Hệ nhân tử trong nhóm phạm trù phân bậc

§¹i häc huÕ

Tr­êng ®¹i häc s­ ph¹m

ph¹m thÞ cóc

HÖ nh©n tö

trong nhãm ph¹m trï ph©n bËc

luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc

HuÕ - 2014

§¹i häc huÕ

Tr­êng ®¹i häc s­ ph¹m

ph¹m thÞ cóc

HÖ nh©n tö

trong nhãm ph¹m trï ph©n bËc

Chuyªn ngµnh: §¹i sè vµ lý thuyÕt sè

M· sè: 62. 46. 05. 01

luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc

Ng­êi h­íng dÉn khoa häc:

1. PGS. TS. NguyÔn TiÕn Quang

2. GS. TS. Lª V¨n ThuyÕt

HuÕ, 2014

Lêi cam ®oan

T«i xin cam ®oan ®©y lµ c«ng tr×nh nghiªn cøu cña t«i ®­îc viÕt chung víi c¸c ®ång

t¸c gi¶. Nh÷ng kÕt qu¶ viÕt chung víi c¸c t¸c gi¶ kh¸c ®· ®­îc sù nhÊt trÝ cña c¸c ®ång t¸c

gi¶ khi ®­a vµo luËn ¸n. C¸c sè liÖu, kÕt qu¶ ®­îc tr×nh bµy trong luËn ¸n lµ trung thùc vµ

ch­a tõng ®­îc ai c«ng bè trong bÊt kú c«ng tr×nh nµo kh¸c.

T¸c gi¶

Ph¹m ThÞ Cóc

1

Lêi c¶m ¬n

LuËn ¸n ®­îc hoµn thµnh d­íi sù h­íng dÉn cña PGS. TS. NguyÔn TiÕn Quang vµ GS.

TS. Lª V¨n ThuyÕt. Lêi ®Çu tiªn, em xin bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c nhÊt ®Õn

c¸c ThÇy. C¸c ThÇy kh«ng chØ truyÒn cho em niÒm ®am mª nghiªn cøu khoa häc, tËn t×nh

h­íng dÉn vµ gióp ®ì em vÒ mäi mÆt, mµ cßn dµnh cho em sù cæ vò vµ ®éng viªn trong

suèt qu¸ tr×nh häc tËp vµ nghiªn cøu cña m×nh.

T«i xin tr©n träng c¶m ¬n c¸c thÇy c« trong Khoa To¸n, Phßng Sau ®¹i häc - Tr­êng

§¹i häc s­ ph¹m - §¹i häc HuÕ, Ban ®µo t¹o sau ®¹i häc - §¹i häc HuÕ vµ c¸c thÇy c« trong

Bé m«n §¹i sè, Khoa Khoa häc tù nhiªn - Tr­êng §¹i häc Hång §øc - Thanh Hãa ®· t¹o

mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho t«i häc tËp, nghiªn cøu vµ hoµn thµnh ch­¬ng tr×nh nghiªn cøu

cña m×nh.

T«i còng xin göi lêi c¶m ¬n ®Õn Th¹c sü NguyÔn Thu Thñy v× nh÷ng sù gióp ®ì ch©n

thµnh.

Cuèi cïng, t«i muèn bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn gia ®×nh t«i v× nh÷ng sù ®ång c¶m,

®éng viªn vµ chia sÎ nh÷ng khã kh¨n trong suèt thêi gian t«i lµm nghiªn cøu sinh vµ hoµn

thµnh luËn ¸n nµy.

