Kết quả cải tỉến sơ đồ chia miền đối với bài toán song điều hòa

T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008

38

KÕt qu¶ c¶i tiÕn s¬ ®å chia miÒn ®èi víi bµi to¸n song ®iÒu hßa

Vò Vinh Quang – Tr−¬ng Hµ H¶i (Khoa C«ng nghÖ Th«ng tin - §H Th¸i Nguyªn)

Më ®Çu

Ph−¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hoµ ® ®−îc mét sè t¸c gi¶ trªn thÕ giíi

vµ trong n−íc quan t©m. Trªn c¬ së c¸c kÕt qu¶ ®¹t ®−îc khi nghiªn cøu ph−¬ng ph¸p chia miÒn

®èi víi c¸c bµi to¸n biªn elliptic cÊp hai, trong [1, 2] ® ®Ò xuÊt s¬ ®å chia miÒn gi¶i bµi to¸n

song ®iÒu hoµ, c¸c kÕt qu¶ nµy ® ®−îc chøng minh chÆt chÏ b»ng lý thuyÕt vµ kiÓm tra b»ng

thùc nghiÖm tÝnh to¸n. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i sÏ tr×nh bµy kÕt qu¶ khi c¶i tiÕn s¬ ®å chia

miÒn ®èi víi bµi to¸n song ®iÒu hoµ víi môc ®Ých t¨ng tèc ®é héi tô cña ph−¬ng ph¸p.

1. Ph−¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hoµ

XÐt bµi to¸n

2

0

1,

, 0, ,

, ,

u c u du f c x

u g x

u g x



∆ − ∆ + = ≥ ∈ Ω





 = ∈ ∂Ω







 ∆ = ∈ ∂Ω 

(1)

trong ®ã n Ω ∈ R , ∂Ω lµ biªn Lipschitz,

2

f L ⊂ Ω( )

,

0 1 g g,

lµ c¸c hµm sè cho tr−íc. Bµi to¸n

(1) ®−îc gäi lµ bµi to¸n song ®iÒu hoµ tæng qu¸t. Tuú thuéc vµo c¸c hÖ sè c d,

chóng ta xÐt hai

d¹ng bµi to¸n c¬ b¶n:

Bµi to¸n biªn thø nhÊt:

2

0

1,

, 0, ,

, ,

.

u c u f c x

u g x

u g x



∆ − ∆ = ≥ ∈Ω





 = ∈∂Ω







 ∆ = ∈∂Ω  (2)

Bµi to¸n biªn thø hai:

2

0

1,

, 0, 0, ,

, ,

.

u c u du f c d x

u g x

u g x



∆ − ∆ + = ≥ ≠ ∈Ω





 = ∈∂Ω







 ∆ = ∈∂Ω  (3)

Trªn c¬ së cña ph−¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i ph−¬ng tr×nh elliptic cÊp hai víi t− t−ëng x¸c

®Þnh gi¸ trÞ ®¹o hµm trªn biªn ph©n chia kÕt hîp víi ph−¬ng ph¸p ph©n r bµi to¸n song ®iÒu hoµ

vÒ hai bµi to¸n biªn elliptic cÊp hai, trong [1, 2] ® ®−a ra ph−¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n

song ®iÒu hoµ nh− sau: XÐt bµi to¸n (1), chia miÒn 1 2 1 2 Ω = Ω ∪ Ω Ω ∩ Ω = ∅ ,

, kÝ hiÖu

1 2 1 1 2 2 Γ = ∂Ω ∩ ∂Ω Γ = ∂Ω Γ Γ = ∂Ω Γ , \ , \ , i

u lµ nghiÖm trong miÒn Ωi

, i i ϕ = −du ,

( 1,2) i i v u i = ∆ = ,

1 1

1 1

,

v u ξ η

ν ν Γ Γ

∂ ∂ = = ∂ ∂ trong ®ã ν i

lµ vect¬ ph¸p tuyÕn ngoµi cña miÒn Ωi

,

(H×nh 1)

Ω2 Γ Ω1

Ω2

Γ

Ω1