Luyện thi cấp tốc môn Toán

www.VNMATH.com

Sách có tất cả 10 chủ đề ,

dưới đây là chủ đề 01

CHUÛ ÑEÀ 1

KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ

1.1. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT.

VAÁN ÑEÀ 1

TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ

1. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

• Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f ' x 0 ( ) ≥ với

mọi x I ∈ ;

• Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f ' x 0 ( ) ≤ với

mọi x I ∈ .

2. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn,

f là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm tại mọi điểm trong

của I (tức là điểm thuộc I nhưng không phải đầu mút của I).

Khi đó:

• Nếu f ' x 0 ( ) > với mọi x I ∈ thì hàm số f đồng biến trên

khoảng I;

• Nếu f ' x 0 ( ) < với mọi x I ∈ thì hàm số f nghịch biến trên

khoảng I;

• Nếu f ' x 0 ( ) = với mọi x I ∈ thì hàm số f không đổi trên

khoảng I.

Ví dụ 1 : Xét sự biến thiên của hàm số : 3

y x = −1

www.VNMATH.com

Giải:

Hàm số đã cho xác định trên nửa khoảng (−∞;1





.

Ta có:

2

3

3x y'

2 1 x

= −

−

y' 0 = khi x 0 = và y' 0 < khi ∀ ∈ −∞ x ;1 ( ) và x 0 ≠ .

Do đó hàm số nghịch biến trên nửa khoảng (−∞;1





.

Chú ý: y' 0 = tại x 0 = thì hàm số không đổi trên nửa

khoảng (−∞;1





.

Ví dụ 2 : Xét sự biến thiên của hàm số : 2

y x x = − − 2 3

Giải:

2

2

2

x 2x 3 khi x 1 x 3

y x 2x 3

x 2x 3 khi 1 x 3



 − − ≤ − ∨ ≥

= − − = 





− + + − < < 

Hàm số đã cho xác định trên
.

Ta có: 2x 2 khi x 1 x 3

y'

2x 2 khi 1 x 3



 − < − ∨ >

= 

− + − < < 

Hàm số không có đạo hàm tại x 1 = − và x 3 = .

+ Trên khoảng (−1;3) : y' 0 x 1 = ⇔ = ;

+ Trên khoảng (−∞ −; 1): y' 0 < ;

+ Trên khoảng (3;+∞): y' 0 > .

Bảng biến thiên:

x −∞ −1 1 3 +∞

y' − || + 0 − || +

y

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng(−1;1) và (3;+∞), nghịch

biến trên mỗi khoảng (−∞ −; 1) và (1;3).

www.VNMATH.com

Chú ý:

( )2 ( )( )

2

2 2

2

2 x 1 x 2x 3

y x 2x 3 x 2x 3 y'

x 2x 3

− − −

= − − = − − ⇒ =

− −

Khi tính đạo hàm của hàm số có dạng y f x = ( ) , ta chuyển trị

tuyệt đối vào trong căn thức = ( ) 2

y f x , khi đó tại những

điểm mà f x 0 ( ) = thì hàm số không có đạo hàm.

Ví dụ 3 : Chứng minh rằng hàm số : y x x = − + cos2 2 3

nghịch biến trên
.

Giải:

Hàm số đã cho xác định trên
.

Ta có: y' 2sin2x 2 2 1 sin2x 0, x = − − = − + ≤ ∀ ∈ ( )
và y' 0 =

khi π

x k , k = − + π ∈

4

. Vì y' 0 = tại vô hạn điểm nên chưa thể

kết luận hàm số nghịch biến trên
.

Với ∀ ∈
1 2 x ,x và < 1 2 x x , khi đó luôn tồn tại khoảng (a;b)

chứa 1 2 x ,x . Do y' 0 = tại hữu hạn điểm trên khoảng (a;b) nên

hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) khi đó ( ) > ⇒ ( ) 1 2 y x y x

hàm số nghịch biến trên
.

Chú ý: Khi xét tính đơn điệu của hàm số chứa hàm lượng giác

ta để ý đạo hàm của hàm số có thể triệt tiêu tại vô hạn điểm,

do đó ta chuyển về xét tính đơn điệu trên một khoảng chứa

hữu hạn điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu.

Ví dụ 4 : Tìm tham số m ∈
để hàm số : −1

=

−

mx

y

x m

nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

Giải:

Hàm số đã cho xác định trên khoảng (−∞ ∪ +∞ ;m m; ) ( ).

www.VNMATH.com

Ta có:

( )

2

2

1 m y'

x m

−

=

−

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi

y' 0, ≤ ∀ ∈ −∞ ∪ +∞ x ;m m; ( ) ( ) và dấu đẳng thức xảy ra tại một

số hữu hạn điểm 2 2 ⇔ − < ⇔ > ⇒ > 1 m 0 m 1 m 1 .