Ph¹m ThÞ Cóc

2

Môc lôc

1 Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ 16

1.1 Nhãm ph¹m trï (bÖn) ph©n bËc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.1 Nhãm ph¹m trï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.2 Nhãm ph¹m trï thu gän vµ c¸c t­¬ng ®­¬ng chÝnh t¾c . . . . . . . . . 17

1.1.3 Nhãm ph¹m trï ph©n bËc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.1.4 Nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.1.5 Hµm tö monoidal, t­¬ng ®­¬ng tù nhiªn monoidal . . . . . . . . . . . 19

1.2 Ann-ph¹m trï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.1 Ann-ph¹m trï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.2 Ann-hµm tö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.3 Ann-ph¹m trï thu gän . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Ph©n líp c¸c hµm tö monoidal kiÓu (ϕ, f) vµ øng dông 25

2.1 Ph©n líp ®èi ®ång ®iÒu c¸c hµm tö monoidal kiÓu (ϕ, f) . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Ph©n líp c¸c nhãm ph¹m trï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Ph©n líp c¸c nhãm ph¹m trï bÖn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4 Ph©n líp c¸c nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc bëi hÖ nh©n tö . . . . . . . . . . . 37

2.5 ¸p dông vµo bµi to¸n më réng nhãm cæ ®iÓn . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.5.1 Nhãm ph¹m trï cña mét h¹t nh©n trõu t­îng . . . . . . . . . . . . . . 45

2.5.2 Hµm tö monoidal vµ bµi to¸n më réng nhãm . . . . . . . . . . . . . . 49

3 Nhãm ph¹m trï chÆt chÏ vµ më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo 53

3.1 Nhãm ph¹m trï liªn kÕt víi mét m«®un chÐo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2 Ph©n líp c¸c m«®un chÐo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3 Bµi to¸n më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo: lý thuyÕt c¶n trë vµ ®Þnh lý ph©n líp 58

4 Nhãm ph¹m trï ph©n bËc chÆt chÏ vµ më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu Γ-m«®un

chÐo 65

4.1 Lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu nhãm ®¼ng biÕn cña Cegarra . . . . . . . . . . . . . 65

3

4.2 Nhãm ph¹m trï ph©n bËc thu gän vµ hµm tö monoidal ph©n bËc kiÓu (ϕ, f) . 66

4.2.1 X©y dùng nhãm ph¹m trï ph©n bËc thu gän th«ng qua ph¹m trï khung 67

4.2.2 X©y dùng nhãm ph¹m trï ph©n bËc thu gän b»ng ph­¬ng ph¸p hÖ nh©n

tö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2.3 Ph©n líp c¸c hµm tö monoidal ph©n bËc kiÓu (ϕ, f) . . . . . . . . . . 72

4.3 Γ-m«®un chÐo vµ nhãm ph¹m trï ph©n bËc liªn kÕt . . . . . . . . . . . . . . 73

4.4 Ph©n líp c¸c Γ-m«®un chÐo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.5 Bµi to¸n më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu Γ-m«®un chÐo: lý thuyÕt c¶n trë vµ

®Þnh lý ph©n líp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5 Ann-ph¹m trï chÆt chÏ vµ më réng vµnh kiÓu E-hÖ chÝnh qui 88

5.1 Lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu vµnh cña Mac Lane vµ Shukla . . . . . . . . . . . . 88

5.2 Song m«®un chÐo vµ E-hÖ chÝnh qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.3 Ph©n líp c¸c E-hÖ chÝnh qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.4 Më réng vµnh kiÓu E-hÖ chÝnh qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4

B¶ng ký hiÖu

Ký hiÖu

ObG

MorG

(0, g, d)

(1, l, r)

Π = π0G

A = π1G

SG

Hom(ϕ,f)

[S, S

0

]

(Π, A),(Π, A, k)

R

Γ

(Π, A, h)

(F, Fe)

(F, F , ˘ Fe)

(H, He),(G, Ge)

(HΓ, HeΓ),(GΓ, GeΓ)

(R, M),(R, M, h)

Hi

(Π, A)

Hi

Γ

(Π, A)

Hi

MacL(R, M)

Hi

Shu(R, M)

MA

Ext(Π, A, ψ)

M,(B, D, d, θ), B d

→ D

ExtB→D(Q, B, ψ)

ExtΓ

B→D(Q, B, ψ)

NghÜa

tËp c¸c vËt cña ph¹m trï G

tËp c¸c mòi tªn cña ph¹m trï G

rµng buéc ®¬n vÞ cña phÐp céng

rµng buéc ®¬n vÞ (cña phÐp nh©n)

tËp c¸c líp vËt ®¼ng cÊu cña G

tËp c¸c tù ®¼ng cÊu cña vËt ®¬n vÞ I

ph¹m trï thu gän cña ph¹m trï G

tËp c¸c líp ®ång lu©n c¸c hµm tö kiÓu (ϕ, f)

tõ S ®Õn S

0

nhãm ph¹m trï kiÓu (Π, A)

nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc kiÓu (Π, A)

hµm tö monoidal (Γ-ph©n bËc)

Ann-hµm tö

c¸c t­¬ng ®­¬ng monoidal chÝnh t¾c

c¸c t­¬ng ®­¬ng monoidal Γ-ph©n bËc chÝnh

t¾c

Ann-ph¹m trï kiÓu (R, M)

c¸c nhãm ®èi ®ång ®iÒu nhãm

c¸c nhãm ®èi ®ång ®iÒu nhãm ®¼ng biÕn

c¸c nhãm ®èi ®ång ®iÒu vµnh cña Mac Lane

c¸c nhãm ®èi ®ång ®iÒu vµnh cña Shukla

vµnh c¸c song tÝch cña vµnh A

tËp c¸c líp t­¬ng ®­¬ng c¸c më réng nhãm

(Γ-)m«®un chÐo, E-hÖ

tËp c¸c líp t­¬ng ®­¬ng c¸c më réng nhãm

kiÓu m«®un chÐo

tËp c¸c líp t­¬ng ®­¬ng c¸c më réng nhãm

®¼ng biÕn kiÓu Γ-m«®un chÐo

5

B¶ng thuËt ng÷

ThuËt ng÷

Ann-ph¹m trï

Ann-ph¹m trï chÆt chÏ

Ann-ph¹m trï chÝnh qui

Ann-ph¹m trï thu gän

Ann-hµm tö

Ann-hµm tö ®¬n

Ann-mòi tªn

Ann-t­¬ng ®­¬ng

Ann-t­¬ng ®­¬ng chÝnh t¾c

c¶n trë

®Ýnh

®iÒu kiÖn khíp

E-hÖ

E-hÖ chÝnh qui

hµm tö monoidal

hµm tö monoidal chÝnh qui

hµm tö monoidal ®èi xøng

hµm tö monoidal ph©n bËc

hµm tö monoidal ph©n bËc chÝnh qui

h¹t nh©n trõu t­îng

hÖ nh©n tö

hÖ nh©n tö chÝnh qui

gi¶ hµm tö

m«®un chÐo

m«®un chÐo ®¼ng biÕn

më réng nhãm ®¼ng biÕn

më réng tÝch chÐo

nhãm ph¹m trï

nhãm ph¹m trï chÆt chÏ

nhãm ph¹m trï bÖn

nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc

TiÕng Anh

Ann-category

strict Ann-category

regular Ann-category

reduced Ann-category

Ann-functor

single Ann-functor

Ann-morphism

Ann-equivalence

canonical Ann-equivalence

obstruction

stick

coherence condition

E-system

regular E-system

monoidal functor

regular monoidal functor

symmetric monoidal functor

graded monoidal functor

regular graded monoidal functor

abstract kernel

factor set

regular factor set

pseudo-functor

crossed module

equivariant crossed module

equivariant group extension

crossed product extension

categorical group

strict categorical group

braided categorical group

graded braided categorical group

6

nhãm ph¹m trï ph©n bËc

nhãm ph¹m trï ph©n bËc chÆt chÏ

nhãm pham trï rêi r¹c

nhãm ph¹m trï thu gän

