Luận văn:Về một biến của modun hữa hạn sinh trên vành địa phương potx

BÈ gi¸o dÙc vµ Ƶo t¹o

Tr­Íng ß¹i h‰c Quy nh¨n

TrÇn Ngäc Anh

V“ mÈt b t bi’n cÒa m´Æun

h˜u h¹n sinh tr™n vµnh Æfia ph­¨ng

LuËn v¨n th¹c sü to¸n häc

Chuyªn ngµnh: §¹i sè vµ lý thuyÕt sè

M· sË: 60.46.05

Ng­Íi h­Ìng d…n khoa h‰c: PGS.TS. NguyÔn §øc Minh

Quy nh¨n, n®m 2008

1

Môc Lôc

B¶ng c¸c k› hi÷u .................................. 1

MÎ Æ«u ........................................ 2

Ch­¨ng 1. Ki’n th¯c chu»n bfi .......................... 5

1.1 L˝ thuy’t v“ s˘ ph©n t›ch nguy™n s¨ .................. 5

1.2 L˝ thuy’t bÈi ............................... 7

1.3 M´Æun Cohen-Macaulay vµ m´Æun Cohen-Macaulay suy rÈng ... 9

1.4 L˝ thuy’t ki”u Æa th¯c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Ch­¨ng 2. L‰c chi“u vµ h÷ tham sË tËt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1 H÷ tham sË tËt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 ßÆc tr­ng cÒa m´Æun Cohen - Macaulay d·y qua h÷ tham sË tËt . 22

2.3 L‰c chi“u cÒa m´Æun Æfia ph­¨ng ho¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Ch­¨ng 3. B t bi’n pF (M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1 S˘ tÂn t¹i cÒa b t bi’n pF (M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Li™n h÷ gi˜a b t bi’n pF (M) vµ qu¸ t›ch c¸c Æi”m kh´ng Cohen￾Macaulay d·y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

K’t luÀn cÒa luÀn v®n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Tµi li÷u tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2

b¶ng c¸c kÝ hiÖu

• Ann(M): linh ho¸ tˆ cÒa R-m´Æun M.

• dimM: sË chi“u cÒa R-m´Æun M.

• Exti

R(N,M): hµm tˆ mÎ rÈng th¯ i cÒa c¸c R-m´Æun M,N.

• Hi

m((M): m´Æun ÆËi ÆÂng Æi“u Æfia ph­¨ng th¯ i cÒa R-m´Æun M ¯ng vÌi iÆ™an

c˘c ƹi m.

• `(M): ÆÈ dµi cÒa R-m´Æun M.

• Supp(M): tÀp hÓp c¸c iÆ™an nguy™n tË cÒa vµnh R sao cho Mp 6= 0.

3

Më ®Çu

Cho (R, m) lµ vµnh Æfia ph­¨ng giao ho¸n Noether, M lµ R-m´Æun h˜u h¹n

sinh c„ chi“u d vµ x = (x1, ..., xd) lµ h÷ tham sË cÒa M, k› hi÷u n = (n1, ..., nd) lµ

bÈ d-sË nguy™n d­¨ng. X–t hi÷u

IM(n, x) = `(M/(xn1

1 , ..., xnd

d )M) − n1...nde(x1, ..., xd; M),

nh­ mÈt hµm theo n. Trong tµi li÷u [5], Nguy‘n T˘ C­Íng Æ· ch¯ng minh rªng

hµm nµy kh´ng lµ mÈt Æa th¯c trong tr­Íng hÓp tÊng qu¸t nh­ng n„ bfi chÆn tr™n

bÎi mÈt Æa th¯c vµ bÀc nh· nh t cÒa t t c¶ c¸c Æa th¯c chÆn tr™n hµm IM(n, x)

kh´ng phÙ thuÈc vµo c¸ch ch‰n h÷ tham sË x. B t bi’n nµy g‰i lµ ki”u Æa th¯c

cÒa M, k› hi÷u lµ p(M) vµ b t bi’n nµy ÆÛng bªng chi“u cÒa qu¸ t›ch kh´ng

Cohen - Macaulay khi R lµ th­¨ng cÒa mÈt vµnh Cohen - Macaulay.

X–t l‰c h˜u h¹n c¸c m´Æun con cÒa M lµ F : M0 ⊂ M1 ⊂ ... ⊂ Mt = M sao

cho dimM0 < dimM1 < ... < dimMt = dimM. MÈt l‰c nh­ vÀy g‰i lµ tho¶ m·n

Æi“u ki÷n chi“u. Cho x = (x1, ..., xd) lµ mÈt h÷ tham sË cÒa M. Khi Æ„ x Æ­Óc

g‰i lµ mÈt h÷ tham sË tËt t­¨ng ¯ng vÌi l‰c F n’u

Mi ∩ (xdi+1, ..., xd)M = 0 vÌi i = 0, 1, ..., t − 1 vµ di = dimMi.

