Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC pptx
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
PH姶愛NG PHÁP VÀ K駅 THU一T AI韻N HÌNH
TRONG TÍNH PHÂN
Nguyいn V<n C⇔ぜng, THPT Mぶ Aとc A, Hà Nじi
AT: 0127.233.45.98 - 04.33.741.526
Email: [email protected]
A<ng tｌi tｊi http://www.mathvn.com/2011/01/cac-phuong-phap-tinh-tich-phan-ien-hinh.html
Phép tính tích phân là m瓜t ph亥n quan tr丑ng c栄a gi違i tích toán h丑c nói riêng
và trong Toán h丑c nói chung,không nh英ng nh逢 là m瓜t đ嘘i t逢嬰ng nghiên c泳u
tr丑ng tâm c栄a gi違i tích mà còn có đ逸c l詠c trong nghiên c泳u lý thuy院t v隠 ph逢挨ng
trình, lý thuy院t v隠 hàm s嘘.
Ngoài ra phép tính vi phân còn đ逢嬰c s穎 d映ng nhi隠u trong các môn khoa
h丑c khác nh逢 V壱t lý Thiên v<n h丑c ,c挨 h丑c ....nó nh逢 là m瓜t gi違i pháp h英u hi羽u
c栄a các mô hình toán h丑c c映 th吋..H丑c sinh l噂p 12 Khi ôn thi t嘘t nghi羽p ,Thi đ衣i
h丑c –cao đ鰯ng th逢運ng r医t g員p khó kh<n khi gi違i các bài t壱p trong chuyên đ隠 này.
Nh英ng ng逢運i m噂i h丑c và làm quen v噂i Tích phân th逢運ng ch逢a hi吋u rõ t逢 t逢荏ng
c┡ng nh逢 ph逢挨ng pháp ti院p c壱n lý thuy院t , đ員c bi羽t là khâu v壱n d映ng lý thuy院t vào
gi違i các bài toán th詠c t院.
Bài vi院t này xin nêu ra m瓜t s嘘 ph逢挨ng pháp đi吋n hình th逢運ng đ逢嬰c dùng đ吋
gi違i các bài t壱p v隠 tích phân trong các k┻ thi A衣i h丑c. N瓜i dung bài vi院t c┡ng là n瓜i
dung c挨 b違n c栄a đ隠 tài sáng ki院n kinh nghi羽m c栄a tôi trong n<m h丑c 2010 đã đ逢嬰c
S荏 giáo d映c và đào t衣o Hà N瓜i x院p lo衣i B.
M員c dù đã tham kh違o m瓜t s嘘 l逢嬰ng l噂n các tài li羽u hi羽n nay đ吋 v瑛a vi院t,
v瑛a đi gi違ng d衣y trên l噂p đ吋 ki吋m nghi羽m song vì n<ng l詠c và th運i gian có h衣n
,r医t mong đ逢嬰c s詠 đóng góp c栄a các b衣n đ欝ng nghi羽p và nh英ng ng逢運i yêu thích
môn toán đ吋 chuyên đ隠 này có ý ngh┄a thi院t th詠c h挨n trong nhà tr逢運ng ,góp ph亥n
nâng cao h挨n n英a ch医t l逢嬰ng Giáo d映c ph鰻 thông.Giúp các em có ph逢挨ng pháp -
k悦 n<ng khi gi違i các bài Tích phân trong các k┻ thi cu嘘i c医p đ欝ng th運i b逢噂c đ亥u
trang b鵜 cho các em ki院n th泳c v隠 phép tính vi phân –Tích phân trong nh英ng n<m
đ亥u h丑c đ衣i h丑c. Xin vui lòng gi噂i thi羽u v噂i các b衣n đ欝ng nghi羽p và nh英ng ng逢運i
yêu toán chuyên đ隠 :
“Ph⇔¬ng pháp và kぶ thuｆt điあn hình tính tích phân”
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
Nguyいn V<n C⇔ぜng, Mぶ Aとc A, Hà Nじi - www.MATHVN.com 2
I - Kぶ thuｆt biｘn đごi vi phân (đ⇔a vｚ bＶng nguyên hàm)
Khi s穎 d映ng k悦 thu壱t b違ng nguyên hàm ta c亥n l逢u ý đ院n m瓜t s嘘 phép toán vi phân
đ挨n gi違n sau:
f (x)dx=dF(x) ,Trong đó F(x)- là m瓜t nguyên hàm c栄a hàm s欝 f(x)
dx= 1
d ax b ( )
a
+ x
k
dx=d
1
( )
1
k
x
a
k
+
+
+
sinxdx=d(-cosx)
2
2 2
dx d x x a ( )
x a x x a
+ +
=
+ + +
; 2
(t anx)
os
dx d
c x
= ; 2
( cot x)
sin
dx d
x
= - ....