ph¹m trï khung

ph¹m trï monoidal

ph¹m trï monoidal ®èi xøng

ph¹m trï Picard

ph©n bËc

rµng buéc

rµng buéc bÖn

rµng buéc ®¬n vÞ

rµng buéc giao ho¸n

rµng buéc kÕt hîp

song m«®un chÐo

song tÝch

song tÝch giao ho¸n

sù t­¬ng thÝch

tiÒn ®Ýnh

t­¬ng ®­¬ng ph¹m trï

t­¬ng ®­¬ng tù nhiªn monoidal

vËt

graded categorical group

strict graded categorical group

discrete categorical group

reduced categorical group

skeletal category

monoidal category

symmetric monoidal category

Picard category

graded

constraint

braided constraint

unit constraint

commutativity constraint

associativity constraint

crossed bimodule

bimultiplication

permutable bimultiplication

compatibility

pre-stick

categorical equivalence

monoidal natural equivalence

object

7

s¬ ®å mèi liªn hÖ gi÷a c¸c kh¸i niÖm, thuËt ng÷

Nhãm ph¹m trï

Nhãm ph¹m trï

ph©n bËc

Ann-ph¹m trï

❅

❅

❅

❅❅

￾

￾

￾

￾￾

3. Ann-ph¹m trï

2. Nhãm ph¹m trï

ph©n bËc

1. Nhãm ph¹m trï

Ann-ph¹m trï

chÆt chÏ

Nhãm ph¹m trï

ph©n bËc chÆt chÏ

Nhãm ph¹m trï

chÆt chÏ

E-hÖ chÝnh qui

Γ-m«®un chÐo

M«®un chÐo

Më réng vµnh

Më réng nhãm

®¼ng biÕn

Më réng nhãm

Më réng vµnh

kiÓu E-hÖ chÝnh qui

Më réng nhãm ®¼ng biÕn

kiÓu Γ-m«®un chÐo

Më réng nhãm

kiÓu m«®un chÐo

❅

❅

❅

❅❅

❅

❅

❅❅

❅

❅

❅

❅❅

￾

￾

￾

￾￾

￾

￾

￾

￾￾

￾

￾

￾

￾￾

✛

✛

✛

✲

✲

✲

✛

✛

✛

⊃

⊃

⊃

Më ®Çu

Kh¸i niÖm ph¹m trï monoidal (hay ph¹m trï tens¬) ®­îc ®Ò xuÊt bëi BÐnabou [44], S.

Mac Lane [26], G. M. Kelly [23], ... vµo ®Çu nh÷ng n¨m 60 cña thÕ kû tr­íc. §ã lµ mét

ph¹m trï C ®­îc trang bÞ mét song hµm tö ⊗ : C × C → C cã tÝnh kÕt hîp (sai kh¸c mét

®¼ng cÊu tù nhiªn) vµ mét vËt I võa lµ ®¬n vÞ tr¸i võa lµ ®¬n vÞ ph¶i ®èi víi phÐp to¸n ⊗

(còng sai kh¸c mét ®¼ng cÊu tù nhiªn). C¸c ®¼ng cÊu tù nhiªn kÕt hîp vµ ®¬n vÞ ph¶i tháa

m·n nh÷ng ®iÒu kiÖn khíp nhÊt ®Þnh ®Ó ®¶m b¶o r»ng tÊt c¶ c¸c biÓu ®å phï hîp lµ giao

ho¸n. NÕu c¸c ®¼ng cÊu nµy ®Òu lµ ®ång nhÊt th× ta nãi c¸c rµng buéc lµ chÆt chÏ, vµ ph¹m

trï ®ang xÐt lµ ph¹m trï monoidal chÆt chÏ. Mçi ph¹m trï monoidal ®Òu t­¬ng ®­¬ng víi

mét ph¹m trï monoidal chÆt chÏ. PhÐp to¸n tens¬ th«ng th­êng lµm cho c¸c kh«ng gian

vect¬, c¸c nhãm aben, c¸c R-m«®un hoÆc c¸c R-®¹i sè trë thµnh ph¹m trï monoidal. Do

®ã, ph¹m trï monoidal cã thÓ ®­îc xem nh­ tæng qu¸t hãa cña c¸c kh¸i niÖm nµy vµ nhiÒu

vÝ dô kh¸c.

