Liên hệ nghiệm PT với các bất đẳng thức(phần1)- Ôn thi vào 10

TỪ ĐƠN GIẢN ĐẾN THÚ VỊ............................................................................................................1

TỪ MỘT LỜI GIẢI ĐI ĐẾN BÀI TOÁN TỔNG QUÁT.................................................................4

TỪ ĐƠN GIẢN ĐẾN THÚ VỊ

Khi giải phương trình bậc hai, đã bao giờ bạn từng đặt câu hỏi, chẳng hạn tại sao phương trình x2

+ 6x - 3 = 0 có nghiệm là thì cũng có nghiệm là ?

Ban đầu tôi giải thích điều kì lạ này bằng định lí Viét nhưng sau quá trình suy nghĩ, tìm tòi tôi mới

phát hiện ra những bí ẩn tuyệt vời đằng sau điều kì lạ đó.

Trước hết ta xét bài toán :

Bài toán 1 :

Chứng minh rằng : Nếu phương trình bậc hai có hệ số hữu tỉ, có một nghiệm vô tỉ là (m ; n

thuộc Q) thì sẽ có một nghiệm nữa là .

Chứng minh : Có 3 cách để chứng minh bài toán này.

Cách 1 : (sử dụng hệ thức Viét)

Xét phương trình bậc hai ax2

+ bx + c = 0 (*) (a ≠ 0) có một nghiệm là . Gọi x1, x2 là hai

nghiệm của (*) trong đó x1 = .

Do x1 là nghiệm của (*)

Cách 2 :

Khi chứng minh như ở cách 1 và được 2am + b = 0

=> 2am + b = 0 = am2

+ an + bm + c

Khi đó :

Cách 3 :

Xét :

= (x - m)2

- n = x2

- 2mx + m2

- n

Chia đa thức ax2

+ bx + c cho g(x) ta có :

ax2

+ bx + c = a(x - )(x - ) + (b + 2ma)x + (an + c - m2

a)

Khi x1 = => ax2

+ bx + c = 0.

=> : (b + 2ma)( ) + an + c = 0.

Do vô tỉ ; m, n, a, b, c thuộc Q nên => :

b + 2ma = an + c - m2

a = 0

=> ax2

+ bx + c = a(x - )(x - )

=> là một nghiệm của phương trình ax2

+ bx + c = 0 (đpcm).

Sau khi thử nghiệm một số trường hợp, tôi đã tổng quát bài toán như sau :