Mở đầu về lí thuyết xác suất và các ứng dụng : Giáo trình dùng cho các trường đại học và cao đẳng

ĐẶNG HÙNG THẮNG

MỞ ĐẦU

V Ể

Ll THUYẾT XÁC SUẤT VÀ CÁC ÚNG DỤNG

Giáo trình dùng cho các trường

Đại học và Cao đẳng

(Tái bản lần thứ bẩy)

TRƯƠNG ĐẠt HỌC GUY NHON

______ THU V I Ệ N ____

N/tslGr 1

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DUC VIÊT NAM

LÒI NÓI đ Xu

"Cần nhớ rằng mồn khoa học bất đàu từ việc xem

xét các trò chơi m ay rủi lại hứa hẹn trỏ thành dối

tượng quan trọng nhát của tri thức loài người. Phần

lớn những ván dầ quan trọng nhát của dời sống thực

ra chỉ là những bài toán của lí thuyết xác suất"

P.S.Laplaxơ (1812)

Trong hoạt động thực tiễn của m ình, con người bắt buộc phải

tiếp xúc với các biến cố ngẫu nhiên không th ể dự đoán trước

được. Một lỉnh vực của Toán học có tên là : "Lí thuyết Xác

suất" đã ra đời nhằm nghiên cứu các quy luật và các quy tắc

tính toán các hiện tượng ngẫu nhiên.

Ngày nay Lí thuyết Xác su ất (LTXS) đã trở thành m ột ngành

Toán học lớn, chiếm vị trí quan trọ n g cả về lí thuyết lẫn

ứng dụng. Một m ặt LTXS là m ột ngành Toán học c<5 tầm lí

thuyết ở trìn h độ cao, m ặt khác nổ được ứng dụng rộng rãi

trong nhiều ngành KHKT và cả KHXH và N hân vãn. Đặc biệt

LTXS gán liển với khoa học Thống kê, m ột khoa học về các

phương pháp thu thập, tổ chức và phân tích các dữ liệu, thông

tin định lượng.

ở rấ t nhiều nước trên th ế giới, LTXS và Thống kê đã được

đưa vào giảng dạy ngay từ bậc tru n g học và là môn cơ sở bắt

buộc đối với sinh viên của nhiều ngành học khác nhau ở bậc

đại học. Ở nước ta, trong chương trìn h cài cách, học sinh phổ

thông tru n g học đã được làm quen với LTXS.

3

Trong quyết định về đào tạo đại cương theo 7 nhóm n g àn h

của Bộ Giáo dục và Đào tạo, tấ t cả các nhóm ngành đêu cđ

chương trìn h Xác S uất - Thống Kê .với thời lượng ít n h ấ t là 4

đơn vị học trình. N hiều cán bộ đã ra công tác cđ nhu cẩu phải

tự học môn học này.

Cho đến nay các giáo trình, sách tham khảo về Xác su ấ t -

Thống kê ở nước ta còn rấ t ít. M ột số sách xu ất bản trước đây

khá lâu đã không còn phù hợp. Để đáp ứng nhu cầu về giảng

dạy, hbc tập và ứng dụng LTXS, chúng tôi biên soạn cuôn sách

này với hy vọng cuốn sách sẽ là m ột giáo trìn h cd ch ất lượng,

phục vụ cho m ột đối tượng đông đảo các bạn đọc bao gổm :

1) Các bạn sinh viên cao học, đại học và cao đẳng lần đâu

tiên làm quen với LTXS, m uốn được tran g bị những kiến thức

cơ bản n h ất của môn học.

2) Các cán bộ nghiên ồứu, các thầy giáo ở đại học và pho

thông và tấ t cả những ai m uốn tự học bộ môn này.

Trong khi biên soạn sách này, chúng tôi đã dựa trê n chương

trìn h chuẩn về môn LTXS cho 7 nhóm ngành của Đại học

Quốc gia H à Nội, cũng như chương trìn h chuẩn ở các trư ờ ng

đại học kinh tế, kỉ th u ậ t khác. C húng tôi cũng đã th am khảo

những sách và giáo trìn h mới n h ấ t về Xác su ấ t cua m ọt so

nước phát triển.

Phần lớn nội dung cuốn sách đã được chúng tôi thư nghiệm

giảng dạy nhiều lần cho sinh viên các khoa Toán, Tin, oa’

Địa, Sinh, Y.

