HSG Khoi 12 nam 08 - 09 (co DA)

Trêng THPT cÈm thuû I ®Ò thi chän häc sinh giái cÊp trêng líp 12

n¨m häc 2008-2009 M«n : To¸n

Thêi gian 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò

C©u 1: (2,5 ®iÓm)

Cho hµm sè y = (m+3)x3 - 3(m+3)x2 - (6m+1)x + m + 1 (Cm)

a) T×m m ®Ó hµm sè lu«n lu«n ®ång biÕn?

b) Chøng minh r»ng: hä ®êng (Cm) cã 3 ®iÓm cè ®Þnh th¼ng hµng.

C©u 2 : (3,0 ®iÓm)

Cho (C): y=

2

x 1

x

+

, M lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C), (d) lµ tiÕp tuyÕn víi (C) t¹i M, (d)

c¾t c¸c ®êng tiÖm cËn cña (C) t¹i A vµ B. Chøng minh r»ng:

a) M lµ trung ®iÓm cña AB.

b)T×m diÖn tÝch tam gi¸c OAB.

C©u 3 : (1,5®iÓm)

Gi¶i hÖ















= +

= +

x

y x

y

x y

1

2

1

2

2

2

C©u 4: (1,5 ®iÓm)

Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2

1 cos

tan

1 sin

x

x

x

−

=

−

C©u 5: (2,0 ®iÓm)

T×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh: mx x m − − ≤ + 3 1 cã nghiÖm?

C©u 6: (2,0 ®iÓm)

Cho∆ABC. Chøng minh r»ng: cot 2

A

, cot 2

B

, cot 2

C

theo thø lËp thµnh cÊp sè

céng khi vµ chØ khi: sinA, sinB, sinC còng theo thø tù nµy lËp thµnh cÊp sè céng.

C©u 7: (1,5 ®iÓm)

Chøng minh r»ng: 2 1 1 0

1

( 1) ... 2 2

− − −

+ − + + + =

n n

n

n

n n

n nC n C C C n víi

*

n N ∈

C©u 8: (2,0 ®iÓm)

T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè nguyªn (a;b) sao cho: asinx + b = sin(ax+b) ®óng víi mäi

x thùc?

C©u 9: (2,0 ®iÓm)

Cho a,b,c >0. Chøng minh r»ng: a b c a b c

a b b c c a b c c a a b

+ + < + +

+ + + + + +

.

C©u 10: (2,0 ®iÓm)

Cho d·y v« h¹n { un } , n =1, 2, 3, ... x¸c ®Þnh nh sau:

1

1

1 2

1

1 ...

n n

u

u u u u +

 =



 = + 

víi n =1, 2, 3, ... ®Æt

1

1

n

n

k k

S

= u

= ∑ . T×m lim n

n

S

→∞