Khái niệm lũy thừa trọng dạy học toán ở trường phổ thông

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Tố Như

KHÁI NIỆM LŨY THỪA TRONG DẠY HỌC TOÁN

Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số : 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2010

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Văn Tiến, người đã nhiệt tình

hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo

Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, cùng các thầy cô khác đã nhiệt tình giảng dạy, truyền

thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi

những công cụ cần thiết và hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu.

Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Xuân Tú Huyên đã nhiệt tình giúp tôi dịch các tài liệu

tiếng pháp trong quá trình làm luận văn.

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều

kiện thuận lợi cho chúng tôi được học tập, nghiên cứu trong suốt khóa học.

- Ban giám hiệu và các thầy cô, đồng nghiệp ở Trường THPT Xuyên Mộc nơi tôi công tác, đã

giúp đỡ và luôn động viên để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình.

- Các anh, các chị và các bạn cùng lớp, những người đã đồng hành cùng tôi chia sẽ những vui

buồn trong học tập cũng như trong cuộc sống suốt ba năm học.

- Những người thân trong gia đình đã luôn sát cánh cùng tôi trong quá trình học.

NGUYỄN THỊ TỐ NHƯ

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

THCS Trung học cơ sở

THPT Trung học phổ thông

SGK Sách giáo khoa

SGV Sách giáo viên

SBT Sách bài tập

CLHN Chỉnh lý hợp nhất

TCTH Tổ chức toán học

QTHĐ Quy tắc hợp đồng

BKHTN Ban khoa học tự nhiên

KNV Kiểu nhiệm vụ

TLHDGD Tài liệu hướng dẫn giảng dạy

ĐKXĐ Điều kiện xác định

[A] Toán cao cấp, tập 2: Phép tính vi phân- Các hàm thông dụng, Guy Lefort

[B] Les Logarithmes et leurs applications, André Delachet

[C] Đại số và giải tích 11, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, 2000, NXBGD

[M] Giải Tích 12 nâng cao, BKHTN, Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, 2008, NXBGD

MỞ ĐẦU

I. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát.

Lũy thừa là một đối tượng toán học được đưa vào từ đầu cấp hai và kết thúc ở cuối cấp 3,

mặc dù số lượng và nội dung của nó rất ít nhưng nó có một vai trò rất lớn trong chương trình toán.

Chúng tôi đặc biệt quan tâm đến lũy thừa bởi những lý do sau đây:

- Qua các lần cải cách giáo dục thì mở rộng khái niệm lũy thừa vẫn được đưa vào đầu

chương: hàm số mũ-hàm số lôgarit, sau khi học giới hạn. Điều đó dẫn chúng tôi đến câu hỏi: Có hay

không sự phụ thuộc của lũy thừa vào giới hạn? Lũy thừa có vai trò gì trong việc nghiên cứu hàm mũ

và hàm lôgarit?

- Ở chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000 thì mở rộng khái niệm lũy thừa được đưa vào

sau chương giới hạn và trước chương đạo hàm, nhưng sang chương trình cải cách năm 2005 thì nó

được đưa vào chương trình lớp 12 sau khi đã học xong chương “đạo hàm và các ứng dụng của đạo

hàm”. Sự thay đổi này có ý nghĩa như thế nào? Tại sao lại có sự thay đổi đó? Tiến trình đưa vào

khái niệm lũy thừa qua hai bộ SGK có gì thay đổi hay không? Khi học khái niệm lũy thừa học sinh

gặp phải những khó khăn gì?

- Sau khi tham khảo luận văn của tác giả Nguyễn Hữu Lợi và Phạm Trần Hoàng Hùng, tôi

thấy khái niệm lũy thừa, hàm mũ và hàm lôgarit có mối quan hệ mật thiết với nhau. Đồng thời, mở

rộng khái niệm lũy thừa có thể đưa vào sau khái niệm hàm mũ và hàm lôgarit. Từ đó, chúng tôi đặt

ra câu hỏi: tại sao SGK hiện hành lại chọn tiến trình ngược lại? Ý nghĩa của tiến trình đó là gì?