Để giúp các bạn sinh viên không phải thuộc ng àn h Toán va

các bạn tự học dễ lĩnh hội, chúng tôi đã cố gắng lựa chọn cac

phương pháp trìn h bày th ậ t dễ hiểu. Các chứng m inh dài được

bỏ bớt, dành chỗ cho nhiéu thí dụ cụ th ể để giúp bạn đọc nám

vừng lí thuyết hơn, đổng thòi qua đổ bước dấu thấy được khả

I\àng ứng dụng rộng rãi của LTXS. N hững th í dụ này cũng đổng

vai trò như những bài toán chọn lọc để độc giả lấy làm m âu khi

giải các bài tập ỏ cuối chương. Cuốn sách có gấn 100 thi dụ.

Để học Toán Xác su ất có kết quả, sinh viên n h ất th iết phải

giải bài tập, giải được càng nhiéu càng tốt. T hành thử ở cuối

4

mỗi chương chúng tôi đưa vào khá nhiéu bài tập để độc giả

được thử thách rèn luyện và tự kiểm trạ. Đa số các bài tập ở

mức cơ bản, không phải là các bài quá kho'. Mỗi bài tập đểu

có đáp số và chỉ dẫn để giúp cho các bạn tự học. Cuốn sách

gốm cđ 5 chương và m ột phụ lục. Chương I, Chương II và

Chương III trìn h bày những kiến thức cơ bản, cốt lõi của LTXS

m à mọi chương trình cho các nhổm ngành đều đòi hỏi.

Để nắm đựợc các Chương I và II chỉ yêu cầu kiến thức về

Đại số ở tru n g học, còn đối với Chương III thì cẩn thêm m ột

chút kiến thức về Giải tích ở tru n g học và năm thứ n h ất bậc

đại học. Chương IV và Chương V được biên soạn phục vụ cho

các sinh viên thuộc nhổm ngành 1, 2 (Toán, Tin, V ật lí, Hổa,

Địa) và kinh tề, ở đo' sự chuẩn bị về Toán của họ đầy đủ hơn.

P hấn phu lục 1 nhằm giúp độc giả ôn tập lại các kiến thức cơ

bản về Giải tích tổ hợp phục vụ cho việc học các chương I, II.

Phụ lục 2 là các bàng phân bố nhị thức, Poatxông và chuẩn.

Trong quá trìn h biên soạn tác giả đã nhận được nhiều ý kiến

đổng góp của các đổng nghiệp trong Bộ môn Xác su ất Thống

kê khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Quốc gia H à Nội. Xin

chân th àn h cám ơn những đổng gổp đó. Tác giả xin bày tỏ

lời cảm ơn đặc biệt tới GS.TS. Nguyễn Duy Tiến, PGS.

Nguyễn Văn Hữu, PGS. Lý H oàng Tú, PTS. Trấn Phương D ung

PTS. Nguyễn Văn Thường và ông Nguyễn Khắc An, trong việc

thẩm định, tổ chức bản thảo và biên tập cuốn sách.

Mặc dù tác giả đã hết sức cố gắng, song cuốn sách vẫn có

th ể có những thiếu sót. Chúng tôi rấ t mong nhận được sự góp

ý phê bình của độc giả.

Chương I

BIẾN CỐ VÀ XẤC SUẤT CỦA BIẾN c ố

§1. PH ÉP THỬ NGẤU NHIÊN

VÀ KHÔNG GIAN MẤU

Trong thực tế ta thường gặp rấ t nhiều hành động m à các

kết quả của nó không th ể dự báo trước được. Ta gọi chúng là

các phép thừ ngẫu nhiên.

Phép thử ngẫu nhiên thường được kí hiệu bởi chữ £ . Các

kết quả của £ là ngẫu nhiên, không th ể xác định trước. Tuy

nhiên ta cd th ể liệt kê ra tấ t cả các kết quả cđ th ể của £ .

Tập hợp tấ t cả các kết quả cđ th ể của £ được gọi là không

gian m ẫu của £ và ta thường kí hiệu nđ bằng chữ Q. Chữ co

dùng để kí hiệu m ột phẩn tử của Q và ta gọi mỗi phần tử co

của Q là m ột biến cố sơ cáp.

Thí dụ 1

a) Phép thử £ là gieo một con xúc xắc và quan sát số nốt trên

m ặt xuất hiện của con xúc xắc. Tầ không thể biết trước được m ặt

nào của con xúc sắc sẽ xuất hiện. Không gian mẫu Q của £ là

Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

b) Phép thử £ là chọn ngẫu nhiên 500 thanh niên ở lứa tuổi

từ 18 đến 25 và đếm xem cđ bao nhiêu người cố thòi quen hút

thuốc lá. Con số này cđ thể là một số nguyên bất kỉ từ 0 đến

500. Vậy

Q = {0, 1, 2, ..., 500}.

