếu.

(3) R là một vành tự - nội xạ phải hữu hạn đối sinh phải.

5

(4) R là một vành tự - nội xạ phải Kasch phải.

Định lý 1.2.20. Cho σ : N −→ E(N) là một bao nội xạ của

môđun N. Nếu N ⊆ G, ở đây G là một môđun nội xạ bất kỳ, thì

tồn tại một bản sao E ∼= E(N) thỏa mãn N ≤ess E ⊆⊕ G.

Bổ đề 1.2.23. Các điều kiện sau đây là tương đương:

(1) rl(K) = K, với tất cả các iđêan phải nửa đơn K của R.

(2) r[l(K) ∩ Ra] = K + r(a), cho tất cả các iđêan phải nửa đơn

K của R và mọi a ∈ R.

Bổ đề 1.2.24. Các điều kiện sau đây là tương đương:

(1) R là vành nội xạ đơn phải.

(2) lr(k) = Rk, cho tất cả k ∈ R sao cho kR là một iđêan phải

cực tiểu của R.

(3) Nếu K =

Pn

i=1 kiR là một tổng của các iđêan phải cực tiểu

của R, thì lr(

Pn

i=1 Rki) = Pn

i=1 Rki.

Bổ đề 1.2.26. Cho R là một vành minfull phải. Khi đó:

(1) R là một vành Kasch phải và trái.

(2) Soc(eR) là thuần nhất cho mỗi lũy đẳng địa phương e ∈ R.

(3) Sre là một iđêan trái đơn cho mỗi lũy đẳng địa phương e ∈ R.

Ngoài ra, nếu e1, . . . , en là các lũy đẳng địa phương, trực

6

giao, cơ sở, thì tồn tại k1, . . . , kn trong R và một hoán vị

σ của {1, . . . , n} thỏa mãn điều kiện sau đây cho mỗi i =

1, . . . , n:

(4) kiR ⊆ eiR và Rki ⊆ Reσi.

(5) kiR ∼= eσiR/eσiJ và Rki

∼= Rei/Jei, ở đây J = J(R) là căn

Jacobson của R.

(6) Rki = Sreσi.

(7) {k1R, . . . , knR} và {Rk1, . . . , Rkn} lần lượt là các tập hợp

đầy đủ của các biểu diễn phân biệt của các R - môđun phải

và trái đơn.

(8) Các điều kiện sau đây là tương đương:

(a) Sr = Sl

.

(b) lr(K) = K cho mọi iđêan trái đơn K với K ⊆ Re cho

mọi lũy đẳng địa phương e ∈ R.

(c) Soc(Re) = Sre cho mọi lũy đẳng địa phương e ∈ R.

(d) Soc(Re) là đơn với e ∈ R là một lũy đẳng địa phương

nào đó.

7

CHƯƠNG 2

MÔĐUN ĐẾ - NỘI XẠ VÀ

ĐẾ - NỘI XẠ MẠNH

2.1. MÔĐUN ĐẾ - NỘI XẠ

Định nghĩa 2.1.1. Cho M, N là các R - môđun phải. M được

gọi là đế - N - nội xạ nếu bất kỳ R - đồng cấu f : Soc(N) −→ M

đều mở rộng tới N. Nghĩa là, tồn tại đồng cấu ¯f : N −→ M sao

cho ¯f|Soc(N) = f. Tương đương, cho bất kỳ môđun con nửa đơn

K của N, bất kỳ R - đồng cấu f : K −→ M đều mở rộng được

tới N.

Một môđun M được gọi là đế - tựa - nội xạ nếu M là đế - M

- nội xạ.

Một môđun M được gọi là đế - nội xạ, nếu M là đế - R - nội

xạ.

Ví dụ 2.1.2. (1) Mọi môđun nội xạ là đế - N - nội xạ, với N là

một R - môđun phải tùy ý.

(2) Mọi môđun tựa - nội xạ M là đế - tựa - nội xạ. Trong trường

hợp đặc biệt, mọi môđun nửa đơn là đế - tựa - nội xạ.

Định lý 2.1.3. (1) Cho N là một R - môđun phải và {Mi

: i ∈

I} là một họ các R - môđun phải. Khi đó tích trực tiếp