- Có những tương đồng và khác biệt gì về sự xuất hiện cũng như vai trò của lũy thừa trong

chương trình đại học và trong chương trình phổ thông ?

2. Mục đích nghiên cứu và khung lý thuyết tham chiếu.

Mục đích nghiên cứu của luận văn này là tìm câu trả lời cho một số câu hỏi đặt ra ở trên.

Để tìm kiếm câu trả lời, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết didactic

toán. Cụ thể:

- Lý thuyết nhân chủng học: Quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một tri thức toán

học, tổ chức toán học, chuyển đổi didactic.

- Hệ sai lầm và khái niệm chương ngại.

- Lý thuyết tình huống: Hợp đồng didactic, biến didactic…

 Lý thuyết nhân chủng học

Ở đây, chúng tôi chỉ mô tả ngắn gọn hai khái niệm cần tham chiếu của lý thuyết nhân chủng

học để tìm câu trả lời cho những câu hỏi đặt ra.

 Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân đối với một tri thức

Quan hệ thể chế:

Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà thể chế I có với

tri thức O. Nó cho biết O xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì … trong I ?

Quan hệ cá nhân:

Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà cá nhân X có

với tri thức O. Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao tác O ra sao ?

Việc học tập của cá nhân X đối với tri thức O chính là quá trình thiết lập hay điều chỉnh mối

quan hệ (X,O). Hiển nhiên, đối với một tri thức O, quan hệ của thể chế I mà cá nhân X là một thành

phần, luôn luôn để lại một dấu ấn trong quan hệ R(X,O). Muốn nghiên cứu R(X,O), ta cần đặt nó

trong R(I,O).

 Tổ chức toán học

Hoạt động toán học là một bộ phận của các hoạt động trong một xã hội; thực tế toán học cũng

là một kiểu thực tế xã hội nên cần xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó.

Chính trên quan điểm này mà Yves Chevallard (1998) đã đưa ra khái niệm praxéologie.

Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần [T,,,], trong đó T là một

kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật cho phép giải quyết T;  là công nghệ giải thích cho kỹ thuật ;  là lý

thuyết giải thích cho công nghệ .

Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một TCTH.

Bosch M. và Y. Chevallard (1999) nói rõ: “Mối quan hệ thể chế với một đối tượng, đối với một

vị trí thể chế xác định, được định hình và biến đổi bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân

chiếm vị trí này phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định. Chính việc thực hiện những nhiệm

vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó

nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn đến làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với

đối tượng nói trên”.

Do đó, việc phân tích TCTH liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép ta vạch rõ mối quan

hệ R(I,O) của thể chế I đối với tri thức O, từ đó hiểu được quan hệ cá nhân X (chiếm một vị trí nào

đó trong I – giáo viên hay học sinh chẳng hạn) duy trì đối với tri thức O.

Việc chỉ rõ các TCTH liên quan đến tri thức O cũng giúp ta xác định một số quy tắc của hợp

đồng didactic: mỗi cá nhân có quyền làm gì, không có quyền làm gì, có thể sử dụng tri thức O như

thế nào chẳng hạn.

 Chuyển đổi didactic

Quá trình chuyển đổi thể hiện ở 3 mắc xích sau:

 Mắt xích thứ nhất :  đối tượng tri thức (thể chế tạo tri thức)

Sự tồn tại của một “tri thức khoa học” đã đòi hỏi một sự soạn thảo. Ta có thể xem nó như kết quả

của một hoạt động khoa học. Đây là một hoạt động của con người, gắn liền với lịch sử cá nhân nhà

nghiên cứu. Nhà nghiên cứu đặt ra một vấn đề. Để giải quyết nó, ông ta phải khám phá ra những

kiến thức, mà một số trong những kiến thức này được nhà nghiên cứu nhận thấy là đủ mới, đủ hay,

có thể thông báo cho cộng đồng khoa học. Để thông báo, nhà nghiên cứu tạo cho những kiến thức

này một dạng khái quát nhất có thể được, theo quy tắc suy lý logic đang lưu hành trong cộng đồng

khoa học. Sự biến đổi kiến thức như vậy là một phần rất quan trọng của hoạt động toán học.