7

§2. BIẾN CỐ VÀ MỐI QUAN HỆ GIỮA CHÚNG

Xét m ột phép thử 6 . Có rấ t nhiều câu hỏi liên quan tới kết

quả của ê . Ta hãy xét các biến cố (còn gọi là sự kiện) m à việc

xảy ra hay không xảy ra của chúng hoàn toàn được quyết định

bởi kết quả của £ .

Kết quả cư của ë được gọi là kết quả thuận lợi cho biến cố

A nếu A xảy ra khi kết quả của £ là cư.

T h í dụ 2

Phép thử £ là gieo một đổng tiền liên tiếp 3 lần. Đồng tiền

có th ể sấp (S) hoặc ngửa (N). Không gian mẫu Q của £ là

Q = {SNN, NSN, SSN, NNN, SNS, NSS, s ss , NNS}.

Gọi A là biến cố : "Cđ đúng hai lẩn đổng tiền ra m ặt ngửa".

Khi đđ các kết quả thuận lợi cho A là

{SNN, NSN, NNS}.

Nếu B là biến cố : "Số lẩn xuất hiện m ặt ngửa là m ột số

lẻ" thỉ các kết quả thuận lợi cho B là

{SNS, SSN, NSS, NNN}.

Như vậy m ột biến cố A được đồng n h ất với m ột tập con của

bao gồm tấ t cả các kết quả th u ận lợi cho A.

Biến cố không thề là biến cố không bao giờ xảy ra. Nó tương

ứng với tập con rỗng 0 của Q. Biến cố chắc chắn là biến cố

luôn luôn xảy ra. Nổ tương ứng với toàn bộ tập Q.

a) Q uan h ệ giứ a các b iến cố.

Kéo theo : Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B nếu khi

A xảy ra thỉ B cũng xảy ra. Nếu biểu diễn A và B bởi hai tập

con của Q thì A kéo theo B nghĩa là A c B.

Biến cố dối : Biến cố được gọi là biến cố dối củả A nếu nó

xảy ra khi và chỉ khi A không xày ra. Biến cố đối của A được

kí hiệu là A . Ta co'

à = Q \ A .

8

b) H ợp củ a c á c b iến cố

Hợp của hai biến cố A và B là biến cố xảy ra nếu ít n h ất

co' m ột tro n g hai biến cố A và B xảy ra. Ta kí hiệu hợp của

hai biến cố A và ß là A U B.

Tương tự ta có th ể định nghỉa hợp của nhiều biến cố. Nếu

A p A 2, A n là các biến cố thì hợp của chúng là biến cố xảy

ra nếu ít n h ất có m ột biến cố nào đđ tro n g các biến cố Aj, ..., A

xảy ra. Tầ kí hiệu hợp của Aj, A 2, ..., A n là

Aj u A2 ... u An .

c) G iao củ a cá c b iến cố

Giao của hai biến cố A và B lầ biến cố xảy ra nếu cả A và

B đều xảy ra. Tá kí hiệu giao của hai biến cố A và B là AB.

Giao của nhiểu biến cố A j , A2 , ... jAn là m ột biến cố xảy ra

nếu tấ t cả các biến cố Aj , A2 , ..., An đểu xảy ra. Kí hiệu giao

của A ị , A 2 , ..., An là A l A 2 ...An .

T hí dụ 3

Ba xạ th ủ A, B, c mỗi người bắn m ột viên đạn vào m ục

tiêu. Giả sử A, B và c là các biến cố sau :

A : "Xạ th ủ A bắn trúng" ;

B : "Xạ th ủ B bán trúng" ;

c : "Xạ thủ c bắn trúng"

i) H ãy mô tả các biến cố sau

A BC, A B C , A U B U c .

ii) Xét các biến cố sau

D : "Cổ ít n h ất hai xạ thủ bắn trúng" ;

E : "Cổ nhiểu n h ất m ột xạ thủ bắn trúng" ;

F : "Chỉ co' m ột xạ thủ bắn trúng" ;

G : "Chỉ cổ xạ thủ c bắn trúng".

Hãy biểu diễn các biến cố này theo các biến cố A, B và c.

