Kết hợp một phương pháp tuyến tính đa bước và phương pháp bdf để giải số phương trình vi phân.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN

− − − ? − − −

HOÀNG THỊ THÚY HẠNH

KẾT HỢP MỘT PHƯƠNG PHÁP

TUYẾN TÍNH ĐA BƯỚC VÀ

PHƯƠNG PHÁP BDF ĐỂ GIẢI

SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chuyên ngành: Cử Nhân Toán

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn

Th.S NGUYỄN HOÀNG THÀNH

Đà Nẵng, 5/2012

Mục lục

Lời nói đầu 4

1 Một số kiến thức liên quan 6

1.1 Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Cách tiếp cận lời giải số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Cấp chính xác của phương pháp số . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Sự hội tụ của một phương pháp số . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Tính phù hợp của một phương pháp số . . . . . . . . . . . 10

1.5.1 Đa thức đặc trưng thứ nhất . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.2 Khái niệm tính phù hợp của phương pháp số . . . . 11

1.6 Tính zero ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7 Phương pháp lặp đơn giải phương trình phi tuyến . . . . . 14

1.8 Phép nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.9 Phương trình Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.9.1 Dạng chính tắc của phương trình Riccati. . . . . . . 17

1.9.2 Dạng đặc biệt của phương trình Riccati. . . . . . . . 17

1.10 Phương pháp Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Các phương pháp tuyến tính đa bước và phương pháp BDF 20

2.1 Các phương pháp tuyến tính đa bước . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1 Khái niệm chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.2 Tính zero ổn định của phương pháp tuyến tính đa

bước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.3 Tính phù hợp của phương pháp tuyến tính đa bước . 22

− 2 −

2.1.4 Sự hội tụ của phương pháp tuyến tính đa bước . . . 24

2.1.5 Cấp chính xác của phương pháp tuyến tính đa bước 25

2.2 Một số phương pháp tuyến tính đa bước hiển . . . . . . . . 27

2.2.1 Phương pháp Adams-Bashforth . . . . . . . . . . . . 27

2.2.2 Phương pháp trung điểm . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.3 Phương pháp tuyến tính 2 bước hiển . . . . . . . . . 31

2.3 Phương pháp BDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.1 Phát biểu công thức BDF . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.2 Xét sự hội tụ và cấp chính xác của phương pháp

BDF 2 bước, 3 bước, 4 bước . . . . . . . . . . . . . 38

3 Sử dụng phương pháp tuyến tính đa bước và phương pháp

BDF vào giải số phương trình vi phân 42

3.1 Kết hợp phương pháp tuyến tính 2 bước và phương pháp

BDF 2 bước vào giải số PTVP . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.1 Kết hợp phương pháp Adams-Bashforth 2 bước và

BDF 2 bước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.2 Kết hợp phương pháp trung điểm và BDF 2 bước . . 52

3.1.3 Kết hợp phương pháp tuyến tính 2 bước và BDF 2

bước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2 Kết hợp phương pháp tuyến tính 2 bước và phương pháp

BDF 3 bước vào giải số PTVP . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2.1 Kết hợp phương pháp Adams-Bashforth 2 bước và

phương pháp BDF 3 bước . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2.2 Kết hợp phương pháp trung điểm và BDF 3 bước . . 75

3.2.3 Kết hợp phương pháp tuyến tính 2 bước và BDF 3

bước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Phụ lục 93

Kết luận 106

Tài liệu tham khảo 107

− 3 −

Lời nói đầu

Đa số các bài toán khoa học kỹ thuật đều được đưa về (hệ) phương

trình vi phân thường cùng với điều kiện biên và điều kiện ban đầu. Nghiệm

đúng của chúng thường chỉ áp dụng cho một số lớp bài toán rất hạn chế,

đa số các bài toán là phải tìm nghiệm gần đúng. Có hai loại bài toán

(1) Bài toán Cauchy hay còn gọi là bài toán giá trị ban đầu, bao gồm

(hệ) phương trình vi phân và điều kiện ban đầu của bài toán.

(2) Bài toán biên, bao gồm (hệ) phương trình vi phân và điều kiện biên.

Mặc dù đã có lịch sử phát triển hàng trăm năm, do còn nhiều bài toán

cần giải quyết, giải số phương trình vi phân thường vẫn thu hút sự quan

tâm mạnh mẽ của các nhà toán học và các nhà nghiên cứu ứng dụng.

Trong giải số phương trình vi phân, người ta thường cố gắng tìm ra

những phương pháp hữu hiệu bảo đảm sự hội tụ, tính ổn định và tính

chính xác cao. Để làm được điều này, người ta thường kết hợp các phương

pháp tuyến tính đa bước để nhận được các phương pháp mới có tính ổn

định, sự hội tụ và cấp chính xác cao hơn.

