lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD: TS. NGUYỄN VĂN HOA

SVTH: PHẠM THỊ MAI

TP. HỒ CHÍ MINH-THÁNG 5/2010

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa

SVTH: Phạm Thị Mai Trang 1

LỜI CẢM ƠN

Em xin cảm ơn giáo viên hướng dẫn, TS. Nguyễn Văn Hoa, đã định

hướng giúp em tiếp cận vấn đề nghiên cứu trong khóa luận này; động viên và

giúp đỡ em hoàn thành khóa luận.

Em xin cảm ơn PGS.TSKH Lê Văn Hoàng đã đóng góp nhiều ý kiến quý

báu cho khóa luận.

Em xin cảm ơn thầy Lữ Thành Trung đã giúp đỡ em rất nhiều về thuật

toán trong ngôn ngữ lập trình.

Em xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý đã tận tình dạy bảo em

trong suốt bốn năm đại học, để em có được những kiến thức như ngày hôm

nay.

Em xin cảm ơn các bạn lớp Lý khóa 32 và những người thân đã giúp đỡ em

trong suốt thời gian làm khóa luận.

Em xin cảm ơn ba mẹ luôn bên cạnh và tạo mọi điều kiện tốt nhất giúp em

hoàn tất khóa luận.

Sinh viên thực hiện

Phạm Thị Mai

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa

SVTH: Phạm Thị Mai Trang 2

Mục lục

MỞ ĐẦU .................................................................................................. 3

NỘI DUNG .................................................................................................. 7

Chương 1 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử Hydro.............. 7

1.1 Lời giải chính xác cho bài toán nguyên tử hidro........................................ 7

1.2 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hidro ................................. 12

1.3 Sử dụng phương pháp toán tử tính năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro

khi chưa có bổ chính..................................................................................... 16

1.4 Nhận xét ................................................................................................ 17

Chương 2 Sử dụng sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn tính các bổ chính năng

lượng cơ bản của nguyên tử Hydro ............................................................18

2.1 Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn ...................................................................... 18

2.2 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu

loạn bằng phương pháp toán tử..................................................................... 20

2.3 Nhận xét..................................................................................................25

Chương 3 Sử dụng sơ đồ vòng lặp tính các bổ chính năng lượng cơ bản

của nguyên tử Hydro...................................................................................26

3.1 Mục đích sử dụng sơ đồ vòng lặp ........................................................... 26

3.2 Thiết lập sơ đồ vòng lặp.......................................................................... 26

3.3 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro ứng với theo sơ đồ

vòng lặp ................................................................................................ 28

3.4 Nhận xét ................................................................................................ 30

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN .................................................... 31

TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................ 32

PHỤ LỤC.....................................................................................................34

Phụ lục 1 Các toán tử sinh – hủy một chiều .................................................. 34

Phụ lục 2 Dạng chuẩn (Normal) của một số biểu thức trong luận văn........... 37

Phụ lục 3 Toán tử thế năng ........................................................................... 40

Phụ lục 4 Tính các yếu tố ma trận của Hˆ

..................................................... 46

Phụ lục 5 Biểu thức của bổ chính bậc cao theo lí thuyết nhiễu loạn ............. 48

Phụ lục 6 Một số chương trình viết bằng ngôn ngữ lập trình Fortran ........... 52

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa

SVTH: Phạm Thị Mai Trang 3

MỞ ĐẦU

1) Tình hình nghiên cứu

Ngày nay, Vật lý thực nghiệm đã có những bước phát triển mạnh mẽ,

đòi hỏi phải có những tính toán lý thuyết chính xác. Trong khi đó, phương

pháp gần đúng chủ yếu sử dụng cho hệ vi mô là phương pháp nhiễu loạn

không sử dụng được cho bài toán không có nhiễu loạn.

Trước tình hình đó, việc tìm ra một phương pháp mới hiệu quả, có

phạm vi áp dụng rộng rãi rất được quan tâm trong những năm gần đây.

Và phương pháp toán tử với những tính toán thuần đại số, được xây dựng

cho nhóm các bài toán nguyên tử là một phương pháp đang được các nhà

Vật lý lý thuyết quan tâm nghiên cứu.