Giải.

i) A B C là biến cố : "Cả ba xạ th ủ đểu bắn trúng"

A B c là biến cố : "Cả ba xạ thù đều bắn trượt"

A U B U c là biến cố : "Cđ ít n h ất m ột xạ thủ bắn trúng".

ii) D = A B U BC u CA.

E = A B U B C u C Ã

bởi vỉ có nhiều n h ất m ột xạ thủ bắn trú n g cđ nghỉa là cổ ít

n h ất hai xạ thủ bắn trượt.

F = A B C U Ã B C U Ã B C .

G = A B C .

Biến cố xu n g khấc : Hai biến cố A và B gọi là xu n g khắc

nếu A và B không đổng thời xảy ra.

Nối cách khác A và B xung khắc nếu AB = 0 .

§3. XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN c ố

Xác su ất của m ột biến cố là m ột số nằm giữa 0 và 1, số

này đo lường khả năng xuất hiện của biến cố đđ khi phép thử

được thực hiện. Kí hiệu xác su ất của biến cố A là P(A).

Có ba phương pháp gán xác su ất cho các biến cổ là : định

nghĩa xác su ất cổ điển, định nghĩa xác su ất dựa trên tẩn suất

và định nghĩa xác su ất theo tiên đé.

a) Đ ịn h n g h ĩa x á c s u ấ t cổ đ iể n . Giả thử phép thử ë có

m ột sổ hừu hạn các kết quả cố thể. Hơn nữa ta giả th iết ràng

các kết quà này có dòng khả năng xu ấ t hiện. Khi đố xác su ất

của biến cố A là tỉ số giữa số kết quả thuận lợi của A và số

kết quả có thể.

Như vậy trong trường hợp này ta có

ở đó \A\ kí hiệu số phấn tử của tập hợp A.

10

Như vậy tro n g trường hợp này việc tính xác su ất quy vé

việc đếm số kết quả cđ th ể và số kết quả thuận lợi. Để việc

"đếm" này thực hiện m ột cách chính xác, nhanh chóng, ta cẩn

m ột số kiến thức vể Giải tích Tổ hợp (xem Phụ lục).

Định nghĩa xác su ất cổ điển này dựa trên hai giả thiết quan

trọng :

i) Các két quả có th ể là hữu hạn ;

ii) Các két quả có thể là dòng kh ả năng.

Hai giả th iết này thường được thỏa m ãn khi chúng ta íừ:h

toán xác su ất tro n g các trò chơi m ay rủi, hoặc khi việc chọn

lựa là vô tư, không thiên vị.

T h í dụ 4

Gieo đổng thời ba con xúc sắc được chế tạo cân đối, đổng

chất. T ính xác su ất để tổng số nốt x u ất hiện của ba con là 9.

Giải : Mối kết quả của phép thử là m ột bộ ba (a, b, c) tro n g

đó a, b, c là các số nguyên dương từ 1 đến 6. Vậy

1 ^ a ^ 6

Q = (a, b, c) : 1 ^ b 6

1 3$ c ^ 6

|Q | = 6 X 6 X 6 = 63 = 216.

Các bộ ba (a, 6, c) có tổng bằng 9 là

(1, 2, 6) và 5 hoán vị của nó

(1, 3, 5) và 5 hoán vị cùa nố

(1, 4, 4) và 2 hoán vị của nổ

(2, 2, 5) và 2 hoán vị của nó

(2, 3, 4) và 5 hoán vị của nổ

(3, 3, 3)

Vậy số trư ờ ng hợp th u ận lợi là

\A\ = 6 + 6 + 3 + 6 + 3 + l = 25.

Vì các con xúc sắc cân đối, đổng chất nên cổ th ể cho ràng

các kết quà là đổng khả năng. Vậy

11

P(A) = ^ - °>1157

T hí dụ 5

Trước cổng trường đại học có ba quán cơm bình dân chất

lượng ngang nhau. Ba sinh viên A, B, c độc lập với nhau chọn

ngẫu nhiên một quán ăn để ăn trưa. Tính xác suất của các biến

cố sau :

a) 3 sinh viên vào cùng một quán ;

b) 2 sinh viên vào cùng một quán, còn người kia thì vào quán

khác.

Giải : Tá đánh số ba quán cơm là 1, 2, 3. Gọi a, 6, c là

quán cơm m à sinh viên A, B} c chọn.

Như vậy Q là tập hợp các bộ ba (a, b, c) với 1 ^ a ^ 3,

1 ^ ò ^ 3, 1 c 3.