M瓜t s嘘 công th泳c suy r瓜ng sau
cos sin kx kxdx c
k
= - + ò
;
sin
os
kx c kxdx c
k
= + ò
;
kx
kx e
e dx c
k
= + ò
; ,
ln
kx
kx a
a dx c k R
k a
= + " Î ò
.....
Ví d映 1( AHA -2010) Tính tích phân :
1 2 x 2 x
x
0
x e 2x e I dx
1 2e
+ +
=
+
ò
Lぜi giＶi
1 1 1 2
2
0 0 0
(1 2 )
1 2 1 2
x x x
x x
x e e e I dx x dx dx
e e
+ +
= = +
+ + ò ò ò ;
1 1 3
2
1
0 0
1
;
3 3
x
I x dx = = = ò
1
2
0
1 2
x
x
e
I dx
e
=
+
ò
=
1
0
1 (1 2 )
2 1 2
x
x
d e
e
+
+
ò
=
1
0
1
ln(1 2 )
2
x
+ e =
1 1 2 ln
2 3
æ ö + e
ç ÷ è ø V壱y I =
1 1 1 2 ln
3 2 3
æ ö + e
+ ç ÷ è ø
Ví d映 1( AHA -2009) Tính tích phaân
2
3 2
0
I (cos x 1)cos xdx
p
= - ò
Lぜi giＶi
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2
3 2 5 2 4 2
1
0 0 0 0 0
2 2 2 2 2 2 2 2 4 2
2
0 0 0 0 0 0 0
cos 1 cos cos cos , cos cos 1 sin cos
8 1 cos 2 1 1 1 1 1 2sin sin (sinx) , cos cos 2 sin 2
15 2 2 2 2 4 4
I x xdx xdx xdx I x xdx x xdx
x
x x d I xdx dx dx xdx x x
p p p p p
p p p p p
p p
p
= - = - = = - =
+
- + = = = = + = + =
ò ò ò ò ò
ò ò ò ò ò
Tính tích phân
3
x
1
dx I
e 1
=
-
ò
Ví d映 3 AHKD -09) Tính tích phân
3
x
1
dx I
e 1
=
-
ò
Lぜi giＶi
3 3 3 x x x 3
x
x x 1
1 1 1
1 e e e I dx dx dx 2 ln e 1
e 1 e 1
- +
= = - + = - + -
- -
ò ò ò
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
Nguyいn V<n C⇔ぜng, Mぶ Aとc A, Hà Nじi - www.MATHVN.com 3
3 2
= - + - - - = - + + + 2 ln(e 1) ln(e 1) 2 ln(e e 1)
Ví d映 1 (AHKB -03) Tính I=
/4 2
0
1 2sin
1 sin 2
x
dx
x
p
-
+
ò
Lぜi giＶi:
Nh壱n th医y d(1+sin2x)= 1
os2
2
c xdx , 1-2sin2
x=cos2x nên ta có
I =
/4 /4 /4 2
/4
0
0 0 0
1 2sin os2 1 (1 sin 2 ) 1 1 ln(1 sin 2 ) ln 2
1 sin 2 1 sin 2 2 1 sin 2 2 2
x c x d x dx dx x
x x x
p p p
- + p
= = = + =
+ + + ò ò ò
Ví d映 2 (AH KA-06)
J =
/4
2 2
0
sin 2
os 4sin
x
dx
c x x
p
+
ò
Lぜi giＶi:
Nh壱n th医y d(cos2
x+4sin2
x)=sin2xdx do đó ta có
J=
/4
2 2
0
sin 2
os 4sin
x
dx
c x x
