Lý thuyết đa thức một biến và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HỒ THỊ KIỀU TRANG

LÝ THUYẾT ĐA THỨC MỘT BIẾN

VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2021

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HỒ THỊ KIỀU TRANG

LÝ THUYẾT ĐA THỨC MỘT BIẾN VÀ

ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn

TS. LÊ VĂN DŨNG

Đà Nẵng - 2021

TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ

Tên đề tài: LÝ THUYẾT ĐA THỨC MỘT BIẾN VÀ ỨNG DỤNG

Ngành: Phương pháp toán sơ cấp.

Họ và tên học viên: Hồ Thị Kiều Trang.

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Văn Dũng.

Cơ sở đào tạo: Đại học Đà Nẵng

Trường Đại học sư phạm.

1/ Những kết quả chính của luận văn.

Đa thức có vị trí rất quan trọng trong Toán học, nó không những là một đối tượng nghiên cứu trọng

tâm của đại số mà còn là công cụ đắc lực của giải tích, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết nội suy và lý thuyết tối

ưu… Bên cạnh đó lý thuyết đa thức còn phục vụ cho chương trình toán phổ thông, toán cao cấp, toán ứng

dụng.

Trong chương trình toán học phổ thông, đa thức được học từ lớp 7, 8, bổ sung dần dần đến lớp 12

và hoàn chỉnh ở bậc Đại học. Đa thức có vị trí quan trọng của kiến thức Toán nói chung, của chương trình

phổ thông, với các lớp chuyên Toán và đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi. Trong các kì thi tuyển chọn

học sinh giỏi, vô địch Quốc gia, Quốc tế và Olimpic sinh viên, bài toán đa thức thường có mặt ở mức độ

khó. Toán đa thức rất phong phú, đa dạng vì vậy luận văn sẽ tập trung vào mảng kiến thức đa thức một

biến. Luận văn đã hệ thống những khái niệm, định nghĩa, chứng minh các định lí cơ bản, các dạng toán

của phần đa thức một biến để người đọc có cái nhìn tổng quan về đa thức một biến.

Bên cạnh đó, đa thức một biến là một trong những nội dung có nhiều ứng dụng. Ứng dụng xác định

đa thức, chứng minh một số bài toán chia hết, giải toán phương trình bậc hai, tìm giá trị của biểu thức đối

xứng đối với các nghiệm của đa thức,… Những ứng dụng này rất thiết thực và được sử dụng rộng rãi

trong bộ môn Toán trung học phổ thông – trung học cơ sở. Với vai trò là một giáo viên dạy bộ môn Toán

ở phổ thông, tôi luôn muốn nghiên cứu và tìm kiếm những điều bổ ích để vận dụng vào thực tế giảng dạy

nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy và mở rộng, khắc sâu kiến thức về đa thức một biến cho học sinh.

Chính vì những ứng dụng quan trọng và phong phú của đa thức một biến cùng với sự hướng dẫn của thầy

giáo TS. Lê Văn Dũng tôi đã chọn đề tài : “LÝ THUYẾT ĐA THỨC MỘT BIẾN VÀ ỨNG DỤNG” cho

luận văn thạc sĩ của mình.

Mục đích nghiên cứu của đề tài là tạo ra một tài liệu đầy đủ về lý thuyết cũng như ứng dụng của đa

thức một biến để giúp cho việc giảng dạy bộ môn Toán đạt chất lượng tốt hơn.

Phương pháp nghiên cứu của đề tài là thu thập, tìm hiểu các tài liệu liên quan đến đa thức một biến.

Phân tích, hệ thống các tài liệu để từ đó tổng hợp, chọn lọc những nội dung cần thiết đưa vào luận văn.

Quan sát, điều tra, tìm hiểu việc dạy và học nội dung đa thức một biến ở trường phổ thông. Phương pháp

tổng kết kinh nghiệm: Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn và của các đồng nghiệp.

Cấu trúc của luận văn bao gồm: Mở đầu, nội dung chính, kết luận và tài liệu tham khảo. Nội dung

chính của luận văn gồm có hai chương:

Chương 1: Kiến thức cơ sở.

Trình bày các kiến thức cơ bản như các định nghĩa, định lý, mệnh đề, bổ đề, ví dụ và các tính chất

cơ bản của đa thức một biến nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu chương 2.

Chương 2: Ứng dụng của đa thức một biến trong các bài toán sơ cấp.

2/ Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn.

Đề tài “LÝ THUYẾT ĐA THỨC MỘT BIẾN VÀ ỨNG DỤNG” có thể sử dụng như một tài liệu

tham khảo giành cho học sinh trung học phổ thông – trung học cơ sở, học sinh giỏi toán, giáo viên trung

học phổ thông – trung học cơ sở và sinh viên tìm hiểu về nội dung này.

3/ Hướng nghiên cứu tiếp theo của đề tài.

Trong thời gian tới, tôi mong muốn tiếp tục nghiên cứu và đi sâu tìm hiểu nhiều hơn nữa ứng dụng

của đa thức một biến trong các bài toán thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia và khai thác sáng tạo các

bài toán dạng này làm tài liệu giảng dạy cho bản thân, đề tài cũng được kỳ vọng là cở sở để xây dựng các

chuyên đề dạy học theo định hướng hình thành và phát triển phẩm chất, năng lực của chương trình giáo

dục phổ thông mới 2018.

