Khai triển b-phân: phần nguyên và phần lẻ

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

TRƯƠNG HỒ THIÊN LONG

KHAI TRIỂN b-PHÂN:

PHẦN NGUYÊN VÀ PHẦN LẺ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2019

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

TRƯƠNG HỒ THIÊN LONG

KHAI TRIỂN b-PHÂN:

PHẦN NGUYÊN VÀ PHẦN LẺ

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 8.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS. Nguyễn Duy Thái Sơn

ĐÀ NẴNG - NĂM 2019

Lời mở đầu

Số học được xem là lĩnh vực có tuổi đời lớn nhất và là lĩnh vực hấp dẫn

nhất trong toán học. Chính vì thế, Gauss - nhà toán học người Đức - gọi

là “bà chúa của toán học”. Lịch sử ghi nhận nhiều bài toán số học đã làm

đau đầu từ những nhà toán học lỗi lạc cho đến đông đảo những người yêu

toán thông thường. Trải qua hàng ngàn năm phát triển, số học vẫn giữ

được vẻ đẹp thuần khiết của nó. Vẻ đẹp ấy được thể hiện qua cách phát

biểu đơn giản của bài toán, bất kì ai nghe qua đều có thể hiểu được. Thế

nhưng, vẻ đẹp ấy thường tiềm ẩn những thử thách sâu thẳm bên trong để

thách thức trí tuệ loài người. Đơn cử như bài toán sau: “Mỗi số tự nhiên

chẵn lớn hơn 2 có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên tố”. Đây

chính là bài toán được Goldbach, nhà toán học người Đức, đưa ra (Giả

thuyết Goldbach - Goldbach’s Conjecture). Với bài toán này, chỉ cần cung

cấp cho người đọc biết thế nào là số chẵn, thế nào là số nguyên tố, là đủ

để hiểu cái ý của bài toán đưa ra. Thế nhưng, tuy nhìn đơn giản, dễ hiểu,

nhưng vấn đề này đến tận ngày nay vẫn chưa có lời giải, vẫn chỉ dừng lại ở

mức “giả thuyết”. Chính vì lẽ đó, số học rất được các nhà toán học, cũng

như các bạn yêu thích môn toán thích thú và quan tâm.

Trong chương trình phổ thông hiện nay, số học được đưa vào giảng dạy

trong chương trình THCS, lớp 6. Thế nhưng, nội dung môn số học lớp 6

chỉ xoay quanh các phép tính và quan hệ chia hết trong tập hợp số nguyên,

chưa đào sâu thêm một số kiến thức liên quan đến nó.

Xuất phát từ những lí do trên, được sự đồng ý của TS. Nguyễn Duy

Thái Sơn, tôi chọn đề tài số học với tên gọi “Khai triển b-phân: phần

nguyên và phần lẻ”.

Tóm tắt

Như đã biết, mọi số thực x đều viết được dưới dạng

x = [x] + {x}

trong đó, n = [x] (phần nguyên của x) là một số nguyên và 0 ≤ {x} < 1.

Bằng cách khảo sát riêng lẻ khai triển thập phân của số nguyên n và của

phần lẻ {x}, ta thấy số thực x có khai triển thập phân (khai triển đó là

duy nhất nếu ta bổ sung thêm một số điều kiện lên khai triển của phần

lẻ)

Trong luận văn này, cơ số 10 (của khai triển “thập phân” nói trên), sẽ

được thay bởi một số nguyên b > 1 bất kì và ta khảo sát khai triển b-phân

của các số thực như là trường hợp tổng quát. Ta sẽ thấy rằng mọi số thực

x đều có khai triển b-phân duy nhất (nếu ta áp đặt điều kiện bổ sung lên

khai triển của phần lẻ).

Khai triển b-phân có nhiều ứng dụng trong khoa học và thực tiễn, đặc

biệt trong công nghệ thông tin, người ta quan tâm đến khai triển nhị phân

(b = 2). Trong khai triển nhị phân, mỗi chữ số chỉ nhận một trong hai giá

trị 0; 1, điều này phù hợp với đặc tính của máy tính: mỗi bit chỉ có hai

trạng thái “có” hay “không có” điện! Các bài toán số học về khai triển

b-phân thường là các bài toán hay (và khó) nên cũng thường được khai

thác trong các kì thi học sinh giỏi và Olympiad (khu vực, quốc tế).

Luận văn được chia thành ba chương. Trong chương 1, chúng tôi trình

bày một số kiến thức chuẩn bị bao gồm lí thuyết chia hết và lí thuyết đồng

dư. Chương 2 là tổng quan lí thuyết về khai triển b-phân cho phần nguyên

và phần lẻ. Trong chương 3, chúng tôi trình bày ứng dụng của khai triển

b-phân.

Lời cảm ơn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến TS. Nguyễn Duy

Thái Sơn cùng với các thầy, cô giáo đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn đầy

hiệu quả, thường xuyên dành cho em sự chỉ bảo, giúp đỡ và động viên cả

về vật chất lẫn tinh thần giúp em hoàn thành luận văn đúng thời hạn.

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến ban lãnh đạo, các

thầy, cô giáo, cán bộ nhân viên của trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà

Nẵng đã tạo điều kiện thuận lợi cho em được học tập tại trường.

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, anh em và bạn bè

gần xa đã động viên, tạo mọi điều kiện để luận văn được hoàn thành.

MỤC LỤC

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Tóm tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1. Lí thuyết chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

1.2. Lí thuyết đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.1. Các kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.2. Đồng dư thức tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.3. Cấp của một số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

CHƯƠNG 2. KHAI TRIỂN b-PHÂN: PHẦN NGUYÊN VÀ

PHẦN LẺ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1. Phần nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2. Phần lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN b-PHÂN 40

3.1. Ứng dụng trong tin học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2. Ứng dụng trong điện báo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3. Ứng dụng trong mật mã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4. Khai triển b-phân trong các bài toán sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4.1. Số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4.2. Đa thức hệ số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4.3. Phương trình hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

MỤC LỤC 7

3.4.4. Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4.5. Một số đề thi học sinh giỏi, Olympiad . . . . . . . . . . . . . . . 72

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93