Lý thuyết hình lăng trụ đứng, hình chóp đều hay, chi tiết 1

Bài 8. Diện tích xung quanh của hình chóp đều

A. Lý thuyết.

1. Công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp đều

- Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung

đoạn:

Sxq = p.d (trong đó p: nửa chu vi đáy, d: trung đoạn)

- Diện tích toàn phần của hình chóp

Diện tích toàn phần của hình chóp bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích

đáy:

Stp = Sxq + S (trong đó S: diện tích đáy)

- Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh

đáy là 3cm, chiều cao 5cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp.

b) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.

Lời giải:

a) Ta có ABCD là hình vuông, khi đó nửa chu vi bằng:

( )

AB BC CD DA 3 3 3 3

p 6 cm

2 2

+ + + + + +

= = = .

Kẻ SM vuông góc với CD.

Do tam giác SCD cân tại S nên SM cũng là đường trung tuyến

Suy ra M là trung điểm của CD.

Xét tam giác ACD, có:

O là trung điểm của AC

M là trung điểm của CD

Suy ra OM là đường trung bình của tam giác ACD

1 1 3

OM AD .3

2 2 2

Xét tam giác SOM vuông tại O, có:

2

2 2 2 2 3 109

SM SO OM 5

2 4

109

SM cm

2

Diện tích xung quanh của hình chóp đều là:

2

xq

109

S p.d p.SM 6. 3 109 cm

2

.

b) Diện tích đáy là: S = 3

2 = 9 cm2

+ Diện tích toàn phần của hình chóp đều là

2

Stp Sxq SABCD

3 109 9 cm

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều có các mặt bên là tam giác đều cạnh 6cm. Tính

diện tích toàn phần của hình chóp?

Lời giải:

Do mặt bên của hình chóp là tam giác đều cạnh 6cm nên đáy là hình vuông cạnh

6cm.

Nửa chu vi đáy là

6 6 6 6

p 12cm

2

+ + +

= =

Các mặt bên là tam giác đều cạnh 6cm nên độ dài trung đoạn là

6. 3

d SH 3 3cm

2

= = =

Diện tích xung quanh là

2

Sxq = p.d =12.3 3 = 36 3cm

Diện tích đáy là: 6

2 = 36cm2

Diện tích toàn phần là:

2

Stp = 36 3 + 36 cm

Bài 2. Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh bên là 5cm và đáy là

hình vuông cạnh 8cm.Tính diện tích xung quanh của hình chóp?

Lời giải :

Nửa chu vi đáy là;

8 8 8 8

p 16cm

2

+ + +

= =

Gọi H là trung điểm của CD, suy ra: CH = DH = 4cm

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông SHC có:

SH2 = SC

2 – CH2 = 5

2 – 4

2 = 9 nên SH = 3cm

Diện tích xung quanh của hình chóp là;

Sxq= p. SH = 16. 3 = 48 cm2

Bài 3. Một hình chóp đều có độ dài cạnh bên là 13cm, đáy là tam giác đều ABC.

Biết độ dài trung đoạn bằng 12 cm . Tính diện tích xung quanh của hình chóp.

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC.

Theo giả thiết ta có: SM = 12 cm; SC = 13cm

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông SMC có:

MC

2 = SC

2 – SM2 = 13

2 – 12

2 = 25

Suy ra: MC = 5cm.

Vì M là trung điểm BC nên BC = 2MC = 10cm.

Vì đáy là tam giác đều nên AB = BC= CA = 10cm

Nửa chu vi đáy là

AB BC CA

p 15cm

2

+ +

= =

Diện tích xung quanh là: Sxq = p.d = 15. 12 = 180cm2

.

Bài 5. Diện tích xung quanh của hình lăng trụ

A. Lý thuyết

1. Công thức tính diện tích xung quanh

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng chu vi đáy nhân với chiều cao:

Sxq = 2p.h (p: nửa chu vi đáy, h: chiều cao)

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bằng tổng diện tích xung quanh và diện

tích hai đáy.

Stp = Sxq + S2day

Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ đứng có đáy là lục giác đều cạnh 6cm, chiều cao lăng trụ là

4cm. Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ?

Lời giải:

Do đáy của hình lăng trụ là lục giác đều cạnh 6cm nên chu vi đáy là:

P = 6. 6 = 36cm

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là;

Sxq = P. h = 36.4 = 144 cm2

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.MNPQ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =

6cm; BC = 4cm, chiều cao h = 3cm. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần

của hình lăng trụ đứng là?

Lời giải:

Ta có nửa chu vi của đáy là: p = AB + BC = 6 + 4 = 10 cm

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng là:

Sxq = 2ph = 2. 10.3 = 60cm2

Diện tích 1 đáy là: S = AB. BC =6.4 = 24 cm2

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng là:

Stp = 60+ 2.24 = 108 cm2