Từ khóa: vành đa thức, nghiệm của đa thức, đa thức bất khả quy, các bài toán sơ cấp cơ bản, ứng dụng đa

thức một biến trong các bài toán sơ cấp.

Xác nhận của giáo viên hướng dẫn

TS. Lê Văn Dũng

Người thực hiện đề tài

Hồ Thị Kiều Trang

INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS

Name of thesis: Monotony of functions and application

Major: Primary Math Method.

Full name of Master Student: Ho Thi Kieu Trang.

Supervisor: Le Van Dung Ph.D.

Training institution: Da Nang University

The University of Pedagogy.

1 / The main results of the thesis.

Polynomials have a very important position in Mathematics, it is not only a central research object

of algebra but also an effective tool of analysis, approximation theory, interpolation theory and

maximization theory. ... Besides, polynomial theory also serves for high school, advanced math, and

applied math programs.

In the high school math program, polynomials are learned from grade 7, 8, gradually added to grade

12 and completed at university level. Polynomials have an important position in math knowledge in

general, in high school programs, with specialized math classes and especially in fostering good students.

In contests to select excellent students, National, International and Student Olympiads, polynomial

problems are often present at a difficult level. Polynomial math is very rich and diverse, so the thesis will

focus on the one-variable polynomial knowledge array. The thesis has systematized the concepts,

definitions, proofs of basic theorems, mathematical forms of one-variable polynomials so that readers

have an overview of one-variable polynomials.

Besides, one-variable polynomials are one of those contents that have many applications.

Applications determine polynomials, prove some divisibility problems, solve quadratic equations, find the

value of symmetric expressions for the solutions of polynomials, etc. These applications are very practical

and used. widely used in high school - junior high school math. As a math teacher in high school, I always

want to research and find useful things to apply in teaching practice to improve teaching quality and

expand and deepen my knowledge. on one-variable polynomials for students. Because of the important

and rich applications of one-variable polynomials with the guidance of the teacher Dr. Le Van Dung, I

have chosen the topic: "ONE-Variable Polynomial Theory and Application" for my master's thesis.

The purpose of the study is to create a complete document on the theory as well as the application

of one-variable polynomials to help the teaching of Mathematics achieve better quality.

The research method of the topic is to collect and study documents related to one-variable

polynomials. Analyze and systemize documents to synthesize and select the necessary content to include

in the thesis. Observing, investigating, investigating the teaching and learning of one-variable polynomial

content in high schools. Method of summarizing experience: Exchange, discuss, consult with instructors

and colleagues.

The structure of the thesis includes: Introduction, main body, conclusion and references. The main

body of the thesis consists of two chapters:

Chapter 1: Basic knowledge.

Presenting basic knowledge such as definitions, theorems, propositions, lemmas, examples and

basic properties of one-variable polynomials to serve the study of Chapter 2.

Chapter 2: Applications of one-variable polynomials in elementary problems.

2 / The scientific and practical significance of the thesis.

The topic "ONE-Variable Polynomial Theory and Applications" can be used as a reference for high

school students - junior high school students, good math students, high school teachers - middle school

teachers. elementary school and students learn about this content.

3 / Further research directions of the thesis

In the coming time, I want to continue researching and delving deeper into the application of one￾variable polynomials in provincial and national exams for excellent students, and creatively exploiting

problems of the form of a polynomial. This is a teaching material for themselves, the topic is also

expected to be the basis for building teaching topics in the direction of forming and developing the quality

and capacity of the new general education program in 2018.

Keywords: polynomial rings, polynomial solutions, irreducible polynomials, elementary elementary

problems, one-variable polynomial application in elementary problems.

Certified by the supervisor

Dr. Le Van Dung

Master Student

Ho Thi Kieu Trang

1

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn

sâu sắc tới Giảng viên - TS. Lê Văn Dũng, người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp

đỡ, chỉ bảo tận tình, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn

này.

Tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư

phạm - Đại học Đà Nẵng, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán, cùng quý

thầy cô giáo giảng dạy lớp Phương pháp Toán Sơ cấp - K39 đã dày công giảng

dạy, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu trong

suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè đã quan tâm giúp đỡ, động

viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Đà Nẵng, tháng 08 năm 2021

Người viết luận văn

Hồ Thị Kiều Trang

2

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết

quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất

kì công trình nào khác.

Tác giả

Hồ Thị Kiều Trang

3

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN 3

LỜI CẢM ƠN 4

MỞ ĐẦU 5

Chương 1. Kiến thức cơ sở 7

1.1 Vành đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Bậc của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Phép chia với dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 Thuật toán chia với dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Ước chung lớn nhất của các đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Nghiệm của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6 Các công thức nghiệm cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.7 Đa thức bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.7.1 Khái niệm đa thức bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.7.2 Tính khả quy của đa thức trên Q . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.8 Đa thức hệ số thực và phức, đồng dư thức, đồng nhất thức Newton 40

Chương 2. Ứng dụng đa thức một biến trong các bài toán sơ cấp 42

2.1 Các bài toán sơ cấp cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2 Ứng dụng xác định đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2.1 Cơ sở lý luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2.3 Các bài tập minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.3 Ứng dụng chứng minh một số bài toán chia hết . . . . . . . . . . . 57

2.3.1 Cơ sở lý luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3.3 Các bài tập minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.4 Ứng dụng giải bài toán liên quan đến phương trình bậc hai . . . . 59

2.5 Ứng dụng giải phương trình căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 60