p
+
ò
=
/4 2 2
2 2
0
1 ( os 4sin )
3 os 4sin
d c x x dx
c x x
p
+
+
ò
=
1
2 2 /4 2
0
2
( os 4sin )
3
c x x
p
+ =
1
( 10 2)
3
-
Ví d映 3
Tính K=
3 2
1
ln 2 ln e
x xdx
x
+
ò
(AHKB-04)
Lぜi giＶi:
K =
3 2
3 2 2 1/3 2 3 3
1 1 1
ln 2 ln 1 3 2 ln ln (ln ) (2 ln ) (2 ln ) (3 3 2 2)
2 8
e e e
x xdx x xd x x d x
x
+
= + = + + = - ò ò ò
Nh壱n xét 1:
- Các tích phân trên có th吋 gi違i đ逢嬰c b茨ng ph逢挨ng pháp đ鰻i bi院n s嘘 song n院u ta
khéo léo bi院n đ鰻i vi phân thì đ逢a đ逢嬰c v隠 các tich phân c挨 b違n .
-Dùng phép bi院n đ鰻i vi phân đ逢a v隠 b違ng nguyên hàm c挨 b違n giúp Lぜi giＶi ng逸n
g丑n,so v噂i Phép đ鰻i bi院n s嘘 thì không ph違i đ鰻i c壱n ,Trong gi違i toán thêm m瓜t
phép toán là thêm m瓜t nguy c挨 sai. đ吋 làm rõ 逢u đi吋m c栄a ph逢挨ng pháp này ta xét
bài toán sau
Ví d映 4: Tính L= ( ) ln ( ) ( )
( )( )
b
x a x b
a
dx x a x b
x a x b
+ + é ù + + ë û + + ò
v噂i b>a>0
Lぜi giＶi:
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
Nguyいn V<n C⇔ぜng, Mぶ Aとc A, Hà Nじi - www.MATHVN.com 4
Vi院t l衣i L= ( )ln( ) ( )ln( )
( )( )
b
a
x a x a x b x b
x a x b
+ + + + +
+ + ò
dx = ln( ) ln( ) b
a
x a x b dx
x b x a
é ù + +
+ ê ú ë û + + ò
=
[ln( ) ln( ) ln( ) ln( )]
b
a
x x d x b x b d x a + + + + + ò
= [ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln ln( ) ]
b
b
a
a
a
d x b x b x a x b a b
b
+ + = + + = + ò
Nh壱n xét 2
-Aây là m瓜t trong nh英ng bài toán đi吋n hình minh ho衣 tính 逢u vi羽t cho ph逢挨ng
pháp s穎 d映ng ph逢挨ng pháp bi院n đ鰻i vi phân đ逢a v隠 b違ng nguyên hàm
-M瓜t trong nh英ng ph逢挨ng pháp c挨 b違n nh医t đ吋 tính tích phân l逢嬰ng giác đó là bi院n
đ鰻i
Vi phân đ逢a v隠 b違ng nguyên hàm c挨 b違n,khi đó ta c亥n dùng các công th泳c bi院n
đ鰻i l逢嬰ng giác nh逢 h衣 b壱c ,nhân đôi ,t鰻ng thành tích ... ta xét các ví d映 sau
Ví d映 5 Tính
M=
/2
sin
0
( cos ) cos x
e x xdx
p
+ ò
(AH K D-05)
Lぜi giＶi:
M=
/2 /2
sin
0 0
1 os2 (cos ) 1
2 4
x c x e d x dx e
