học sinh giỏi toán 12

SỞ GD-ðT BẮC NINH

TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2

--------------------------

Năm học 2013-2014

ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

MÔN THI: TOÁN HỌC - LỚP 12

Thời gian làm bài: 150 phút

--------------------------

Bài 1 (4.0 ñiểm):

Cho hàm số

3

y x x = − + − 3 2 có ñồ thị ( ) C trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy.

1) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị ( ) C biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm M( 2;0). −

2) Gọi ∆ là ñường thẳng có hệ số góc là m và ñi qua ñiểm N( 1; 4). − − Tìm m ñể

∆ cắt ( ) C tại ba ñiểm phân biệt có hoành ñộ 1 2 3 x x x , , thỏa mãn 2 2 2

1 2 3 x x x + + ≤ 6.

Bài 2 (3.0 ñiểm):

1) Giải phương trình lượng giác 2 2 1 sin cos sin 1 1 cos sin .

2 2 2 2

x x x x

x

        + + = + +    

2) Giải hệ phương trình

( )

( )

( )

2

2

2

ln 1

ln 1 .

ln 1

y y

z z

x x

x e e y y

y e e z z

z e e x x

−

−

−



+ = − + + 





 + = − + +





+ = − + + 

Bài 3 (2.0 ñiểm):

Cho hình lập phương ABCD A B C D . ' ' ' ' có cạnh bằng 1. Giả sử E H K , , lần lượt là

trung ñiểm của các ñoạn thẳng BB CD A D ', , ' '.

1) Tính góc và khoảng cách giữa hai ñường thẳng chéo nhau EK và C H' .

2) Tính thể tích khối tứ diện C EHK ' .

Bài 4 (1.0 ñiểm):

Cho ba số thực dương a b c , , thỏa mãn 2013 2013 2013 2014 2014 2014 a b c a b c + + = + + .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 1 1 F .

ab bc ca

= + +

========== HẾT ==========