Mục đích của khóa luận là kết hợp một phương pháp tuyến tính đa

bước với phương pháp BDF để giải số phương trình vi phân nhằm tìm ra

một phương pháp tốt nhất, cho nghiệm chính xác nhất.

Bố cục của khóa luận bao gồm 3 chương và một phụ lục

• Chương 1 Trình bày một số khái niệm cơ bản giải số phương trình vi

phân.

• Chương 2 Trình bày các phương pháp tuyến tính đa bước hiển và

phương pháp BDF.

− 4 −

• Chương 3 Sử dụng phương pháp tuyến tính đa bước và phương pháp

BDF vào giải số phương trình vi phân.

• Phụ lục trình bày code được lập trình trên Maple.

Trong thời đại tin học hiện nay thì việc áp dụng các phương pháp tính

càng trở nên phổ biến nhằm tăng tốc độ tính toán và cho độ chính xác cao.

Để minh họa và kiểm chứng lý thuyết, em đã sử dụng phần mềm MAPLE

để lập trình và tính toán cho một số các bài toán cụ thể.

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng

biết ơn sâu sắc đến Thầy Nguyễn Hoàng Thành người đã tận tình hướng

dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này.

Em xin tỏ lòng cám ơn đến thầy Tôn Thất Tú, đã hướng dẫn tận tình,

giúp em trong việc làm quen với Maple. Bên cạnh đó, em cũng xin cảm

ơn ban chủ nhiệm , các thầy cô và các cán bộ khoa Toán, trường Đại Học

Sư Phạm, Đại Học Đà Nẵng đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ em trong

suốt quá trình học tập tại trường.

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế

nên khi thực hiện khóa luận không tránh khỏi những sai sót. Em mong

nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn

đọc. Xin chân thành cảm ơn!

Đà Nẵng, ngày 19 tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Hoàng Thị Thúy Hạnh

,

− 5 −

Chương 1

Một số kiến thức liên quan

1.1 Bài toán Cauchy

Trong khóa luận này, chúng ta chỉ đề cập đến phương pháp số để giải

các bài toán tìm giá tri ban đầu. Phương trình vi phân cấp cao hay hệ

phương trình vi phân luôn có thể được viết dưới dạng hệ phương trình vi

phân bậc nhất và ta luôn luôn giả sử điều đó đã được thực hiện. Bài toán

giá trị ban đầu hay còn gọi bài toán Cauchy có dạng







y

0 = f(x, y)

y(a) = η

(1.1)

trong đó f : [a, b]×R

m → R

m , y : [a, b] → R

m , η = (y1(a), y2(a), ...., yn(a))

cho trước.

Định lý 1.1. (Xem [11]) Cho f : [a, b] × R

m → R

m là ánh xạ liên tục

trên D = [a, b] × R

m và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y, nghĩa là

tồn tại L ≥ 0 sao cho

k f(x, y) − f(x, y1) k≤ L k y − y1 k ∀(x, y), (x, y1) ∈ D .

Khi đó bài toán Cauchy (1.1) tồn tại duy nhất nghiệm y(x) liên tục và có

đạo hàm trên D.

− 6 −

1.2 Cách tiếp cận lời giải số

Tất cả các phương pháp số mà chúng ta đề cập trong khóa luận đều sử

dụng để tìm nghiệm của bài toán Cauchy trên một tập rời rạc của [a, b].

Để làm việc đó ta chia nhỏ đoạn [a, b] ra thành tập các điểm {xi}

N

i=0 cho

bởi







xi = a + ih

i = 0, 1, 2..., N

h =

b − a

N

tham số h được gọi là độ dài bước nhảy. Giả sử y(x) là nghiệm của hệ

(1.1). Gọi yn là xấp xỉ của y(xn). Kí hiệu

yn ≈ y(xn). (1.2)

Mục đích của chúng ta là tìm ra một phương pháp hữu hiệu để tính dãy

giá trị {yn}

N

n=0 là xấp xỉ nghiệm của (1.1) trên tập điểm rời rạc {xn}

N

n=0.

Phương pháp số để giải bài toán (1.1) là một hệ sai phân của k + 1 giá

trị xấp xỉ {yn+i}

k

i=1 của {y(xn+i)}

k

i=1 để từ đó ta có thể tính tuần tự các

giá trị {yi}

N

i=1 nếu biết k giá trị ban đầu. Và k được gọi là số bước của

phương pháp.

Nếu k = 1 thì phương pháp được gọi là phương pháp một bước.

Nếu k > 1 thì phương pháp được gọi là phương pháp đa bước hay

k-bước.

Ví dụ 1.1. Phương pháp

yn+1 = 2yn−1 − yn +

h

4

(f(xn+1, yn+1) + 8f(xn, yn) + 3f(xn−1, yn−1))

là phương pháp hai bước ẩn.

Ví dụ 1.2. Phương pháp

yn+1 = yn +

h

3

(3f(xn, yn) − 2f(xn−1, yn−1))

là phương pháp hai bước hiển.

