Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Kỳ thi chọn đội tuyển Quốc gia dự thi Olympic Toán học Quốc tế năm 2006 pot
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
Kỳ thi chọn đội tuyển Quốc gia dự thi Olympic Toán học Quốc tế năm 2006
Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC , H là trực tâm, đường phân giác ngoài góc ∠BHC cắt AB và AC lần
lượt tại D và E . Phân giác góc ∠BAC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE tại K . Chứng minh
rằng HK đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC .
Bài 2. Tìm tất cả các bộ số nguyên không âm (n, k ), k là số nguyên lớn hơn một sao cho số sau có thể
phân tích dưới dạng tích của k số nguyên dương liên tiếp:
n n n A 2006 2 5 = 17 + 4.17 + 7.19
Bài 3. Cho 2006 điểm phân biệt trong không gian, không có bốn điểm nào thẳng hàng. Số k gọi là số
tốt nếu ta có thể điền lên mỗi đoạn thẳng nối hai điểm trong 2006 điểm đã cho một số tự nhiên không
vượt quá k sao cho với mọi tam giác có ba đỉnh trong 2006 điểm đa cho thì có hai cạnh được điền hai
số bằng nhau và cạnh còn lại thì được điền số lớn hơn. Tìm số tốt có giá trị nhỏ nhất.
Bài làm:
Bài 3.
Ta sẽ chứng minh số tốt nhỏ nhất là 10 .
Trước hết ta định nghĩa một số khái niệm như sau: Một cách điền các số tự nhiên không vượt quá k lên
các đoạn thẳng nối n điểm trong không gian, không có bốn điểm nào đồng phẳng, là một cách điền tốt
nếu với mọi tam giác có ba đỉnh trong n đỉnh đã cho thì có hai cạnh được điền hai số bằng nhau và cạnh
còn lại được điền số lớn hơn, và khi đó ta gọi k là số n-tốt. Ký hiệu số n-tốt có giá trị nhỏ nhất là f (n)
ta sẽ chứng minh f ( ) 2006 = 10 .
Trước hết ta sẽ chứng minh với mọi n ≥ 5 thì ( ) 1
2
1
+⎟
⎟
⎠
⎞ ⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤ ⎢
⎣
⎡ + = n f n f (1). Nhận xét rằng với k ≥ l thì
f ( ) () k ≥ f l nên ( ) ⎟
⎟
⎠
⎞ ⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤ ⎢
⎣
⎡ +
≥
2
n 1 f n f , nên để chứng minh (1) ta chỉ cần chứng minh ⎟
⎟
⎠
⎞ ⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤ ⎢
⎣
⎡ +
2
n 1 f không là
số n-tốt và 1
2
1
+⎟
⎟
⎠
⎞ ⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤ ⎢
⎣
⎡n + f là số n-tốt.
Giả sử ⎟
⎟
⎠
⎞ ⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤ ⎢
⎣
⎡ +
2
n 1 f là số n-tốt, tức là tồn tại một cách điền các số tự nhiên không vượt quá ⎟
⎟
⎠
⎞ ⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤ ⎢
⎣
⎡ +
2
n 1 f
lên các cạnh nối n điểm là một cách điền tốt. Nhận xét rằng không có tam giác nào có ba đỉnh trong các
điểm đó có hai cạnh điền ⎟
⎟
⎠
⎞ ⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤ ⎢
⎣
⎡ +
2
n 1 f , hay nói cách khác, hai cạnh mà được điền số ⎟
⎟
⎠
⎞ ⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤ ⎢
⎣
⎡ +
2
n 1 f thì
không có đầu mút chung. Suy ra ta có thể ký hiệu n điểm đã cho như sau: A1 , A2 , …, A2k−1 , A2k ,
A2k+1 , …, An , ở đây các cạnh được điền số ⎟
⎟
⎠
⎞ ⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤ ⎢
⎣
⎡ +
2
n 1 f là A1A2 , …, A2k−1A2k và các điểm còn lại là
A2k+1 , …, An .
Xét các điểm A1 , A3 , …, A2k−1 , A2k+1 , …, An (do 2k ≤ n nên có ít nhất ⎥
⎦
⎤ ⎢
⎣
⎡ +
2
n 1 điểm được chọn, gọi số
điểm đã chọn là m ) và các đoạn thẳng nối các điểm đó. Do không có đoạn thẳng nào điền số
⎟
⎟
⎠
⎞ ⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤ ⎢
⎣
⎡ +
2
n 1 f , và phần đã chọn là một phần của một cách điền tốt nên nó là một cách điền tốt với các số