Khung Gabor

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ THỊ THU HÀ

KHUNG GABOR

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2012

1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ THỊ THU HÀ

KHUNG GABOR

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số : 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. NGUYỄN QUỲNH NGA

Thái Nguyên - Năm 2012

2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

i

Mục lục

LỜI CẢM ƠN 1

MỞ ĐẦU 2

1 Các khái niệm và kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Khung trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Định lý Balian-Low . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Khung Gabor trong L

2

(R) 16

2.1 Khung Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Điều kiện cần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Điều kiện đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Không gian Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5 Các hệ dời chỗ bất biến tổng quát . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6 Các biểu diễn của toán tử khung Gabor . . . . . . . . . . . 44

2.7 Các đối ngẫu của khung Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.8 Biến đổi Zak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.9 Khung Gabor chặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

KẾT LUẬN 66

TÀI LIỆU THAM KHẢO 67

3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc

của TS Nguyễn Quỳnh Nga. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc

đến cô giáo.

Tôi cũng xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy giáo, cô giáo

trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên cũng như các thầy cô

giáo tham gia giảng dạy khóa học cao học 2010 - 2012, những người đã

đem hết tâm huyết và sự nhiệt tình để giảng dạy và trang bị cho chúng

tôi nhiều kiến thức cơ sở.

Tôi xin cảm ơn tập thể giáo viên trường Đại học Hải Phòng nơi tôi

công tác đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt khóa học

cũng như quá trình làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn

gia đình, bạn bè, những người luôn động viên chia sẻ, giúp tôi trong quá

trình học tập và làm luận văn.

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012.

Tác giả

Vũ Thị Thu Hà

4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2

MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài

Trong khi nghiên cứu các không gian véctơ, một trong những khái niệm

quan trọng nhất là khái niệm cơ sở, nhờ đó mỗi véctơ trong không gian

có thể viết như tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong cơ sở. Tuy nhiên,

điều kiện để trở thành cơ sở là khá chặt: không có sự phụ thuộc tuyến tính

giữa các phần tử trong cơ sở. Điều này làm cho khó tìm hoặc thậm chí là

không tìm được các cơ sở thỏa mãn một số điều kiện bổ sung. Đây là lý do

để chúng ta đi tìm một công cụ khác linh hoạt hơn và khung chính là một

công cụ như vậy. Khung cho một không gian Hilbert cho phép ta biểu diễn

mỗi phần tử trong không gian như một tổ hợp tuyến tính của các phần tử

trong khung nhưng không đòi hỏi tính độc lập tuyến tính giữa các phần

tử khung.

Khung được giới thiệu vào năm 1952 bởi Duffin và Schaeffer [3] trong

khi nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa. Cộng đồng toán học đã không

nhận ra tầm quan trọng của các khái niệm này, phải mất gần 30 năm trước

khi công trình tiếp theo xuất hiện. Vào năm 1980, Young đã viết cuốn sách

có những kết quả cơ bản về khung, lại trong ngữ cảnh của chuỗi Fourier

không điều hòa. Năm 1986, khi bài báo của Daubechies, Grossmann và

Meyer [2] ra đời, lý thuyết khung mới bắt đầu được quan tâm rộng rãi.

Khung có nhiều ứng dụng trong xử lý tín hiệu, lý thuyết mật mã, nén dữ

liệu [4]. . .

Lý thuyết toán học của giải tích Gabor trong L

2

(R) dựa trên hai lớp

toán tử trên L

2

(R) là:

5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3

Phép tịnh tiến với a ∈ R, Ta : L

2

(R) → L

2

(R), (Taf) (x) = f (x − a),

Phép biến điệu với b ∈ R, Eb

: L

2

(R) → L

2

(R), (Ebf) (x) = e

2πibxf (x).

Giải tích Gabor nhằm biểu diễn các hàm f ∈ L

2

(R) như một chồng

chất của các tịnh tiến và biến điệu của một hàm cố định g ∈ L

2

(R). Bài

báo năm 1986 của Daubechies, Grossmann và Meyer lần đầu tiên đã kết

hợp giải tích Gabor với lý thuyết khung. Các tác giả đã xây dựng khung

trong L

2

(R) có dạng {EmbTnag}m,n∈Z

. Từ sau bài báo đó có rất nhiều

công trình nghiên cứu ra đời.

Với mong muốn hiểu biết nhiều hơn về lý thuyết khung nói chung và

khung Gabor nói riêng, tôi quyết định chọn " Khung Gabor " làm đề

tài luận văn cao học.

6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

4

Chương 1

Các khái niệm và kiến thức chuẩn

bị

1.1 Phép biến đổi Fourier

Cho f ∈ L

1

(R), biến đổi Fourier ˆf được định nghĩa bởi

ˆf (γ) := Z

∞

−∞

f (x) e

−2πixγdx, γ ∈ R

Ta cũng thường ký hiệu biến đổi Fourier của f là Ff.

Nếu ￾

L

1 ∩ L

2

(R) được trang bị chuẩn L

2

(R), biến đổi Fourier là một

phép đẳng cự từ ￾

L

1 ∩ L

2

(R) đến L

2

(R). Nếu f ∈ L

2

(R) và {fk}

∞

k=1 là

một dãy của các hàm trong ￾

L

1 ∩ L

2

(R) và hội tụ đến f trong không

gian L

2

, thì dãy n

ˆfk

o∞

k=1

cũng hội tụ trong L

2

(R), với một giới hạn độc

lập với lựa chọn của {fk}

∞

k=1. Định nghĩa

ˆf := lim

k→∞

ˆfk

Ta có thể mở rộng biến đổi Fourier thành một ánh xạ unita từ L

2

(R)

lên L

2

(R). Ta sẽ dùng ký hiệu tương tự để ký hiệu mở rộng này. Đặc biệt

ta có đẳng thức Plancherel

D

ˆf, gˆ

E

= hf, gi, ∀f, g ∈ L

2

(R), và

ˆf

= kfk . (1.1)

Nếu f ∈ L

1

(R), thì ˆf liên tục. Nếu hàm f cũng như ˆf thuộc vào L

1

(R),

công thức nghịch đảo mô tả cách có được hàm f từ các giá trị ˆf (γ) :

7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu