Hình học xạ ảnh và một số ứng dụng trong hình học sơ cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VĂN ĐỨC CHÍN

HÌNH HỌC XẠ ẢNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VĂN ĐỨC CHÍN

HÌNH HỌC XẠ ẢNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. NGÔ VĂN ĐỊNH

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

Mở đầu 5

1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 7

1.1 Mặt phẳng xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Mục tiêu và tọa độ xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3 Đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.4 Tỉ số kép trong P

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.5 Các đường bậc hai trong P

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Mục tiêu và tọa độ affine trong A

2

. . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2 Đường thẳng trong A

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3 Tỉ số kép trong A

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.4 Thể hiện affine của các đường cônic trong A

2

. . . . . . . . . . 11

1.3 Phép chiếu xuyên tâm và tính đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 Ánh xạ xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.2 Phép chiếu xuyên tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.3 Tính đối ngẫu trong mặt phẳng xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.4 Đối ngẫu của phép chiếu xuyên tâm . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Ứng dụng hình học xạ ảnh trong hình học sơ cấp 16

2.1 Một số kết quả hình học sơ cấp thu được từ các định lý trong mặt phẳng

xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.1 Định lý Papuýt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.2 Định lý Mênêlauýt và Định lý Xêva . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.3 Định lý Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3

2.1.4 Định lý Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Sáng tạo một số bài toán hình học sơ cấp từ các bài toán trong mặt

phẳng xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3 Ứng dụng của phép chiếu xuyên tâm và tính đối ngẫu . . . . . . . . . . 39

2.3.1 Bài toán đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3.2 Ứng dụng của phép chiếu xuyên tâm . . . . . . . . . . . . . . . 40

Kết luận 44

Tài liệu tham khảo 45

4