Vậy m 1 > và m ∈
thỏa mãn bài toán.

Ví dụ 5 : Giải phương trình : ( )

3

x x = − + 1 1.

Giải:

Điều kiện: x 0 ≥ .

Xét hàm số ( )3

y x 1 x 1 = − − − xác định trên nửa khoảng

)  +∞ 

0; .

Ta có: ( ) 1 2

y' 3 1 x 0, x 0 y

2 x

= + − > ∀ > ⇒ đồng biến trên

nửa khoảng )  +∞ 

0; . Do đó, nếu phương trình y 0 = có nghiệm

thì nghiệm đó là duy nhất.

Dễ thấy y 1 0 x 1 ( ) = ⇒ = là nghiệm duy nhất của phương

trình đã cho.

Ví dụ 6 : Tìm m ∈
để phương trình:

( )( )

5 2

x x m x x − + − − − = 34 4 1 33 1 có nghiệm.

Giải:

1. Đặt ( )( )

5 2

4 u x 34x m, v x 1 x 33 = − + = − − ; v 0 ≥

Ta có hệ: ( )

4

5

u v 1 v u 1 0

u u 1 m 33



 − = ⇒ = − ≥







 − − = − 

Xét hàm số ( ) ( )

4

5

f u u u 1 = − − với u 1 ≥ .

www.VNMATH.com

Ta có: ( ) ( ) ( )

3

4

f ' u 5u 4 u 1 0, u 1 f u = − − > ∀ > ⇒ tăng trên nửa

khoảng 1; )



 +∞ 

và ( )

x

f 1 1; lim

→+∞

= = +∞ .

Lập bảng biến thiên, suy ra f u 1 m 33 1 m 34 ( ) ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ .

Hoạt động : Tìm m ∈
để phương trình:

2

3 1 2 1

2 1

x

x mx

x

− = − +

−

có nghiệm.

Ví dụ 7 : Tìm m ∈
để hệ phương trình:

( )

( )

0 1

2 2

x y m

y xy



 − + = 





 + = 

có nghiệm.

Giải:

Vì y 0 = không là nghiệm của hệ.

Với y 0 ≠ phương trình (2) ⇔ = − xy 2 y ( )2

y 2

y 2

x

y

≤

⇔ −

=



















Khi đó phương trình (1) viết lại ( ) y 1 m 4. 3

y

−

= . Đặt

( ) y 1 f y

y

−

= với y 2 ≤ . Để hệ có nghiệm khi phương trình (3) có

nghiệm với mọi y 2 ≤ .

Ta có: ( )

2

1

f ' y 0

y

= > với mọi y 2 < và y 0 ≠ . Khi đó f y( )

đồng biến trên khoảng (−∞;0) và nửa đoạn (0;2





Và ( ) ( ) ( )

y y 0 y 0

lim f y 1; lim f y ; lim f y

→∞ → − → +

= = +∞ = −∞

Lập bảng biến thiên, ta suy ra f y( ) > 1 hoặc f y( ) 1

2

≤ . Khi đó

m 4 > hoặc m ≤ 2.

www.VNMATH.com

Hoạt động : Tìm m ∈
để hệ phương trình :

( )

2

1

3 1 0

x xy

x y m



 + = 





 + + − = 

có 3 cặp nghiệm thực.

Đáp số : 15 4

4

− ≤ ≤ − m hoặc 20 12

3

≤ ≤ m .

VAÁN ÑEÀ 2

CÖÏC TRÒ HAØM SOÁ

1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:

Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm 0

x . Khi đó,

nếu f có đạo hàm tại điểm 0

x thì f ' x 0 ( 0 ) =

2. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:

Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa

điểm 0

x và có đạo hàm trên các khoảng (a;x0 ) và (x ;b 0 ). Khi

đó:

a) Nếu ( ) ( )

( ) ( )

0 0

0 0

f ' x 0, x a;x

f ' x 0, x x ;b



 < ∈ 





 > ∈ 

thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0

x .

Nói một cách khác, nếu f ' x( ) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm

0

x thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0

x .

x a 0

x b

f ' x( ) − 0 +

f x( )

f a( ) f b( )

f x( 0 )

b) Nếu ( ) ( )

( ) ( )

0 0

0 0

f ' x 0, x a;x

f ' x 0, x x ;b



 > ∈ 





 < ∈ 

thì hàm số đạt cực đại tại điểm 0

x .

Nói một cách khác, nếu f ' x( ) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm

0

x

www.VNMATH.com

thì hàm số đạt cực đại tại điểm 0

x .

x a 0

x b

f ' x( ) + 0 −

f x( )

f x( 0 )

f a( ) f b( )

Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng

(a;b) chứa điểm 0

x , f ' x 0 ( 0 ) = và f có đạo hàm cấp hai khác

0 tại điểm 0

x .

a) Nếu f '' x 0 ( 0 ) < thì hàm số f đạt cực đại tại điểm 0

x .

b) Nếu f '' x 0 ( 0 ) > thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm 0

x .