Rõ ràng |Q | = 33 = 27. Ta cđ th ể coi rằng các kết quả là

đổng khả năng.

a) H iển nhiên cđ 3 trường hợp thuận lợi là (1, 1, 1), (2, 2, 2),

(3, 3, 3). Vậy :

p =

Xác suất cẩn tìm là

3 1

27 9

lợi là

vị của nó

vị của nđ

vị của nó

vị của nđ

vị của nđ

vị của nố.

= 18.

18 2

27 : 3

12

T h í dụ 6

Một công ti cẩn tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn,

trong đđ~cổ 4 nữ và 2 nam. Giả sử rằng khả nâng trúng tuyển

của 6 người là như nhau.

a) Tính xác suất để 2 người trú n g tuyển đều là nam.

b) Tính xác suất để cả hai người trú n g tuỷển đểu là nữ.

c) Tính xác su ất để cổ ít nhất m ột nữ trú n g tuyển.

Giải : Số trư ờ n g hợp cố th ể là c ị = 15 . Các trường hạp

này đổng khả năng.

a) Vì chỉ cổ 1 trư ờng hợp cả 2 nam trú n g tuyển nên xác

su ất là

b) Số cách chọn 2 nữ trú n g tu y ển tro n g số 4 nữ là

c? = 6. Vậy xác su ất cẩn tìm là

P = Ĩ 5 =

2

5'

c) Chỉ cđ 1 trư ờ ng hợp cả hai nam trú n g tuyển nên 14

trư ờ ng hợp còn lại đểu cổ ít n h ất m ột nữ trú n g tuyển. Vậy

p = i i

15

b) Đ ịn h n g h ĩa x á c su ấ t b ằ n g tẩ n su ấ t

Nếu số các kết quả có th ể là vô hạn hoặc hữu hạn nhưng

không đổng khả năng, cách tính xáu su át cổ điển như trên

không còn dùng được. Giả sử phép thử £ cố th ể được thực

hiện lặp lại rấ t nhiều lần trong những điều kiện giống hệt nhau.

Nếu tro n g n lần thực hiện phép thử £ , biến cố A xuất hiện

k(A)

k(A) lẩn thỉ tỉ số fn(A) = —— được gọi là tàn suất xu ấ t hiện

của biến C.Ố A tro n g n phép thử. Người ta nhận thấy ràn g khi

số phép thử n tăn g ra vô hạn thì tẩ n su ất f n(A) luôn dần tới

m ột giới hạn xác định.

13

Giới hạn đó được định nghĩa là xác suát của A

PCA) = lim fn(A).

n-* oc

Trên thực tế P(A) được tính xấp xỉ bởi tần su ất fn(A) với n

đủ lớn.

T hí dụ 7

Để xác định xác suất để một người đàn ông 25 tuổi sẽ bị chết

trong nãm sắp tới, người ta theo dõi 100000 thanh niên 25 tuổi

và thấy rằng có 138 người chết trong vòng 1 năm sau đó. Vậy

xác suất cẩn tìm xấp xỉ bằng

138

ĨỌMOÕ - ° ’0013a

T hí dụ 8

Các con số thống kê cho thấy tần suất sinh con trai xấp xỉ

0,513. Như vậy xác suất sinh con trai lớn hơn xác suất sinh con

gái. Việc giải thích sự kiện này là việc m à các nhà sinh học đang

muốn làm.

Định nghĩa xác suất bằng tấn suất chỉ áp dụng được cho các

phép thử ngẫu nhiên có th ể lặp lại nhiểu lẩn một cách độc lập

trong những điểu kiện giống hệt nhau. Ngoài ra để xác định một

cách tương đối chính xác giá trị của xác suất ta phải tiến hành

một số đù lớn các phép thử, m à việc này đôi khi không thể làm

được vì hạn chế về thời gian và kinh phí.

