Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức cauchy-schwarz

Cauchy-Schwarz inequality. 1

kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức

cauchy-schwarz

`

Đầu tiên xin được nhắc lại nội dung bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Với hai

bộ số thực bất kì a1, a2, …, an và b1, b2, …, bn ta có bất đẳng thức:

(a1

2

+a2

2

+ …+an

2

)(b1

2

+b2

2

+ …+bn

2

) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)

2

Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi aibj=ajbi với mọi i≠j.

Ta hãy nhìn bất đẳng thức trên dưới dạng khác như sau: Với hai bộ số thực

bất kì a1, a2, …, an và b1, b2, …, bn thoả mãn bi dương ta có:

2 2 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

( ... )

...

...

n n

n n

a a a a a a

b b b b b b

  

   

  

Đẳng thức cũng chỉ xảy ra khi và chỉ khi aibj=ajbi với mọi i≠j. Để sử dụng

thật tốt bất đẳng thức này các bạn phải có cái nhìn hai chiều với bất đẳng

thức trên. Nói chung thì bất đẳng trên ứng dụng giải toán nhiều hơn hay dễ

sử dụng hơn bất đẳng thức dạng chính tắc.

Bây giờ ta đi vào xét các ví dụ để thấy được sức mạnh của bất đẳng thức

cauchy-schwarz.