Ví dụ 1 : Tìm cực trị của hàm số : y x x = − ( 3 .)

Giải:

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên
.

( )

( )

x x 3 khi x 0

y

x x 3 khi x 0



 − ≥

= 





 − − < 

.

Ta có

3 x 1 ( )

khi x 0

y' 2 x

3 x x khi x 0

2 x



 −



 >

=







 −

 − < 

 −

+

Hàm số không có đạo hàm tại x 0 = .

Trên khoảng (−∞;0): y' 0 > ,trên khoảng (0;+∞): y' 0 x 1 = ⇔ =

Bảng biến thiên

x −∞ 0 1

+∞

y'

+ − 0 +

y 0 +∞

www.VNMATH.com

−∞ −2

Hàm số đạt điểm cực đại tại điểm x 0,f 0 0 = = ( ) , hàm số đạt

điểm cực tiểu tại điểm x 1,f 1 2 = = − ( ) .

Chú ý: Cho dù hàm số không có đạo hàm tại x 0 = , nhưng

nó vẫn đạt cực đại tại điểm đó.

Cho hàm số y f x = ( ) xác định trên D và điểm = ∈0

x x D là

điểm cực trị của hàm số khi và chỉ khi hai điều kiện sau cùng

thỏa mãn:

1. Tại = 0

x x đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại.

2. Đạo hàm đổi dấu khi x đi qua 0

x .

Ví dụ 2 : Tìm tham số m ∈
để hàm số :

2 + + 1

=

+

x mx

y

x m

đạt cực tiểu tại x = 1.

Giải:

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng

(−∞ − ∪ − +∞ ; m m; ) ( ).

Ta có:

( )

= −

+

2

1

y' 1

x m

và

( )

=

+

3

1

y''

x m

.

Hàm số có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng xác định, nên

hàm số đạt cực tiểu tại x 1 = khi thỏa mãn:

Điều kiện cần:

( )

( )

= ⇔ − = ⇔ = =

+

2

1

y' 1 0 1 0 m 0; m 2

1 m

Điều kiện đủ:

m 0 y'' 1 1 0 x 1 = ⇒ = > ⇒ = ( ) là điểm cực tiểu.

m 2 y'' 1 1 0 x 1 = ⇒ = − < ⇒ = ( ) là điểm cực đại.

Vậy m 0 = thỏa yêu cầu bài toán.

Chú ý: Để ý định lý 3 chỉ phát biểu khi y'' 1 0 ( ) ≠ .

www.VNMATH.com

Nếu trình bày hàm số đạt cực tiểu tại ( )

( )



 =

= ⇔ 

> 

y' 1 0

x 1

y'' 1 0

thì

lời giải chưa chính xác. Như vậy, để áp dụng được hệ

( )

( )

y' 1 0

y'' 1 0



 =



> 

ta cần khẳng định y'' 1 0 ( ) > .

Hoạt động : Cho hàm số ( )

3 2 y x x mx = − + 3 1 . Tìm tất cả

các giá trị của m ∈
để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và

các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1) đối xứng

nhau qua đường thẳng (d x y ) : 2 9 0 + − = .

Đáp số: m = 6

Ví dụ 3 : Tìm tham số m ∈
để hàm số :

( ) 1 3 2

5 4 2

3

y x mx m x = − + − + có cực đại , cực tiểu và đường

thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số song song

với đường thẳng (d x y ) : 8 3 9 0 + + = .

Giải:

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên
.

Ta có: = − + − 2

y' x 2mx 5m 4 .

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y'triệt tiêu và đổi dấu hai lần

qua nghiệm x , khi đó phương trình − + − = 2

x 2mx 5m 4 0 có

hai nghiệm phân biệt 1 2 x ,x ⇔ ∆ = − + > ⇔ < 2 m 5m 5 0 m 1 hoặc

m 4 > .

Thực hiện phép chia y cho y' , ta được:

= − − − + + − + ( ) ( )

1 2 2 5 4 2

y x m y' m 5m 4 x m m 2

3 3 3 3

.

Gọi 1 2 x ,x là hoành độ cực trị ⇒ = y' x 0 ( 1 ) và ( ) = 2

y' x 0 .

Khi đó ( ) = − − + + − + ( )

2 2

1 1

2 5 4 y x m 5m 4 x m m 2;

3 3 3

( ) = − − + + − + ( )

2 2

2 2

2 5 4 y x m 5m 4 x m m 2.

3 3 3

www.VNMATH.com