Ý tưởng về phương pháp toán tử xuất hiện vào những năm

1979. Tuy nhiên phương pháp toán tử (Operator Method) được đưa ra đầu

tiên vào năm 1982 do nhóm nghiên cứu của giáo sư Kamarov L. I. thuộc

trường đại học tổng hợp Belarus và được áp dụng thành công cho một

nhóm các bài toán trong vật lý chất rắn, vật lý nguyên tử, lý thuyết

trường,…

Qua việc nghiên cứu và khai thác trong nhiều bài toán cụ thể, phương

pháp toán tử đã tỏ ra là một phương pháp nổi trội hơn hẳn phương pháp

truyền thống như:

Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông

thường phải tính tích phân các hàm đặc biệt. Trong suốt quá trình tính

toán, ta sử dụng các phép biến đổi đại số và những chương trình tính toán

như Maple, Mathematica,…để tự động hóa quá trình tính toán.

Cho phép giải các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ bất

kỳ.

Với phương pháp toán tử, bước đầu đã giải quyết một phần những

khó khăn về phương pháp của Vật lý lý thuyết, góp phần vào sự phát triển

không ngừng của nền khoa học kỹ thuật toàn cầu.

2) Lí do chọn đề tài

Hiện nay, trong cơ học lượng tử, chỉ có một số ít bài toán mà chúng ta

có lời giải chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa

SVTH: Phạm Thị Mai Trang 4

dừng, đó là: bài toán hạt trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và

bài toán về nguyên tử hydro (chuyển động của hạt trong trường xuyên

tâm). Đây là các hệ đã lí tưởng hóa được gặp trong tự nhiên. Việc nghiên

cứu các hệ đơn giản, lí tưởng hóa cho ta hiểu được đầy đủ hơn các

phương pháp của cơ học lượng tử. Ngoài ra các kết quả thu được có một

tầm quan trọng đặc biệt, vì trong một sự gần đúng nào đó, chúng phản ánh

những tính chất của hệ thực tương ứng.

Trong đó bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán quan trọng của

vật lý lượng tử. Mặc dù là một bài toán có lời giải chính xác nhưng bài toán

về nguyên tử hydro là một bài toán khá phức tạp. Để giải được bài toán này,

ban đầu phải xây dựng một hệ thống kiến thức về toán tử momen xung

lượng trong hệ tọa độ cầu; xét các tính chất, trị riêng và hàm riêng của toán tử

momen xung lượng; phương trình bán kính; sự lượng tử hóa không gian, sự

phân bố electron và tính chẵn lẻ của các hàm cầu…

Bằng cách biểu diễn tất cả các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lí

qua các toán tử sinh hủy có chứa thông số biến phân, phương pháp toán tử đã

cho kết quả bước đầu đáng tin cậy và có thể đưa ra lời giải cho bất kì giá trị

nào của trường ngoài, nếu kết hợp với phương pháp nhiễu loạn.

Tính năng lượng của nguyên tử hydro bằng phương pháp toán tử kết hợp

áp dụng sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn dẫn đến kết luận: chuỗi các bậc bổ chính là

hội tụ. Nếu muốn tăng độ chính xác của năng lượng, chúng ta có thể điều

chỉnh thông số biến phân trong các toán tử sinh hủy hoặc thêm các bổ chính

bậc cao hơn cho đến khi đạt kết quả chính xác. Tuy nhiên, tốc độ hội tụ chậm

vì các bổ chính bậc càng cao thì càng giảm nhanh.

Xuất phát từ nhu cầu muốn tìm ra một phương pháp để thu được năng

lượng hội tụ về giá trị chính xác nhanh hơn bằng tính số trên máy tính, mà

không cần phải tính đến các bổ chính bậc cao cũng như sự điều chỉnh thông số

biến phân. Chúng tôi đi tới ý tưởng xây dựng một sơ đồ vòng lặp, mà cứ sau

mỗi vòng lặp thu được một giá trị năng lượng gần đúng, lại tiếp tục cho lặp lại,

để được một giá trị gần đúng hơn nữa. Quá trình lặp cứ tiếp, cho tới khi giá tri

sau khác giá trị ngay trước đó trong khoảng sai khác mong muốn thì dừng lại.

Kết quả cuối cùng thu được hội tụ về một giá trị, chính là giá trị năng lượng

cần tìm.