ßÆt

IF,M(x(n)) = `(M/(xn1

1 , ..., xnd

d )M) −X

t

i=0

n1...ndie(x1, ..., xdi ; Mi),

Î Æ©y e(x1, ..., xdi ; Mi) lµ bÈi Serre cÒa Mi ¯ng vÌi h÷ (x1, ..., xdi) vµ x = (x1, ..., xd)

lµ mÈt h÷ tham sË tËt cÒa M t­¨ng ¯ng vÌi l‰c F. C©u h·i ÆÆt ra lµ c¸c k’t qu¶

tr™n c„ cfln ÆÛng cho hµm IF,M (x(n)).

MÙc Æ›ch cÒa luÀn v®n nµy lµ tr×nh bµy mÈt sË k’t qu¶ trong [7] vµ [9] li™n

quan Æ’n b t bi’n pF (M) ( Æ­Óc Æfinh ngh‹a lµ bÀc nh· nh t cÒa t t c¶ c¸c Æa

th¯c theo n chÆn tr™n hµm IF,M(x(n)) ). B™n c¹nh vi÷c Æ­a ra nhi“u ch¯ng minh

chi ti’t cho c¸c k’t qu¶ Æ· c„ trong [7] vµ [9], chÛng t´i cÚng t×m Æ­Óc mÈt k’t

qu¶ mÌi ch­a Æ­Óc Æ“ cÀp Æ’n trong hai bµi b¸o n„i tr™n.

Ngoµi ph«n MÎ Æ«u, K’t luÀn vµ Tµi li÷u tham kh¶o, LuÀn v®n gÂm 3

ch­¨ng:

4

Ch­¨ng 1 kiÕn thøc chuÈn bÞ

Ch­¨ng nµy chÛng t´i nhæc l¹i kh¸i ni÷m vµ mÈt sË t›nh ch t c¨ b¶n v“

l˝ thuy’t ph©n t›ch nguy™n s¨, l˝ thuy’t bÈi, m´Æun Cohen - Macaulay, m´Æun

Cohen - Macaulay suy rÈng vµ l˝ thuy’t ki”u Æa th¯c.

Ch­¨ng 2 läc chiÒu vµ hÖ tham sè tèt

L‰c chi“u vµ h÷ tham sË tËt lµ mÈt c´ng cÙ r t quan tr‰ng Æ” nghi™n c¯u

b t bi’n pF (M) do Æ„ chÛng t´i dµnh ch­¨ng nµy Æ” tr×nh bµy mÈt sË k’t qu¶

v“ l‰c chi“u vµ h÷ tham sË tËt, chÿ ra ÆÆc tr­ng cÒa m´Æun Cohen-Macaulay

d·y qua h÷ tham sË tËt vµ tr×nh bµy mÈt sË k’t qu¶ v“ l‰c chi“u cÒa m´Æun Æfia

ph­¨ng ho¸ sœ Æ­Óc sˆ dÙng r t nhi“u trong ch­¨ng 3.

Ch­¨ng 3 bÊt biÕn pF (M)

NÈi dung ch›nh cÒa ch­¨ng nµy lµ chÛng t´i ch¯ng minh hµm IF,M (x(n))

bfi chÆn tr™n bÎi mÈt Æa th¯c vµ bÀc nh· nh t cÒa t t c¶ c¸c Æa th¯c chÆn tr™n hµm

IF,M(x(n)) kh´ng phÙ thuÈc vµo c¸ch ch‰n h÷ tham sË tËt x cÒa M t­¨ng ¯ng

vÌi l‰c F, chÿ ra mËi li™n h÷ gi˜a b t bi’n pF (M) vÌi m´Æun Cohen - Macaulay

d·y vµ m´Æun Cohen - Macaulay suy rÈng d·y. H¨n n˜a b t bi’n nµy ÆÛng bªng

chi“u cÒa qu¸ t›ch kh´ng Cohen - Macaulay d·y khi R lµ th­¨ng cÒa mÈt vµnh

Cohen - Macaulay vµ F lµ l‰c chi“u cÒa M.

MÆc dÔ t¸c gi¶ Æ· c„ nhi“u cË gæng vµ lµm vi÷c nghi™m tÛc, nh­ng chæc

chæn luÀn v®n sœ cfln nh˜ng h¹n ch’, thi’u s„t nh t Æfinh. T¸c gi¶ r t mong nhÀn

Æ­Óc s˘ g„p ˝, bÊ sung cÒa qu˝ th«y, c´ gi¸o vµ ng­Íi Ɖc.

Quy Nh¬n, th¸ng 03 n¨m 2008.

T¸c gi¶