«Một nhà nghiên cứu, để thông báo cho những nhà nghiên cứu khác cái mà ông ta nghĩ rằng đã tìm

thấy, phải biến đổi nó :

- trước hết nhà nghiên cứu xóa đi thời kỳ khai thủy của nghiên cứu : những suy nghĩ vô ích, những

sai lầm, những con đường vòng lắt léo, rất dài, thậm chí dẫn đến ngõ cụt. Nhà nghiên cứu cũng bỏ

đi tất cả những gì liên quan đến động cơ cá nhân hay nền tảng hệ tư tưởng của khoa học theo nhận

thức của mình. Chúng tôi dùng từ phi cá nhân hóa để chỉ tập hợp những sự gạt bỏ này.

- nhà nghiên cứu cũng xóa đi lịch sử trước đó đã dẫn mình đến nghiên cứu này (những mò mẫm,

những con đường sai lầm), có khi còn tách nó ra khỏi bài toán đặc biệt mà lúc đầu mình muốn

nghiên cứu và tìm một bối cảnh tổng quát nhất sao cho trong đó kết quả vẫn đúng. Chúng tôi gọi

việc làm này là phi hoàn cảnh hóa.» (Arsac 1989)

 Mắt xích thứ hai : đối tượng tri thức  đối tượng cần giảng dạy (thể chế chuyển đổi)

Để cho một tri thức có thể đưa ra dạy ở trường được, tức là có thể trở thành một đối tượng cần giảng

dạy, thì điều cần thiết là tri thức đó phải chịu một số ràng buộc nào đó.

Sau đây là danh sách mà Chevallard đã đưa ra (1985, theo Verret 1975) :

- Tính đơn nhất của tri thức [nghĩa là khả năng vạch ranh giới những tri thức bộ phận có thể được

trình bày trong một bài diễn văn tự do]

- tính phi cá nhân hóa của tri thức [nghĩa là sự tách rời tri thức ra khỏi cá nhân]

- sự chương trình hóa việc tiếp thu tri thức [nghĩa là lập chương trình cho việc dạy và kiểm tra tri

trức]

- tính công khai của tri thức [nghĩa là định nghĩa tường minh trong nội hàm và ngoại diên].

 Mắt xích thứ ba : đối tượng cần giảng dạy  đối tượng được giảng dạy (thể chế dạy

học)

Chính ở bước này mà giáo viên can thiệp : chuyển đổi didactic được tiếp tục trong chính hệ thống

dạy học.

 Hệ sai lầm và khái niệm chương ngại

Theo Brousseau, nếu có những sai lầm nào đó của học sinh mang tính hời hợt, hết sức riêng

biệt, thì cũng có những sai lầm khác khiến chúng ta phải quan tâm, đó chính là những sai lầm không

phải ngẫu nhiên học sinh phạm phải.

Sai lầm không chỉ đơn giản là do thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra, mà còn là hậu

quả một kiến thức trước đây đã từng tỏ ra có ích, đem lại thành công, nhưng bây giờ lại tỏ ra sai

hoặc đơn giản là không còn thích hợp nữa. Những sai lầm dạng này không phải thất thường hay

không dự đoán được trong hoạt động của học sinh, sai lầm bao giờ cũng góp phần xây dựng nên

nghĩa của kiến thức thu nhận được. Thêm vào đó, những sai lầm ấy, ở cùng một chủ thể, thường liên

hệ với nhau trong một nguồn gốc chung: một cách nhận thức, một quan niệm đặc trưng nhất quán￾nếu không nói là đúng đắn, một “kiến thức” cũ đã từng đem lại thành công trong một lĩnh vực hoạt

động nào đó.

Đặc trưng của chướng ngại là gì?