p p
+ p
+ = - + ò ò
Ví d映 6: Tính
N=
/3
2 2
/4
sin
os 1 os
xdx
c x c x
p
p +
ò
Lぜi giＶi:
N=
/3 /3 /3
2 1/2 2
2 2
/4 2 /4 /4
2
sin tan 1 (2 tan ) (2 tan ) 5 3
1 os 2 tan 2
os cos 1
os
xdx xdx x d x
c x x
c x x
c x
p p p
p p p
-
= = + + = -
+
+
ò ò ò
Ví d映 7: Tính P= 2
3
1
2
0 1
x x
e dx
x
+
+
ò
Lぜi giＶi:
P= 2 2 2 2
3 3 1 3
1 1 2 2 1 2 1 3 2 2
1
2
0 0 0
(1 ) (1 ) (1 )
1
x x x x x e dx e x d x dx e d x e e e
x
-
+ + + + = + + = + = = -
+
ò ò ò
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
Nguyいn V<n C⇔ぜng, Mぶ Aとc A, Hà Nじi - www.MATHVN.com 5
Mじt sぐ sai lＺm th⇔ぜng gｐp khi tính tích phân bｊng ph⇔¬ng pháp biｘn đごi vi
phân
Víd映 7 : Tính I=
0
1 sinx
dx p
+
ò
Nh壱n xét: H丑c sinh khi gi違i th逢運ng g員p sai l亥m sau
A員t x=tanx/2
dx=
2
2
2 2 2 0
0 0 0
2 1 1 2 2 2 2
; 2 (1 ) ( 1)
1 1 sinx (1 ) 1 sinx (1 ) tan 0 1 t an 1 tan 1
2 2
dt t dx dt t d t
t t t x
p p p
p
p
+ - - - -
= Þ = = + + = = -
+ + + + + +
+ +
ò ò ò
Do tan
2
p
không xác đ鵜nh nên tích phân trên không t欝n t衣i.
Nguyên nhân sai l亥m :Do tích phân là t鰻ng vô h衣n các h衣ng t穎 nên 2
0
tan 1
2
p
- Þ
+
v磯n đ逢嬰c th瑛a nh壱n.
Lぜi giＶi đúng: I=
0
1 sinx
dx p
+
ò
=
0 1 os( )
2
dx
c x
p
p
+ -
ò
= 0
2
0
( )
2 4 tan( ) tan tan( )
2 4 4 4 1 os ( )
2 4
x
d
x
x
c
p
p
p
p p p
p
-
= - = - -
+ -
ò
=2
Qua bài toán trên ng逢運i th亥y nên l逢u ý v噂i h丑c sinh khi đ鰻i bi院n s嘘 tr逢噂c h院t ph違i
ngh┄ ngay t噂i phép đ鰻i bi院n có t欝n t衣i hay không?( c┡ng gi嘘ng nh逢 khi ta gi違i
ph逢挨ng trình c亥n đ員t đi隠u ki羽n cho 育n s嘘 n院u có)
Ví d映 8 I=
4
2
0
x x dx - + 6 9 ò
Nh壱n xét:
H丑c sinh th逢運ng m逸c sai l亥m sau
I=
4
2
0
x x dx - + 6 9 ò
=
4 4 2
2 2 4
0
0 0
( 3) ( 3) ( 3) ( 3) 4
2
x
x dx x d x -
- = - - = = - ò ò
Nguyên nhân sai l亥m là phép bi院n đ鰻i 2
( 3) 3 x x - = - không t逢挨ng đ逢挨ng đ逢挨ng
trên [0, 4] vì |x-3|= 3;3 4
3 ;0 3
x x
x x
ì - £ £ í
î - £ £
L運i gi育i đúng là