Ph¹m trï monoidal ®­îc "mÞn hãa" ®Ó trë thµnh ph¹m trï víi cÊu tróc nhãm khi bæ

sung thªm kh¸i niÖm vËt kh¶ nghÞch. Trong tr­êng hîp ph¹m trï nÒn lµ mét groupoid (nghÜa

lµ mäi mòi tªn trong ph¹m trï ®Òu lµ ®¼ng cÊu) th× ta thu ®­îc mét líp ph¹m trï quan träng,

®ã lµ nhãm ph¹m trï. Mét nhãm ph¹m trï (hay Gr-ph¹m trï theo c¸ch gäi cña H. X. SÝnh

[50]) lµ mét ph¹m trï monoidal trong ®ã mäi mòi tªn ®Òu kh¶ nghÞch vµ mäi vËt ®Òu cã

nghÞch ®¶o yÕu (ë ®©y nghÞch ®¶o yÕu cña mét vËt X lµ mét vËt Y sao cho X ⊗Y vµ Y ⊗X

®Òu ®¼ng cÊu víi vËt ®¬n vÞ I). §Æc biÖt, mét nhãm ph¹m trï chÆt chÏ (theo c¸ch gäi cña

A. Joyal vµ R. Street [22]) lµ mét ph¹m trï monoidal chÆt chÏ trong ®ã mäi mòi tªn ®Òu kh¶

nghÞch vµ mäi vËt ®Òu cã nghÞch ®¶o chÆt chÏ (X ⊗ Y = I = Y ⊗ X). Kh¸i niÖm nµy cßn

®­îc gäi lµ G-groupoid theo R. Brown vµ C. Spencer [8], hay 2-nhãm theo B. Noohi [29],

hay 2-nhãm chÆt chÏ theo J. C. Baez vµ A. D. Lauda [3], hay Gr-ph¹m trï chÆt chÏ theo H.

X. SÝnh [51]. Nhãm ph¹m trï bÖn lµ mét nhãm ph¹m trï ®­îc trang bÞ thªm rµng buéc bÖn.

Trong tr­êng hîp rµng buéc bÖn lµ ®èi xøng th× ta thu ®­îc kh¸i niÖm nhãm ph¹m trï ®èi

xøng (hay ph¹m trï Picard, Pic-ph¹m trï theo [50]) hay 2-nhãm ®èi xøng.

Nh÷ng t¸c gi¶ ®Çu tiªn nghiªn cøu vÒ nhãm ph¹m trï mµ ta cã thÓ kÓ ®Õn lµ N. Saavedra

Rivano [49], H. X. SÝnh [50], M. L. Laplaza [24], ... Trong luËn ¸n cña m×nh n¨m 1975 [50],

H. X. SÝnh ®· m« t¶ cÊu tróc cña nhãm ph¹m trï vµ ph¹m trï Picard vµ ph©n líp chóng bëi

nhãm ®èi ®ång ®iÒu chiÒu 3 cña c¸c nhãm. Do trong líp ph¹m trï nµy mäi mòi tªn ®Òu lµ

®¼ng cÊu nªn c¸c bÊt biÕn ®Æc tr­ng cña mçi ph¹m trï thuéc líp nµy ®Òu ®­îc x¸c ®Þnh.

Theo ®ã, mçi nhãm ph¹m trï G x¸c ®Þnh hoµn toµn ba bÊt biÕn: nhãm Π = π0G c¸c líp

vËt ®¼ng cÊu cña G, Π-m«®un A = π1G c¸c tù ®¼ng cÊu cña vËt ®¬n vÞ cña G vµ mét líp

9