 Chướng ngại là một kiến thực, một quan niệm chứ không phải là một khó khăn hay một sự

thiếu kiến thức

 Kiến thức này tạo ra những câu trả lời phù hợp trong bối cảnh nào đó mà ta thường hay gặp

 Nhưng khi vượt ra khỏi bối cảnh này thì nó sản sinh những câu trả lời sai. Để có câu trả lời

đúng cho mọi bối cảnh cần phải có những thay đổi đáng kể trong quan điểm.

 Hơn nữa kiến thức này chống lại những mâu thuẫn với nó và chống lại sự thiết lập một kiến

thức hoàn thiện hơn. Việc có một kiến thức khác hoàn thiện hơn chưa đủ để kiến thức sai này

biến mất, mà nhất thiết phải xác định được nó và đưa việc loại bỏ nó vào tri thức mới.

 Ngay cả khi chủ thể ý thức được sự không chính xác của kiến thức chướng ngại này, nó cũng

tiếp tục xuất hiện dai dẳng và không đúng lúc.

 Lý thuyết tình huống

Trong phần này, chúng tôi cũng chỉ đề cập đến khái niệm cần tham chiếu là hợp đồng didactic.

Hợp đồng didactic

Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng tri thức là sự mô hình hóa các quyền lợi và

nghĩa vụ của giáo viên cũng như của học sinh đối với đối tượng đó. Nó là một tập hợp những quy

tắc (thường không được phát biểu tường minh) phân chia và giới hạn trách nhiệm của mỗi thành

viên, học sinh và giáo viên, về một tri thức toán học được giảng dạy.

Khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta giải thích các ứng xử của giáo viên và học sinh, tìm

ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một cách rõ ràng và chính

xác những sự kiện quan sát được trong lớp học.

Theo Annie BESSOT và Claude COMITI (2000), để thấy được hiệu ứng của các hợp đồng

didactic, người ta có thể tiến hành như sau:

 Tạo ra một biến loạn trong hệ thống giảng dạy sao cho có thể đặt những thành viên chính (giáo

viên và học sinh) trong một tình huống khác lạ, được gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng bằng cách:

+ Thay đổi các điều kiện sử dụng tri thức;

+ Lợi dụng việc học sinh chưa biết vận dụng một số tri thức nào đó;

+ Tự đặt mình ra ngoài lĩnh vực tri thức đang xét hoặc sử dụng những tình huống mà tri thức

đang xét không giải quyết được;

+ Làm cho giáo viên đối mặt với những ứng xử không phù hợp với điều mà họ mong đợi ở

học sinh.

 Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại, bằng cách:

+ Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học;

+ Phân tích các đánh giá toán học của học sinh trong việc sử dụng tri thức;

+ Phân tích những bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong sách giáo khoa.

Đặc biệt, ta cũng có thể nhận ra một số yếu tố của hợp đồng didactic đặc thù cho tri thức bằng

cách nghiên cứu những tiêu chí hợp thức hóa việc sử dụng tri thức, việc sử dụng tri thức đó không

chỉ được quy định bởi các văn bản hay định nghĩa của tri thức mà còn phụ thuộc vào tình huống vận

dụng tri thức, vào những ước định được hình thành (trên cơ sở mục tiêu didactic) trong quá trình

giảng dạy. Những tiêu chí xác định tính hợp thức của tri thức trong tình huống này không còn phụ

thuộc vào bản thân tri thức nữa mà phụ thuộc vào các ràng buộc của hệ thống didactic.

Bất kỳ việc dạy một đối tượng tri thức mới nào cũng tạo ra những phá vỡ hợp đồng so với đối

tượng tri thức cũ và đòi hỏi thương lượng lại những hợp đồng mới: học tập là quá trình học sinh làm

quen với giá trị của những sự phá vỡ này thông qua thương lượng với giáo viên. Theo Brousseau, sự

thương lượng này tạo ra một loại trò chơi có luật chơi ổn định tạm thời, cho phép các thành viên