− 7 −

Ví dụ 1.3. Phương pháp số

yn+1 =

3

4

yn−2 +

1

2

yn−1 −

1

4

yn +

h

8

(19f(xn, yn) + 5f(xn−2, yn−2))

là phương pháp ba bước.

Ví dụ 1.4. Phương pháp số hai bước

yn+1 = yn−1 + h (f(xn+1, y∗

n+1) + f(xn−1, yn−1))

với

y

∗

n+1 = 3yn − 2yn−1 +

h

2

(f(xn, yn) − 3f(xn−1, yn−1))

Ví dụ 1.5. Phương pháp Adams hai bước

yn+1 = yn + h



3

2

f(xn, yn) −

1

2

f(xn−1, yn−1)



Ví dụ 1.6. Phương pháp Euler hiển.

yn+1 = yn + hf(xn, yn)

Áp dụng cho bài toán







y

0 = y

y(0) = 1

với h =

1

2

Ta có kết quả như sau: y1 = y0 + f(x0, y0) = 1 + 1

2

= 1, 5

y2 = y1 + f(x1, y1) = 1.5 + 1.5

1

2

= 2.25

y3 = y2 + f(x2, y2) = 2.25 +

1

2

2.25 = 3.375

y4 = y3 + f(x3, y3) = 3.375 +

1

2

3.375 = 5.0625

Tất cả các ví dụ trên và cả những phương pháp được đề cập trong khóa

luận này đều có thể được viết dưới dạng tổng quát sau

yn+1 =

X

k

j=1

αjyn+1−j + hφf (yn+1,yn, ..., yn+1−k, xn+1−k, h) (1.3)

Nếu φf không phụ thuộc vào yn+1 thì ta gọi phương pháp số (1.3) là

phương pháp hiển. Ngược lại nếu φf phụ thuộc vào yn+1 thì ta gọi (1.3)

là phương pháp ẩn.

− 8 −

1.3 Cấp chính xác của phương pháp số

Phương pháp số (1.3) được gọi là phương pháp số có cấp chính xác p

nếu

y(xn+1) −

X

k

j=1

αjy(xn+1−j ) − hφf (y(xn+1),y(xn), ..., y(xn+1−k), xn+1−k, h)

= o(h

p+1).

Ví dụ 1.7. Phương pháp Euler

yn+1 = yn + hf(xn, yn)

có cấp chính xác bằng một. Để có được kết quả này, ta sẽ thực hiện như

sau.

Giả thiết yn+1 = y(xn+1), yn = y(xn).

Khai triển Taylor đối với y(x) tại x = xn ta có

y(xn+1) = y(xn + h)

= y(xn) + hy0

(xn) + ε(h).h

trong đó ε(h) là vô cùng bé khi h → 0

⇒ y(xn+1) − y(xn) − hf(xn, y(xn)) = h.y0

(xn) + ε(h).h − h.f(xn, y(xn))

= ε(h).h = o(h

2

) = o(h

1+1).

trong đó o(h

2

) là vô cùng bé cùng cấp với h

2

khi h → 0

Suy ra phương pháp Euler có cấp chính xác là một.

1.4 Sự hội tụ của một phương pháp số

Giả sử các xấp xỉ nghiệm tại x0, x1, ..., xn ∈ [a, b] của bài toán Cauchy

(1.1) cho bởi phương pháp số (1.3) với giá trị ban đầu thích hợp.

yµ = ηµ(h), µ = 0, 1, ..., k − 1.

− 9 −

Định nghĩa 1.1. (xem [11]) Phương pháp số (1.3) được gọi là hội tụ nếu

lim

h → 0

yn = y(xn)

với xn = a + nh, ∀x ∈ [a, b] nghiệm {yn} của hệ sai phân (1.3) thỏa mãn

điều kiện yµ = ηµ(h), với lim ηµ(h) = µ, µ = 0, 1, ..., k − 1

Một định nghĩa tương đương khác về sự hội tụ.

Định nghĩa 1.2. (xem [11]) Phương pháp số cho bởi (1.3) được gọi là hội

tụ nếu

max

0≤n≤N

ky(xn) − ynk → 0 khi h → 0.

1.5 Tính phù hợp của một phương pháp số

1.5.1 Đa thức đặc trưng thứ nhất

Xét phương pháp tổng quát (1.3)

yn+1 =

X

k

j=1

αjyn+1−j + hφf (yn+1,yn, ..., yn+1−k, xn+1−k, h).

Khi đó đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp số (1.3) được định

nghĩa là

ρ (ξ) = ξ

k −

X

k

j=1

αjξ

k−j

= ξ

k − (αk + αk−1ξ + αk−2ξ

2 + ... + α1ξ

k−1

)

với ξ ∈ C là một biến số.

− 10 −