c) P h ư ơ n g p h áp tiên d ể tr o n g lí th u y ết x á c su ấ t

Bản chất của phương pháp tiên đề khi xây dựng m ột lí thuyết

toán học nào đó là không quan tâm tới việc định nghĩa các đối

tượng của lí thuyết đổ, mà chỉ quan tâm tới mối quan hệ giữa

các đối tượng đó. Các đối tượng đđ có th ể có bản chất khác

nhau, miễn là chúng cùng tuân theo m ột bộ các quy tắc xác

định, được gọi là hệ tiẽn dê. C hẳng hạn, trong bộ môn cờ tướng,

các quân cờ và bàn cờ là cái gì cũng được, cái quan trọng là

luật chơi. L uật chơi là "hệ tiên để" của bộ môn cờ tướng. Trong

14

việc xây dựng m ôn H ình học theo phương pháp tiên để cũng

vậy, các khái niệm điểm , đường th ẳn g và m ặt phẳng không

"được định nghĩa (chúng co' th ể là b ất cứ cái gỉ, là các bàn ghế

hay cốc bia !). Một hệ tiên đề hình học được nêu ra để định

rõ mối quan hệ giữa chúng như : Q ua hai điểm xác định

m ột đường thẳng, qua ba điểm xác định m ột m ặt phẳng, qua

m ột điểm vẽ được m ột đường th ản g song song với m ột đường

th ẳn g đã cho (tiên để Oclit). Các tiên đề cđ th ể được lựa chọn

bằng nhữ ng cách khác nhau và tương ứng với mõi hệ tiên â.n

là m ột thứ hình học : H ình học Oclit, H ình học Lôbasc; \

H ình học Riơm an.

Trong việc xây dựng lí thuyết Xác su ất bằng phương pháp

tiên để, người ta cũng không quan tâm tới việc định nghĩa th ế

nào là xác su ất của m ột biến cố, m à chỉ qu an tâm tới việc đưa

ra m ột hệ tiên đề m à định nghĩa xác su ất phải tu ân theo.

Sau đây là hệ tiên đề của lí th u y ết Xác su ất do nhà toán

học Nga lỗi lạc, Viện SI Kolmogorov, đưa ra năm 1933.

Giả sử £ là m ột phép thử ngẫu nhiên và Q là tập hợp các

kết quả của 6 . Mõi tập con của Q được gọi là m ột biến cố

(liên kết với £ ). Một họ 7 nào đổ các tập con của Q được gọi

là m ột G - đại số các biến cố nếu :

i) Q G J; 0 G ĩ!

ii) Nếu A G ? t h ì Q \ A G ?!

iii) Nếu A x , A 2 , ... là m ột dãy các tập hợp của họ 7 thì hợp

00

u An cũng thuộc 7.

n = 1

Xác định m ột quy lu ật xác su ất trên G - đại số 7 là gán

cho mỗi biến cố A e 7 m ột số P(A) gọi là xác su ấ t của A.

Phép gán đố phải thỏa m ãn các điều kiện sau

1) V A G ? , 0 ^ P(A) ^ 1

2) P(Q) = 1, P (0 ) - 0.

3) Nếu Aj , A2 ... là một dãy các biến cố thuộc 7 đôi m ột

xung khắc với nhau (Aị Aị = 0 nếu i ^ j ) thì

15

p ( U A„ ) = 2 P(A.)

n = 1 /1 = 1

Nổi cách khác xác suất p là m ột ánh xạ từ 7 vào [0,1] thỏa

m ãn 3 điều kiện nêu trên.

T hí dụ : Giả sử phép thử 6 gổm n kết quả cổ thể

Q = ịơJv cư2, cưn}

Tầ gán cho mỗi kết quả cư\ m ột số Pi ^ 0 sao cho

p 1 + P2 + ... + Pn = 1 . Gọi 7 là họ tấ t cả các tập con của Q.

Dễ thấy 7 là m ột ỡ - đại số. Nếu A là m ột tập con thì ta

định nghĩa

P(A) = 2 Pi

i (= ỉ

ở đđ tổng chạy trên các chỉ số i m à cưi G A. Dễ dàng kiểm

tra được ánh xạ p : A P(A) thỏa m ãn hệ tiên để Kolmogorov.

Đặc biệt nếu ta chọn P i = P2 = ... = Pn = — thì

\Aị

P(A) = --- , ở đó |A | là số phẩn tử của A. Đây chính là định

nghĩa xác suất cổ điển trong trường hợp các kết quả của & là

đống khả nâng.

T hí dụ

Già sử phép thử & gổm m ột số vô hạn đếm được các kết quà

Q — {cư p cư2 ...}

Tsl gán cho mỗi kết quả cưi m ột số p\ ^ 0 sao cho

00 l

T Pi = 1 (chẳng hạn lấy Pi = —7 ). Gọi 7 là họ tất^cả các tập .

i — ì 2

con của Q.

Dễ thấy 7 lập thành m ột õ - đại số. Nếu A là một tập con

của Q thỉ ta định nghĩa

P (^) = ỵ Pi

i G I

ở đó I là tập hợp các chỉ số i m à cưi G A . Dễ thấy tương ứng

A —* P(A) như trên xác định m ột xác suất.

16